Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Вектор Лапласа Х дает направление для отсчета истинной аномалии о текущего радиуса-вектора г. На рисунке предполагается, что КА движется против часовой стрелки (вектор площадей перпендикулярен плоскости рисунка н направлен на читателя). Парабола †э разомкнутая кривая. Если движение происходит по параболе, то КА уйдет в бесконечность от грави- 72 Рис. 2.9. Траектория КА: а — параболическая; б — гиперболическая, гпгг. т,п, -- асимптоть. гиперболы; Π— геометрический центр гиперболы; С вЂ” один из фантсов гиперболы, в катарам размещен гравитационный центр; ВΠ— удвоенная боль- шая полуось 2а; ВЪ вЂ” удвоенная малая патуось 26; СА — текущий радиус-вектор КА г тирующего центра. Бесконечность в таком случае следует понимать как такое удаление от гравитирующего центра, при котором рассмотрение траектории КА в рамках задачи двух тел становится некорректным.
Например, для двигающегося КА в окрестности Земли это такое удаление от Земли, при котором нельзя не учитывать притяжение КА Солнцем. Точка уй на рис. 2.9,а — это перицентр параболы — ближайшая точка параболы к гравитационному центру. Как для эллиптической орбиты (да и гиперболической орбиты) перицентр принадлежит линии апсид — лучу, направленному из гравитационного центра по вектору Лапласа. Минимальное значение длины радиуса-вектора спутника (перицентральное расстояние у ) соответствует истинной аномалии, равной нулю.
Само значение у =р/2. Фокальный параметр на рис. 2.9гп отмечен отрезком СВ (СВ.1)). Апоцентральной точки на параболической орбите нет, можно считать, что она находится в бесконечности, Параболическую орбиту часто рассматривают как граничный случай между эллиптической и гиперболической орбитами. Гиперболическая орбита. На рис. 29б представлена гиперболическая орбита КА. Сама гипербола имеет две ветви. Орбита КА есть одна из ветвей гиперболы. Чаще всего принято считать (хотя это и непринципиально), что орбита является левой ветвью гиперболы, которая на рисунке нанесена более жирно, Здесь направление движения спутника предполагается против часовой стрелки. Вектор Лапласа ус на рисунке направлен по СО.
Он определяет линию апсид гиперболической орбиты. Перицентр (ближайшая точка орбиты) достигается при ту= а О и лежит на линии апсид. На рис. 2.9,б перицентром орби- 73 ты КА является точка и, а перицентральный радиус г„есть Сп(г„= — ), Двигаясь по гиперболической орбите, КА уходит в бесконечность от гравитационного центра. Независимым параметром прн анализе орбиты спутника часто рассматривают истинную аномалию. Для гиперболической орбиты истинная аномалия не может беспредельно возрастать.
На рис. 2.9,б текущий радиус-вектор СА соответствует истинной аномалии и (угол ОСА). Предельное значение истинной аномалии определяется направлениями асимптот гиперболы и равно углу 00В. Это предельное значение истинной аномалии тее можно найти, приравнивая знаменатель правой части (2.34) нулю: 1+есозооо= =О. Таким образом, созтое= — 1/е. Оказывается, что соотношениями (2.38), записанными для эллиптической орбиты, можно пользоваться и для гиперболической орбиты, однако при этом следует считать, что большая полуось гиперболической орбиты есть действительное отрицательное число, по модулю равное 06; фокальное расстояние с — действительное отрицательное число, по модулю равное СО; малая полуось Ь вЂ” мнимое число, модуль которого равен 00.
Таким образом, в разд. 2.6 перечислены и коротко проанализированы основные типы орбит КА в задаче двух тел. 2Л. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ КА ПО ОРБИТЕ. ЗАВИСИМОСТЬ ТИПА ОРБИТЫ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим изменение скорости КА при его движении по орбите. Для этого сначала рассмотрим законы изменения радиальной и трансверсальной компонент скорости. Величина радиальной скорости характеризует скорость изменения длины радиуса-вектора спутника. Используя уравнение орбиты КА в задаче двух тел (2.34), получим е(е ~1о ре Мп о ео ео е'Е (! -(- е сое о)е Ш Но из полярной формы интеграла площадей (2.17) следуео а ет, что — = — , поэтому ее ее — '(1+есози)е = — ' ез(п (1 + е сое о) е ре р Правая часть последнего равенства включает в себя три константы интегрирования, только две из которых можно счи- 24 тать независимыми.
Легко с помощью соотношения (2.32) вы- разить а через йч о=1 рр (2.39) и получить закон изменения радиальной скорости по орбите КА: / и — еэ(пэ. Р (2.40) Видно, что радиальная скорость изменяется синусоидально. В перицентре орбиты и для эллиптической орбиты в апоцентре она равна нулю. Амплитуда синусоидального закона пропорциональна эксцентриситету. Максимальное значение радиальной скорости достигается тогда, когда истинная аномалия равна 90'. Величина трансверсальной компоненты скорости характеризует скорость конца радиуса-вектора спутника, обусловленную его вращением относительно гравитационного центра, и определяется по равенству (2.15). Используя уравнение орбиты и только что анализируемое выражение для Но/Ж, получим а о а Г„= г — = — = — (1 + е соз о).
гй г р Учитывая (2.39), окончательно получим закон изменения .грансверсальной компоненты скорости по орбите: $', = 1/ — "(1+есозе). (2.41) -Г, Максимальная трансверсальная компонента скорости достигается в перицентре орбиты и равна: шахр„=1'„„= р' — '(1+ е). (2.42) ппп Ъ'„= К„„= ~/ —" (1 — е). (2.43) С помощью геометрического суммирования компонентов скорости получим закон изменения полной скорости КА $" = ~/ 1l' + 1" = ~/ И 3/ 1+ е'+ 2е соз в. (2.44) Анализ последнего соотношения позволяет утверждать, что максимальную скорость КА имеет в перицентре своей орбиты.
тз Для случая эллиптической орбиты минимальное значение трансверсальной скорости достигается в апоцентре орбиты и определяется по формуле (2.45) (2.46) Эта скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т. е. равна своей трансверсальной компоненте: тахР=$'а=У„„= ~Г ~ (1+е). Минимальную скорость (что четко соответствует интегралу энергии) спутник имеет в наиболее отдаленной точке орбиты. Для эллиптической орбиты такой точкой является апоцентр. Вектор скорости в апоцентре перпендикулярен апоцентральному радиусу-вектору, и значение скорости рассчитывается так: Отметим, что вектор скорости перпендикулярен радиусу- вектору только в перицентре и апоцентре орбиты, т.
е. там, где радиальная компонента скорости равна нулю. Значения скоростей спутника в перицентре и апоцентре орбиты связаны простым соотношением, называемым правилом рычага; (2.47» Для случаев параболической и гиперболической орбит минимальная скорость достигается в бесконечности. Для параболы эта скорость равна нулю. Для случая гиперболической орбиты минимальное значение скорости будет в бесконечности и ее можно найти по константе энергии )Г = 'г' й. Связь константы энергии с величиной большой полуоси орбиты спутника. Оказывается, что в задаче двух тел между константой энергии и большой полуосью орбиты спутника существует простая однозначная связь.
Значение постоянной интегрирования 8 можно определять по начальным условиям или по условиям движения в любой точке траектории. Определим константу по условиям движения в перицентральной точке траектории (заметим, что такая точка есть у траектории любого типа): 2и (2.48) та Используя (2.36) и (2.45), из равенства (2.48) получим Л= — "" (1+е)з — — '" (1+ е) = и (1+е)(1+ е — 2)= — !(1 — е').
Р Р Р Используя первое равенство из соотношений (2.38), получим, что для эллиптической орбиты справедливо Ь = — ц/а. (2.49) Можно считать, что (2.49) справедливо для гиперболической и параболической орбит, но для этого большую полуось гиперболы считают отрицательной, а большую полуось параболы полагают равной бесконечности. Таким образом, получена взаимно однозначная связь большой полуоси и константы энергии. Имея в виду эту связь, очень просто решать следующий тип задач.
Если в задаче двух тел заданы величина скорости г'1 и длина радиуса-вектора г, в какой-либо точке траектории, то однозначно определяется большая полуось орбиты КА а= — — =— Р Р Л е 2Р 1 0 Обращаем внимание на то, что величина константы энергии не зависит от направления скорости КА, поэтому тип орбиты КА, ее большая полуось могут быть определены по значениям гь (7ь и они не зависят от направления скорости.
Таким образом, было проанализировано изменение скорости спутника по орбите; показано, как по начальным условиям движения (или условиям движения в текущей точке траектории) определить тип орбиты спутника, связанный со знаком константы энергии Й. 2.8. КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ Круговая скорость. Найдем скорость космического аппарата, двигающегося по круговой орбите. Уравнение такой орбиты получается из общего уравнения орбиты (2.34) подстановкой в него нулевого значения эксцентриситета, т. е. получим (2.50) с=в . р = сопз(. Так как длина радиуса-вектора на круговой орбите не изменяется, то радиальная скорость КА будет нулевой.
Это можно получить из выражения для радиальной компоненты скорости (2.40). Таким образом, величина скорости равна трансверсальной компоненте, т. е. 1' = 1'„= ) —" (1 ч- е соз и) (,, = 1, Используя равенства (2.51) и (2.50), можно утверждать, что скорость на круговой орбите спутника связана с радиусом этой орбиты соотношением 1'„= У р!' (2.52) Последнее соотношение и определяет понятие круговой скоРости.
Как видно из соотношения, эта скорость зависит от гра- 77 витационного параметра )ь и расстояния до притягивающего центра г. Когда говорят, что скорость КА равна местной круговой, то полагают, что )г= )( рг(г в этой точке траектории. При этом не обязательно орбита КА будет круговой. Для того чтобы орбита была круговой, достаточно, чтобы скорость была равна местной круговой и вектор скорости был направлен перпендикулярно радиусу-вектору КА.
На рис. 2.10 показана зависимость круговой скорости спутника от расстояния спутника до гравитационного центра. Чем больше расстояние г, тем меньше значение круговой скорости. Если рассмотреть спутник, двигающийся по низкой круговой орбите (например, высотой Ь=200 км) около Земли (полагаем радиус Земли 6371 км), то скорость такого спутника будет равна; )гя г)398600 нмв!св г 1г (6371+ 200) ям 7,79 КМ(с. Если увеличить радиус кругового спутника, то скорость, достаточная для движения по этой орбите, будет уменьшаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
