Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(2.18) оо 1 — = — о, Ж 2 (2,19) Прежде всего обратим внимание читателя на то, что справа в равенстве (2.19) стоит постоянное число†константа интеграла площадей. Именно это обстоятельство и является основанием для одной из возможных современных формулировок второго закона Кеплера. Секториальная скорость спутника остается постоянной в течение всего времени его движения. 63 Последнее равенство можно рассматривать как взаимооднозначное соотношение между длиной радиуса-вектора спутника и его трансверсальной скоростью. Для каждого спутника при его удалении от гравитационного центра трансверсальиая составляющая скорости уменьшается и, наоборот, при приближении к гравитационному центру трансверсальная компонента скорости растет. Второй закон Кеплера.
Найденный интеграл площадей дает возможность сформулировать закон, который по отношению к планетам Солнечной системы (как спутникам Солнца) сформули- в ровал Кеплер. Он известен как второй закон Кеплера. Методически нам оказалось н удобным объяснить второй закон Кепле- у ра, оставив вывод первого закона Кепле- л ра на будущее. и Введем понятие плои(ади, заметаемой радиусом-вектором спутника, На рис. 2.5 таемая радиусом-аекто- 71 н у — Радиусы-векторы спутника в два рис. 2.5.
площадь, заме- произвольных момента времени Г и (для определенности 11(Г). За время (гь 11 РаДиУс-вектоР спУтника замел плошаДь фигУРы САВ, заштрихованной на рис. 2.5 и обозначенной 5. Эта площадь естественно является функцией времени 1 при фиксированном начале движения 1ь Таким образом, 5=5(г). Можно показать, что 5(1) — непрерывная, имеющая производную й5/йг, функция. Эта производная называется секториальной скоростью спутника и определяет скорость изменения функции-площади, заметаемой радиусом-вектором спутника.
Можно доказать, что Несколько других формулировок второго закона Кеплера связаны с интегрированием соотношения (2.19): (2.20) 2.3. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ Напомним, что исследуются уравнения относительного движения задачи двух тел (2.7). Умножим левую н правую части (2.7) скалярно на удвоенный вектор скорости 2Р= нг =2 —, получим, что в силу уравнений движения справедливо Ж равенство 2( — ' (2,21) Рассмотрим отдельно левую и правую части равенства (2.21). Левая часть. Ее можно преобразовать следующим образом, Таким образом, площадь, заметаемая радиусом-вектором спутника, пропорциональна, времени. Это утверждение так же часто рассматривается как формулировка второго закона Кеплера.
Распространена еще одна формулировка этого закона как закона площадей; радиус-вектор спутника за равные промежутки времени заметает равные площади. Понятно, что во втором законе Кеплера исследуются секториальная скорость и заметаемые площади одного конкретного спутника, траектория которого имеет вполне определенную константу площадей о. Разумеется, разные спутники даже одного гравитационного центра могут иметь разные секториальные скорости. Таким образом, в разд. 2.2 получен и проанализирован интеграл плошадей.
Анализ дал большой объем информации о свойствах траектории движения спутников и возможность доказать, что траектория спутника — плоская. Связал простыми соотношениями радиус-вектор и скорость спутника, расстояние от гравитационного центра с угловой скоростью радиуса- вектора, с трансверсальной скоростью спутника. Перейдем к следующему первому интегралу дифференциальных уравнений, описывающих относительное движение в задаче двух тел.
— — =Ь=сопз1, 2и Г (2,25) где Ь вЂ” некоторая константа интегрирования, которая называется константой (постоянной) энергии, Само соотношение (2.25) называется интегралом энергии. Из него следует, что в течение всего движения спутника величины скорости и радиуса-вектора находятся во взаимно однозначном соответствии.
Как всякую константу интегрирования, константу энергии Ь можно найти по начальным условиям движения. Отметим, что для этого нужно знать ас -- В только длину радиуса-вектора и величину скорости (и не нужно знать направления этих век- Г Траяят торов): Ь= 1 о — — . ,д 2р га с и Анализ интеграла энергии позволяет утверждать, что чем з — з ариЯ ияа Рис.
2Д. Угол между радиусом- вектором и вектором скорости КА зз П р а в а я ч а с т ь. Для ее преобразования отдельно рас- I — и' смотрим входящее в нее произведение ~г, †) . По определеи)' нию скалярного произведения (г, Р) =гУсов а, где угол а есть угол между векторами г и Р, его обязательно следует находить как угол ВАР (рис. 2.6, а не, например, САР). Но 1'сова есть проекция скорости на радиус-вектор (радиалькг ная скорость 1~„= — ), поэтому гг у' г, — 1=г —, — гр т гг (2,23) ш) ш' Обратите внимание, что слева в последнем равенстве стоит скалярное произведение, справа — произведение двух скаляров. Имея в виду это равенство, правую часть соотношения (2.21) можно преобразовать к виду: — — г, ' — и г — " . (2.24) С учетом отдельно рассмотренных выражений для левой и правой частей равенства (2.21) в виде (2.22) и (2.24) получим Из последнего соотношения находим еще один первый интеграл: больше удаляется спутник от гравитационного центра тем ».» 2Р меньше его скорость (У'= — '+ и), и, наоборот, при приблит женин спутника к гравитационному центру его скорость возрастает.
Скорость спутника будет максимальной на наименьшем удалении от гравитационного центра. На этом закончим анализ интеграла энергии задачи двух тел. Найденные интегралы площадей и энергии являются независимыми, и можно утверждать, что система дифференциальных уравнений относительного движения задачи двух тел проинтегрирована четыре раза. Найдены четыре независимых первых интеграла (скалярных). 2Л. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ В равд. 2.2 и 2.3 были получены первые интегралы системы дифференциальных уравнений задачи двух тел — интегралы площадей и энергии. Общая схема получения этих интегралов была следующей: систему уравнений задачи двух тел умножили слега и справа на некоторый вектор скалярно или векторно и преобразовали равенство к виду, в котором полная производная по времени оказывалась равна нулю.
Для вывода интеграла Лапласа можно умножить уравнение задачи двух тел векторно почленно на равенство: и= [гГХУ]. После некоторых преобразований [4] удается получить еще один векторный первый интеграл: (пХЦ+И вЂ” = — Х =сонэ( г (2,26) Этот интеграл называется интегралом Лапласа, Константа интегрирования этого интеграла Х. Знак минус используется для определенного выбора направления вектора Х, называемого векгоро»» Лапласа. Как всякая константа интегрирования вектор Лапласа может быть найден по начальным условиям движения.
Таким образом, найдено еще три скалярных интеграла (три проекции векторного интеграла (2.26) Х„, Х„, )»,). В совокупности с ранее найденными четырьмя скалярными интегралами (площадей — о„, о„, а„ энергии »») получилась система семи первых интегралов, У системы шестого порядка независимых первых интегралов шесть. Понятно, что между полученными интегралами существует, по крайней мере, одна зависимость. Можно показать, что таких зависимостей две и среди полученных ~первых интегралов можно считать независимыми любые пять нз семи. Покажем эти зависимости. бб Положение вектора Лапласа. Легко доказать, что вектор Лапласа Х перпендикулярен вектору площадей а.
Скалярное произведение этих векторов имеет вид: (Х, а) = — (ахР) — р — ), а) = — ((ахТ), а) — — (г, а) =О. 'l l Г (2.27) Скалярное произведение равно нулю, если один из векторов равен нулю илн векторы перпендикулярны. Если какой-либо вектор Х или а равен нулю, то и в этом случае можно считать, что условие перпендикулярности не нарушается. Поэтому доказано утверждение: вектор Лапласа Х перпендикулярен вектору площадей а. Так как вектор площадей перпендикулярен плоскости траектории спутника, то вектор Лапласа принадлежит этой плоскости.
Таким образом, получен вектор Х, постоянный в рассматриваемой невращающейся системе координат и принадлежащий плоскости траектории спутника. Указанное свойство вектора Лапласа дает возможность при исследования движения спутника в его плоскости проводить отсчет этого движения (положення радиуса-вектора) от постоянного в этой плоскости вектора ь. Отметим, что равенство (2.27), записанное с использованн" ем проекций на декартову прямоугольную систему координат, имеет вид: (2.28) Х а„+Хдад+Х а = О. Последнее соотношение и есть связь компонент векторов Х и а и доказывает зависимость найденных первых интегралов (площадей и Лапласа). Связь абсолютных величин векторов а, Х и константы э перги и й. Равенство (2.28) дает связь между найденными постоянными интегрирования.
Существует еще одна связь. Из выражения интеграла Лапласа (2.26), находя модуль вектора Лапласа, можно показать, что ) =р'р+ы. (2,29) Это и есть вторая зависимость между семью найденными константами интегрирования. Таким образом, в данном разделе найден интеграл Лапласа, доказано, что вектор Лапласа принадлежит плоскости траектории спутника, установлено существование связей между семью полученными константами интегрирования а„, аю а„й, 3, Хц, Х., из которых в соответствии с (2.28) и (2.29) только пять могут рассматриваться нез* 67 зависимыми. Можно доказать, что любые пять из перечисленных семи можно считать независимыми и по соотношениям (2.28) и (2.29) найти остальные две константы.
2.5. УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ Уравнением орбиты спутника задачи двух тел обычно называется зависимость длины радиуса-вектора спутника лак функции полярного угла радиуса-вектора спутника, подсчитанного в плоскости траектории спутника. Такой угол удобно отсчитывать от вектора Лапласа Х, который, как это доказано в предыдущем разделе, принадлежит плоског сти траектории спутника. Этот угол (между вектором Лапласа и текущим радиусом-вектором спутника) называется истинной аномалией и Л часто обозначается греческой буквой ипсилон о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
