Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 11
Текст из файла (страница 11)
М~+ М/— дР (1.60) Таким образом, каждая планета в первом приближении движется вокруг Солнца так, как будто бы остальных планет не существует. Система уравнений движения (1.58) распалась с учетом принятых допущений на отдельные уравнения (1.60), каждое из которых (см. гл.
2) может быть интегрировано отдельно, и, что важно, решение получается в квадратурах. Конечно, полученное при сделанных допущениях решение уравнений относительного движения не соответствует действительной орбите планеты; оно описывает фиктивное движение, но близкое к действительному, и поэтому принято называть такое движение невозмущенным, а уравнение (1.60) — уравнением невозмущенного движения больших планет. Малые планеты и другие небесные тела солнечной системы обладают пренебрежимо малыми массами М, по сравнению с массой Солнца, и уравнения невозмущенного движения для них " " +, ~ -„. 0 (А= 1, и). (1.61) ск К группе малых планет можно отнести и КА, Тогда уравнение невозмущенного движения по инерции для КА относительно Солнца (1.62) тс Однако в отличие от малых планет КА может оказаться ь непосредственной близости у какой-либо планеты солнечной системы и даже осуществить посадку на нее или взлет.
В такой ситуации ускорение притяжения КА планетой будет заведомо превышать ускорение притяжением КА Солнцем, а не- возмущенное движение КА определяется массой планеты— М. и удалением от нее г.: (1.63) тп Область межпланетного пространства, где превалируетпритяжение планеты и правомерно использование уравнения (1.63)', называют грависферой планеты. В ряде задач механики двия ения КА целесообразно для приближенного описания траектории КА использовать уравнение невозмущенного движения (1.62) в грависфере планеты, согласовав их решения на границе упомянутых сфер. Эти вопросы подробно будут разобраны в гл.
6. На траекторию движения КА помимо гравитационных сил влияют тяга и другие факторы, учитываемые кажущимся ускорением $',. Поэтому уравнение первого приближения для описания движения КА должно рассматриваться в записи за (1.64) лз,—, м,— сп За пределами атмосферы кажущиеся ускорение и скорость совпадают с характеристическими ускорениями и скоростью. Характеристическая скорость КА Возможности КА как транспортного средства определяются скоростью, которую он может набрать в идеальных условиях движения при отсутствии атмосферы, гравитационных сил, когда вектор тяги направлен вдоль вектора скорости.
Уравнение сил в таких условиях т — =Р (1.65) и интегрируется в квадратурах )с„— $~ь — — ~ — Ж = ~ ~й = — ~ йг — = - -1Р'э 1и и„, (1.ба о м о 1 И Р где ) — величина реактивного ускорения 1= —; Иу, — эффект тинная скорость истечения. Формулу (1.66) называют первой формулой К. Э. Циолковского, она определяет характеристическую скорость КА 1 х1р. Отметим, что характеристическая скорость не зависит от закона расхода топлива пг(1) и определяется только относительной конечной массой КА 1с,=т,/тю. Конечная скорость КА отличается от характеристической на величину потерь изза влияния атмосферы и гравитации, а также из-за потерь на управление. При заданной конечной скорости нахождение рациональных схем движения КА сводится к минимизации характеристической скорости и, таким образом, к увеличению конечной массы т .
В настоящей главе сформулирован общий подход к построению математических моделей для расчета траекторий КА и методов исследования этих моделей. ГЛАВА 2. ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ Для исследования траектории движения КА оказывается целесообразным рассмотреть некоторую модельную задачу, которая в небесной механике называется задачей двух тел. В этой задаче изучается движение двух материальных точек с массами М и т под действием силы их взаимного притяжения.
Такая задача в определенных условиях может рассматриваться как модельная для анализа движения в окрестности небесного тела массой М (например Земли) космического аппарата (искусственного спутника Земли) с массой т. Перечислим основные допущения, которые нужно сделать при анализе движения КА относительно Земли, чтобы воспользоваться решениями задачи двух тел: рассматривается пассивное движение КА; гравитационная сила, с которой Земля притягивает спутник, подсчитывается как ньютоновская сила взаимодействия двух материальных точек с массами М н лт, расположенных в центрах масс Земли и КА; притяжением других небесных тел Вселенной пренебрегается; аэродинамическое воздействие среды на космический аппарат не учитывается; предполагается, что на КА не действует никаких сил другой физической структуры (электромагнитными силами, силами светового давления, силами, свяванными с утечкой газа из емкостей А и т.
д., — пренебрегают). е Все перечисленные допущения вытекают из того, что в задаче двух тел учитывается единственная сила — сила ньютоновского взаимодействия между двумя материальными точками. На рис. 2.1 эти материальные точки расположены в геометрических точках С (центр Рис. 2Л, Задача двух тел 54 2.Е УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТЕЛ Весьма просто можно описать абсолютное движение в задаче двух тел.
Для этого достаточно ввести некоторую инерциальную систему отсчета О,Х,У,Х, (рис. 2.2,а), На этом рисунке р1=0иС вЂ” радиус-вектор тела массой М; рз=ОиЛ— радиус-вектор тела массой т. В инерциальной системе справедлив закон Ньютона и ускорения масс М и т пропорциональны силам б, и б, приложенным к этим массам. Отметим, что б~ —— — б, так как это силы взаимного притяжения масс. Уравнения движения двух тел в инерциальной системе отсчета имеют вид М ~Р'.=6„; т ~Р =6. ли "' ли Легко охарактеризовать движения общего системы двух тел. Учитывая, что 01= — б, после вых и правых частей двух векторных равенств из ДЗР Л2Р М вЂ” ' — +т — '=О.
,т,т (2.1) центра масс сложения ле- (2.1) получим (2.2) Интегрируя равенство (2.2), имеем М вЂ” '+ т — ' = С = сопз1; "Р "Р ж лж Мр,+ тр, =С, г+ С„ (2.4) где Сь Сз — некоторые константы интегрирования. Выражение слева в (2.4) определяет радиус-вектор центра масс системы двух тел (М+т)р„„=Мр1+трь С учетом (2.4) получаем — с с ра"' М,'-т М+а ' т. е. центр масс системы двух тел в задаче двух тел в инерциальиом пространстве движется равномерно, прямолинейно, с некоторой постоянной скоростью с1/(М+т). Таким образом, если рассматривать движение системы Земля — Луна в рамках задачи двух тел, то можно утверждать, что центр масс этой системы движется равномерно, прямолинейно.
Ясно, что 55 масс Земли) и Л (центр масс КА), а сила притяжения КА Землей обозначена О и направлена вдоль радиуса-вектора СА =г к центру Земли. Задача настоящей главы дать решение задачи двух тел,. как некоторого приближения при исследовании траектории КА. Хн а !зис. 2.2. Движение в задаче двух тел: а — абсолютное; б — относительное В,=Оно, Н,=ОнА с!ел ! — ! т!!н т тн = — 6 — — 6. (2.5) Так как то уравнение (2.5) можно переписать в виде ,~-, М+ж; се!в те (2.6) такая модель могла бы пригодиться, если бы не Солнце, которое искривляет траекторию центра масс системы Земля — Луна и ограничивает целесообразность рассмотрения абсолютного движения такой системы.
Не будем останавливаться на описании абсолютного движения отдельных масс в задаче двух тел, так же как и абсолютного движения центра масс системы, так как они имеют очень ограниченное применение. Более важным является исследование относительного движения.
Расположим начало не- вращающейся системы координат (Схуг) в центре масс тела М (точка С, рис. 2.2,б). На этом же рисунке оставим ранее введенную инерциальную систему отсчета О.ХнунУн. Пусть и= =СА — радиус-вектор, характеризующий относительное положение массы т относительно М. Из рис. 2.2,б следует, что г=рз — р!. Дифференцируя это равенство дважды по времени, с учетом системы (2.1) получим следующее выражение для относительного ускорения х(зг1с(!з; зри а — — — — у' ,Пз з азх — = — — х; вяз гз (2. 8) азз И вЂ” = — — г. ,Пз з Напомним, что длина радиуса-вектора г связана с ее проекциями соотношением г = ) гхз + уз+аз . Итак, исследование относительного движения в задаче двух тел сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений шестого порядка (2.8).
Естественно, что для получения конкретной траектории в задаче, описываемой дифференциальной системой уравнений шестого порядка, нужны шесть начальных условий движения. Естественней всего такими условиями рассматривать начальное положение тела массы пз относительно М вЂ” г, н начальную относительную скорость Рз= аг ~ Для описания движения в рамках задачи двух тел не потребовалось исследовать их вращение относительно центра масс, не потребовались геометрические связи углов, уравнения системы управления.
Это все связано с допущениями задачи двух тел, с тем, что единственная сила, учитываемая в задаче, не зависит от углового положения КА в пространстве. Система уравнений (2.8) замкнутая. При определенных начальных условиях она имеет единственное решение, определяющее траекторию относительного движения. Очень важно для механики космического полета, что эта система имеет аналитическое решение. Для получения и исследования этого решения найдем первые интегралы системы (2,8). 5 Последнее равенство и описывает относительное движение в задаче двух тел. Входящее в это равенство произведение универсальной гравитационной постоянной на сумму масс М+гп (тоже постоянную величину) называют гравитационным параметром задачи двух тел н обозначают р=7(М+гп).
При этом дифференциальное уравнение относительного движения задачи двух тел принимает вид в'з г зз Зз з (2.7) Таким образом, получено уравнение относительного движения в задаче двух тел. Это уравнение является дифференциальным уравнением шестого порядка (векторное уравнение второго порядка). При использовании введенной невращающейся системы координат с началом в центре масс тела М вЂ” С, в которой координаты вектора г имеют проекции х, у, г, эквивалентная (2.7) скалярная запись будет иметь вид Прежде чем находить эти интегралы введем широко используемую модификацию задачи ~двух тел — ограниченную задачу двух тел.
Для исследования движения КА (искусственного спутника) относительно небесного тела можно полагать, что масса КА пренебрежимо мала по отношению к массе небесного тела. Использование этого дополнительного допущения приводит к ограниченной задаче двух тел. Уравнения движения в ограниченной задаче двух тел по форме не отличаются от (2.7), единственное обстоятельство, которое можно при этом учитывать, заключается в величине гравитационного параметра задачи двух тел. Если в полной задаче двух тел р=)(М+т), то в ограниченной — р=)М и гравитационный параметр совпадает с гравитационным параметром гравитирующего тела массой М.
Таким образом, сами уравнения относительного движения, а значит, и решение в ограниченной задаче двух тел и полной задаче двух тел по форме не отличаются. Принципиальная разница может быть отмечена при анализе абсолютного движения. Дело в том, что если пренебрегать массой малого тела в задаче двух тел, то центр масс системы тел находится в гравитирующем теле. Но центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, поэтому движение КА относительно гравитирующего тела в ограниченной задаче двух тел совпадает с движением в инерциальном пространстве. В этом случае уравнение (2.7) есть запись закона Ньютона. В нем слева записано ускорение, которое имеет спутник, справа — гравитационная сила от притяжения спутника небесным телом, отнесенная к массе спутника. Таким образом, в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
