Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Расписывая входящие в уравнение переносные ускорения, уравнения движения КА и небесных тел удается записать в виде: и Вне [ г/ — е ее ~1 Мв+ ен— = ~ Ь/ ~ — — З вЂ”,З ~ — 1,З у+Ад+1'о,. и/ / — 1 ! ее Г ! Ге (1,26) с//з е, 1- —, /,з,з /Ф/ где Лег — приращение гравитационного ускорения, связанное с + /~А отличием поля тяготения Земли от ньютоновского; 1/,= кажущееся ускорение; /з/, М; — гравитационный параметр и мас- Г/ — е Мз+ лев са /что небесного тела соответственно; р/ , Т Г— — — ~з' ез ускорение притяжения КА /чм небесным телом и Землей соот- 36 м,+м, ветственно; м~, ? г; — ускорение притяже( г:.~(а ния 1-го небесного тела 1-м небесным телом и Землей соответственно.
Обратим внимание на то, что использованные в (1.26) радиусы-векторы небесных тел и КА имеют начало в центре Земли. Порядок системы дифференциальных уравнений возрастает с увеличением числа небесных тел, которые необходимо учитывать при анализе движения КА. Учитывая, что каждое из записанных уравнений эквивалентно системе шести уравнений первого порядка, а число уравнений только с учетом больших планет Солнечной системы может достичь десяти, то порядок интегрируемой системы может быть в пределах 50 — 100.
В ряде задач механики космического полета к такой системе приходится прибегать при расчете пассивного участка траекторий КА. При расчете активных участков траектории чаще всего поступают иначе. Считают, что, например, в окрестности Земли ускорение КА в инерциальном пространстве, вызываемое воздействием Луны, Солнца и других небесных тел (6,+О,+ +Хб„,)/т, весьма близко к ускорению в том же пространстве центра масс Земли гг'р/дг': Поэтому возмущающим действием Луны, Солнца и других небесных тел на движение КА относительно Земли в этих случаях можно пренебречь (так же, как и возмущающим воздействием аэродинамических сил), тогда уравнение сил (1.25) примет вид (1.2?) т — =О+Р. Л1 Отметим, что здесь пренебрегается не гравитационными силами 6„0, и Хб „а разностью б,+б,+лс?„,— т —, ха- ДЗ Рактеризующей возмущающее воздействие Луны и Солнца на движение КА относительно Земли.
Уравнение снл (1.27) имеет вид, эквивалентный уравнению, описывающему движение КА в ннерциальном пространстве с учетом тяги ракетного двигателя и гравитационной силы притяжения КА Землей. Проекции уравнения сил (1.27) на оси геоцентрической системы координат имеют вид т — = — — т — +тВ',соз(Х, х); ~~ р„нв дг га l 37 т — = — — т — +тУ,сов(Х, у); гг ггя ггэ у гг! гг г т — = — — т — + т))т,сов(Х, я). гггл гы ггг гг г ('1.28~ Первые слагаемые в правой части системы (1.28) — проекции вектора гравитационной силы на оси геоцентрической системы координат, вторые слагаемые — проекции вектора тяги на эти же оси. В последних слагаемых сов(Х, х) и т.
д, — косинусы углов между продольной осью КА Х и осями экваториальной системы координат. Чтобы получить такие направляющие косинусы, можно воспользоваться матрицами перехода геоцентрической системы координат к орбитальной и от орбитальной к связанной. Выражения для направляющих косинусов, входящих в систему (1.28), удается получить, перемножая упомянутые матрицы: сов(Х, х) =( — в(пи соя г1 — сов ив(п !)сов г) созт)созгР+ + (соя и сов Й вЂ” в)п и в!п Й соя г) в1п б+ в)п Й з)п ! сов т! вгп гР; сов(У, у)=( — в!пия(п(1+сови сов йсовг)сов ггсовгР+ + (соз и в!п Й+ в(п и соя Й соя !) зщ !) — сов Й зги!соя 6 в!п ф соя (У, г) = соя и в!п ! соз !) сов гР+ в(п и в(п ! в1п !)+ сов г соя !)в(п гР.
(1.29) Предположим, что параметры КА заданы, т, е, заданы его начальная масса, массовый расход топлива, скорость истечения газа из сопла ракетного двигателя и т. д. Предположим, что нам известны начальные условия движения КА: г;=(х„у„в„); 7 =(Р„„)г„„1~, ), Пусть требуется найти траекторию движения аппарата. Записанная система (1.28) не может рассматриваться как замкнутая. Ее отдельно невозможно проинтегрировать и построить зависимость компонент скорости КА от времени.
Действительно, в правые части (1.28) входят координаты КА х, у, г, входят углы КА — 6, гр и некоторые другие величины, определить которые, не записывая дополнительные уравнения, в общем случае не представляется возможным. Будем записывать новые группы уравнений для того, чтобьв получить замкнутую систему, описывающую движение КА. 38 Кинематические связи движения центра масс КА 'Между проекциями скорости и координатами КА существуют кинематические связи, вытекающие из определения понятия скорости: а/ *' а/ "' а/ Здесь х, у, г — координаты КА в геоцентрической системе координат, а У„, У„, У, — скорость изменения этих координат, то есть компоненты скорости КА в геоцентрической системе координат.
Геометрические связи В выписанные уравнения сил входит ряд углов. Среди них долгота восходящего узла траектории КА й, наклонение траектории 1, аргумент широты и. Из геометрических соображений ясно, что эти углы определяются положением КА Г н его скоростью Р. В равд. 2/10 будет показано, что !1, ! и и могут быть найдены по радиусу-вектору КА г='[х, у, г| и его скорости У=[У„, У„, У,) по следующим соотношениям: «Уу у Ух ! = агссов [1 ху)[ агссов " *, если у[/,— гУ„) О, [[ГХУ1 [ 5!П 1 Хӄ— Хкг 2п — агссов " *, если уУ,— гУХ ( О; [[ГХУ[[ 51П 1 (1.31) агссов ~ — сов вг+ — вш П ), если вяп ~ — в[п вг') = / Х у / г Г Г Г = внп (у[/, — гУ„); ~ / Х у / г 2п — агссов ( — сов [г + — в[п й ), если вяп ~ — вш й) = Г Г Г = — внп(уУ,— гУ„), Программноедвижение КА Совочеупность уравнений (1.28), (1.30), '(1.3Ц, описывающих движение КА, не является замкнутой системой уравнений Фазовых координат (переменных) КА в этих уравнениях больше, чем число уравнений.
Фазовыми координатами являЮтся: проекции скорости КА — Ух, Уг Ук 39 координаты КА — х, у, г; угловые характеристики положения КА в пространстве — 6, ф 11, 1, и; длина радиуса-вектора КА — г; масса КА — и. Перечисленных переменных — 13, количество же уравнений системы — 9. Система незамкнутая. Будем учитывать, что длина радиуса-вектора КА определяется координатами КА: г=)'х'+ у2+ ' (1.32у Будем считать, что масса КА есть известная функция времени— б = б„(1); ф =ф (1) где б„(1), фяр(1) — некоторые функции. Задание этих функций фиксирует программу движения, делает систему уравнений, описывающих движение КА, замкнутой.
Решение этой системы при заданных начальных условиях движения (начального положения КА го= [ко, уо, го) и начальной скорости КА 17,= = [1'хм " яо, )'.г1) определяет некоторую конкретную траекторию КА. Такую траекторию будем называть программной траекторией КА. Программная траектория соответствует определенной выбранной программе движения, например в виде (1.34). Отметим, что реальная траектория КА всегда в большей или меньшей степени не соответствует программной. Это несоответствие определяется теми реальными возмущениями, которые не учитываются в модели движения КА, тем, что системз управления КА работает неидеально, и выбранная программа.
40 (1,34> т (1) = т, — т (1 — 1,) (1.33) (массовый расход топлива и считаем постоянным; 1 — 1е — время активного полета КА). При этом число уравнений, описывающих движение КА, окажется равным 11. Число перечисленных фазовых координат КА превышает число уравнений на 2 единицы. Именно это превышение дает необходимые степени свободы для выбора таких законов управления движением КА, которые обеспечивают выполнение транспортной задачи, поставленной перед КА. Для того чтобы система уравнений была замкнута, достаточно задать программу движения КА, записать уравнения системы управления.
В наиболее простом случае это может быть программа по угловым степеням свободы КА (по таигажу и рысканию). Например, программа движения КА по этим углам может быть задана в виде движения отрабатывается с определенными ошибками. С этой точки зрения введенную программную траекторию КА в ряде случаев называют опорной, невозмущенной, номинальной. В дальнейшем в основном будет использован термин программная траектория КА, под которой подразумевается траектория аппарата, соответствующая выбранной программе движения.
Программная траектория может быть точно реализована только в том гипотетическом случае, если на КА не будут действовать возмущения, а система управления идеально «отработает» программу движения КА. Под программой движения часто понимается не только программа по угловым степеням его свободы, представленная, например в виде (1.34), а и законы включения и выключения ракетного двигателя аппарата, в некоторых случаях закон изменения величины тяги этого двигателя. Программа движения КА — это совокупность законов изменения величин, влияющих иа траекторию аппарата, которые независимо могут быть выбраны и полностью определяют траекторию при конкретных условиях его движения.
Запишем уравнение сил в проекциях на орбитальную систему координат. Напомним, что приведенная ранее система уравнений (1.28) была проекцией уравнения сил на оси геоцентрической невращающейся системы координат. Последняя система удобна для описания движения спутников планет и менее удобна для описания активного движения КА из-за громоздкости соотношений (1.29), определяющих положение продольной оси КА относительно геоцентрических осей. Этого недостатка в большой степени лишена орбитальная система координат.
Приведем уравнения движения КА в орбитальной системе координат: (1,35) Г Ж с11 — ГпР„[ — сози+ — з1п из(п(~=БР». "! йГ аГ Из последнего уравнения системы (1.35) следует, что плоское движение может быть реализовано в том случае, если сумма проекций сил на нормаль к плоскости траектории равна нулю. Таким образом, в разделе была рассмотрена задача составления полной системы уравнений, описывающей движение КА, было введено понятие программной траектории КА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
