Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 4
Текст из файла (страница 4)
К ним относят величины, характеризующие пологкение КА в пространстве, скорость изменения этгж вели гин и т. д В общем случае уравнения, входящие в математическую модель, могут быть алгебраическими, дифференциальными и более сложной математической структуры. Описать движение, разработать модель движения, т. е. записать полную систему уравнений, описывающую движение КЛ, — это значит получить замкнутую систему уравнений относительно фазовых координат КА. Задача настоящей главы — показать, как можно описать движение КА, как получить полную систему уравнений, описывающих движение КА, как подойти к исследованшо полученной модели. ЕЦ ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ КА Космический аппарат как объект движения — это тело весьма сложной геометрии, часто внутри КА располагаются емкости с жидким наполнением, корпус КА не абсолютно жесткий.
Все это в общем случае нужно учитывать при описании движения КА, в частности колебания упругого корпуса — это тоже его движение. В таких условиях, если не конкретизировать понятие движения КА, то подойти к его описанию будет, по крайней мере, сложно. Траекторией КА называется непрерывная линия, которую описывает центр масс КА при своем движении в пространстве. Будем считать, что основная задача в дальнейшем будет состоять в исследовании и выборе траектории КА.
При этом остальные степени свободы КА могут исследоваться только для выявления их влияния на траекторию КА. В некоторых случаях при исследовании траектории КА его можно рассматривать как материальную точку, совпадающую с центром массы КА. Материальная точка имеет три степени )б свободы (три координаты в пространстве, например х, у, х). Для нахождения траектории требуется найти изменения этих трех координат во времени: х=х(1), у=у(1), гс в(1). (1.1) Траектория КА в общем случае зависит от его углового положения в пространстве. Поэтому при исследовании траектории КА приходится рассматривать как твердое тело, у которого, кроме трех поступательных степеней свободы (1.1), существуют три вращательные степени свободы. Обозначим их 6, ~р, у.
Описание углового движения КА в пространстве должно дать возможность исследовать изменение этих вращатсльных степеней свободы: д(1), ф(1), у(1). Для исследования траектории движения КА в большчпс'чс задач, возникающих на ранних этапах проектирования КА, к сложной модели движения (учитывающей упругость корпуса, поведение жидкости в частично заполненных емкостях н т. д.) прибегать не приходится. С достаточной для проектанта точностью можно исследовать траекторию, рассматривая КА как твердое тело. Важно подчеркнуть, что любая математическая модель, описывающая движение КА, не имеет абсолютной точности. При разработке математической модели важно понимать уровень требующейся точности и создавать достаточно простую модель, удовлетворяющую этому уровню точности.
От простоты модели в ряде случаев зависит возможность вывода, важнейших качественных зависимостей. Поэтому в тех задачах, в которых можно обойтись без анализа вращательных степеней свободы КА, математическая модель движения не должна включать уравнений, описывающих вращение КА. В этих задачах нужно рассматривать КА как материаль. ную точку, совпадающую с центром масс.
В некозорых случаях удается еще более упростить анализ и вместо исследования изменения всех трех координат (1.! ) описывать изменение только двух из них (плоское движение) нли даже одной (одномерное движение). Описание движения КА опирается на законы теоретической механики. Среди этих законов основные теоремы динамики: теорема о количестве движения, теорема о моменте количес|ва движения. На этих законах останавливаться не будем и "'ошлем читателя к курсам теоретической механики. Напомним, что одним из основных законов динамики матеРиальной точности является положение: ускорение материаль(л,~ нон ~очки относительно инерциального пространства ~ — ) про(,т) порцнонально сумме векторов, действующих на нее сил 2 — В 17 (Хг,), а коэффициентом пропорциональности является масса материальной точки (тс): лсс — = л,гс.
сс ссс ' ссс с Рассматривая КА как совокупность материальных точек переменного состава, удается вывести, что центр масс КА движется как материальная точка, масса которой равна массе всего КА в данный момент времени и к которой приложены равнодействующие всех внешних и реактивных сил и силы, обусловленные относительным и кориолнсовым ускорениями центра масс: — =Ж+пс '"" +2нс(сзХс'сотн), (1.2) ссс с ссс где Р скорость центра масс КА в иперциальном пространстве; вессс(с — ускорение центра масс КА в этом же пространстве; т — масса КА; дг"с — сумма внешних сил, действующих с на КА, включая реактивную силу; Р,„„— скорость центра масс относительно корпуса КА; Ю„,„/ссс — ускорение центра масс относительно корпуса КА; сэ — вектор угловой скорости КА в инерциальном пространстве.
Уравнение (1.2) и его возможные упрощения часто будем называть уравнением сил. Два последних слагаемых в правой части (1.2) связаны с перемещением центра масс КА относительно его корпуса. В большинстве случаев такое перемещение и скорость перемещения весьма малы, поэтому этими слагаемыми можно пренебречь и вместо соотношений (1.2) использовать уравнение сил в виде: (1.3) Обратим внимание на то, что равенство (1.2) или (1.3) определяет ускорение КА в инерциальном пространстве.
Для анализа движения КА вокруг центра масс (углового движения) следует использовать уравнение моментов. Оно может иметь вид 1 — "+(сзх)сэ) =ХМс, ссс с (1.4) где 1 — тензор инерции (матрица, главная диагональ которой состоит из значений осевых моментов инерции КА, остальные элементы этой матрицы есть величины центробежных моментов 18 З.
инерции, взятых со знаком минус); — — вектор углового успг корения КА в ннерциальном пространстве; Хм; — сумма вектог ров моментов, действующих на КА, включая момент реактивной силы, момент кориолисовых сил, управляющий момент. При нахождении и исследовании траектории КА основное внимание уделяется уравнению сил (1.3), к уравнению моментов (1.4) обращаются, если не удается разделить поступательное и вращательное движения КА. Анализ уравнения сил (1.3) показывает, что для описания движения КА необходимо: ввести некоторую систему отсчета — систему координат; проанализировать силы, действующие на КА, найти проекции этих сил на оси введенных систем координат.
1ЯК СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ДЛЯ АНАЛИЗА ДВИЖЕНИЯ КА Абсолютное пространство, в котором справедливо уравнение снл (!.3), есть некоторое гипотетическое пространство. В механике космического полета абсолютной системой координат считают прямоугольную декартову систему координат с началом в центре Солнца.
Оси этой системы координат неподвижны относительно звезд. Прямоугольная декартова система координат, начало которой помещено в некоторой точке пространства либо перемещается с постоянной скоростью, а направление осей относительно звезд неизменно называется инерциальной. Инерциальную систему координат можно определить как систему равномерно и прямолинейно поступательно перемещающуюся относительно абсолютной системы координат. Всякие другие системы координат являются неинерциальными, Описывать движение КА можно и в неиперциальных системах координат, но при этом придется учитывать то, что абсолютное ускорение КА, входящее в левую час~ь равенств (1.2) н (1.3), должно рассматриваться как сумма относительного ускорения в неинерциальной системе координат 1, переносного у~корвина системы координат 1, и кориолисова ускорения 1',; ьр =1+1,+ (,.
настоящее время для описания движения КА используетси большое число систем координат. Рассмотрим некоторые нз них. 19 Земные системы координат К этой группе систем координат относятся правые прямоугольные декартовы системы координат, начало и оси которых фиксированы по отношению к Земле и выбираются в соответствии с задачей. Среди этой группы систем координат рассмотрим геоцентрическую экваториальную систему координат, геоцентрическую эклиптическую и несколько позже — геоцентрнческую перицептральную системы координат. Геоцентрическая экваториальная (невращающаяся ) систем а коорди н а т.
Начало этой системы совпадает с центром Земли. Основная плоскость Сху совпадает с плоскостью земного экватора, ось Сг направлена по оси Земли к Северному полюсу мира. Направление оси Сх выбрано постоянным в инерциальном пространстве. Ось Сх направлена в точку весеннего равноденствия Х Ось Сх перемешается поступательно и параллельно радиусу-вектору Земля — Солнце в момент весеннего равноденствия. Отметим, что эта ось принадлежит плоскости эклиптики (плоскости, в которой происходит обращение вокруг Солнца центра масс системы Земля — Луна), так как в момент равноденствия Солнце находится над земным экватором и радиус-вектор Земля — Солнце принадлежит как плоскости земного экватора, так и плоскости эклиптики.
Геоцентрическую экваториальную систему координат используют для анализа движения искусственных спутников Зем. ли (ИСЗ), КА, осуществляющих перелеты между орбитами ИСЗ, межпланетных КА в окрестности Земли. Эту систему для большинства задач можно считать инерциальной, если пренебречь переносным ускорением, т. е, криволинейностью движения Земли относительно Солнца. Положение КА в геоцентрнческой экваториальной системе координат, кроме прямоугольных декартовых проекций х, у, г (эти проекции являются компонентами радиуса-вектора КА г: г=[х, у, г1), может характеризоваться сферическими координатами.
На рис. 1.1 точка С вЂ” центр Земли, ось Сх направлена в точку весеннего равноденствия Т (астрономический символ созвездия Овен). Угол между радиусом-вектором КА (Сл=г) и экваториальной плоскостью называется склонением и часто обозначается б( — я)2<8<я!2). Положительное склонение соответствует положению КА в северном полушарии. Угол между осью Сх и проекцией радиуса-вектора КА на плоскость экватора Сху называется прямым восхождением и обозначается а ( — 180'<а<180'). Положительные углы а соответствуют углам, отсчитанным от оси Сх в сторону оси Су.
Таким образом, сферическими координатами КА в геоцентрической экваториальной системе координат являются г, Ь, а. 20 Рис. ! !. Геоцентрпческан экваториальнаи система коорди- нат Рис. !.2. Относительное положение геоцентрпческих экваториальной (Схуг) и эклиптической (Сх;,у,г,) систем координат Для очень небольшого круга задач механики космического полета КА рассматривается и геоцентрическая гринвичская экваториальная система координат, вращающаяся вместе с Землей относительно ее оси.
В этой системе координат хорошо определять положение космодрома илн пункта наблюдения на земной поверхности. Плоскость СХсуа такой системы, как и экваториальной невращающейся системы координат, совпадает с плоскостью экватора. Ось СХо принадлежит плоскости гринвичского (нулевого) меридиана. Сферические координаты КА или земных объектов характеризуются геоцентрической широтой, долготовой и длиной радиусачвектора г. Геоцентрическая широта — есть угол между радиусом-вектором КА и плоскостью экватора. Широту в дальнейшем будем обозначать тр ( — я!2(ср(я)2). Отметим, что геоцентрическая широта и склонение равны между собой ср=б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
