Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поэтому в уравнениях (1.26) должна использоваться совокупность согласованных постоянных для массы, размеров планет и т. д. Такую совокупность еще именуют системой фундаментальных астрономических постоянных. В составе системы астрономических постоянных: астрономическая единица расстояния 1 а. е.=149,598 10э м; экваториальный радиус Земли Р,,,=6378,245 км; скорость света с= 2,997925.10' км/с; планетные массы (отношение массы Солнца к массе планеты) для: 'Меркурия — 6 000 000 Сатурна — 3501,6 Венеры — 408 000 Урана — 22 869 Земли и Луны — 329 390 Нептуна — 19 314 Юпитера — 1047,355 Плутона — 36 000.
Отношение массы Земли к массе Луны — 81,30. По мере накопления физических наблюдений система астрономических постоянных может уточняться, но и при этом значения постоянных должны оставаться согласованными. 4б Среди методов численного интегрирования уравнений движения отметим метод Рунге — Кутта; он удобен при применении ЭВМ уже по двум соображениям: для того чтобы начать вычисления, достаточно знать лишь исходные зяачения искомых функций; изменение шага численного интегрирования Ь не связано с дополнительными вычислениями. Четырехтактный метод Рунге — Кутта обеспечивает погрешность порядка й' и наиболее широко используется на ЭВАМ. Его алгоритм: Л у = — (й + 2/г + 2й~ + 74 ); 6 224 = и'2(УО го)' 722 = й 2' (УО+ — й2 (О+ — "); (1,45) ~3 ) (УО+ 22 ~О+ й) ЯО = г41 (УО+ ЯО го+ и) где Лу — прирост искомой функции на шаге интегрирования Й; 1(у, 7) — правая часть уравнения у=((у, 1), Обратим внимание на близость величин Лу и 144 порядка й'.
Эта особенность позволяет автоматизировать выбор шага интегрирования на ЭВМ с минимальными дополнительными вычислениями исходя нз косвенной оценки вычислительной погрешности ~ Лу — Й4 ~ . Для автоматизированного выбора шага экспериментально подбирают предельно допустимую величину Ь. Интегрирование уравнений (1.26) начинают с шагом йО, и после первого шага для всех искомых переменных выполняется анализ, в результате которого при: (ЛУ4 — я44) (6=2 ' 6(4=1, и) — интегрирование про-1 должается с удвоенным шагом; 6((ЛУ4 — 7244) (6 — интегрирование продолжается с ) (1,46) прежним шагом; 6()ЛУΠ— 144( — интегрирование повторяется с исходными начальными условия и половинным шагом. Эффективность использования автоматизированного выбора шага численного интегрирования для уравнений (1.26) возрастает по мере усложнения гравитационного поля вдоль траектории движения КА, например при последовательном пролете вблизи нескольких планет.
На участках движения КА с сильным гравитационным полем кинематические параметры траектории могут интенсивно меняться и дробление шага численного интегрирования неизбежно, в то время как на остальных участ- 47 ках, составляющих основную часть общей протяженности траектории, шаг интегрирования может на порядок и более увеличиваться. Ет. МЕТОДЫ ОЦЕНОК МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КА Действительная траектория движения КА отличается от расчетной в силу многих физических причин, называемых возмущениями. К числу возмущений относят ошибки системы управления движением КА на активных участках траектории, случайные отклонения условий движения (параметров атмосферы, ветра, характеристик поля тяготения, ...
) и неточности записи дифференциальных уравнений движения. Таким образом, отличия кинематических параметров движения КА от расчетных значений неизбежны, но важно, чтобы такие отличия находились в допустимых пределах, при которых задачи запуска КА надежно выполняю1ся. В связи с изложенным в механике движения КА разработаны методы оценок малых возмущений кинематических параметров движения. Методы оценок могут быть отнесены к двум группам: — аналитические и статистические методы оценок возмущений. Аналитические методы основаны на определении частных производных от кинематических параметров движения КА по возмущениям — — — — — — (1= 1, т), (1.47) дх ду дг дх ду дх дхв ' дЛв дЛв дЛ; дЛ; дЛ; Возмущения — Лв по физическому смыслу могут быть как случайными отклонениями конструктивных параметров, условий движения или значений астрономических постоянных, так и случайными функциями отклонений плотности и температуры атмосферы по высоте, порывов ветра и т, д.
Методика получения частных производных по конструктивным параметрам может использовать уравнения движения на активном участке [3], [8] или численное интегрирование с использованием ЭВМ траекторий с единичным отклонением одного из возмущений — ЛЛ; и последующим нахождением производных (1.59) по конечным разностям. Важным этапом аналитических методов оценки малых возмущений является определение корреляционной матрицы кинематических параметров движения [3]: К„(Лх, Лх), К„(Лх, Лу)... К„(Лх, Лг) Км(ЛУ, Лх), К„(ЛУ, Лу),, К„(ЛУ, Лг) (1,48) Квв (Лт Лх) Квв (Лт ЛУ) ° Квв (Ла Лт) Рис.
К9. Область возможного выклю- чения двигателя КА в фазовом про- странстве кинематическик параметров движения хг=х; хе=у; ...; хе=а Элементы корреляционной матрицы по существу являются вторыми моментами кинематических параметров как случайных величин. Они характеризуют возможные отклопения кинематических параметров от расчетных. Их вычисление основано на теореме о сложении дисперсий [3, 9). Так, используя (1.47), можно записать Лх = ~ — ЛЛг; дх дат Лд= ',г", — ЛА; ду дог Да = ~~„— Д).г; да и длг (1,49) (1,50) Кая х~~~~ ( ~ ~-~ ()ее) Дх= [Дхт, Лхя, Лхаг... Лха) (1,51) где Лх,=Лх, Лх,=Лу ...
Лха=Лг, матричное уравнение области выключения двигателя КА записывается [9] ЛхК вЂ” ' Лх'= 1, (1.52) 49 где 1.з(Ае) — дисперсия Е-го независимого возмущающего фактора. Практическое использование корреляционной матрицы 11.48) многообразно. Так, в фазовом пространстве шести кинематических параметров движения х, у, ...й с использованием обратной корреляционной матрицы К вЂ” ' можно определить область возможного выключения двигателя КА в конце активного участка (рнс. 1.9). Введем обозначение для вектора отклонений кинематических параметров где Ах' — транспонированная матрица. Матрица изохронных производных в момент 1: дх~ дхп дх дхд д', дх, дх' дхп дх', дхп дх, 1 и дхп (1.53) В= дхп дхп дхп и 1 дх, дхп ' ' дх, Отклонения кинематических параметров движения в момент й с учетом (1.51) и (1.53) выражаются матрицей-столбцом Ьх, = В Ах'.
(1,54) Соответственно матричное уравнение изохронной области отклонений кинематических параметров Ахй Кп 'Ах,=1, (1,55) где корреляционная матрица изохронной области возможных отклонений К, = ВКВ', (1,56) Статпстические методы оценок малых возмущений кинематических параметров движения КА стали широко использоваться благодаря возможностям современных ЭВМ. Суть подобных методов сводится к заданию случайного возмущения (или совокупностей случайных возмущений) и оценке их влияния на отклонения кинематических параметров путем численного интегрирования уравнений движения (1.26). Преимуществами статистических методов является относительно малое время подготовки к решению задачи оценки возмущений кинематических параметров движения КА и весьма точный учет нелинейных взаимосвязей. Таким образом, (1.55), (1.56) определяют трубку возможных траекторий КА. Ез.
УПРОЩЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ВЪ|БОРА ТРАЕКТОРИИ КА Воспользуемся записью уравнений относительного движения в форме (1.26) 80 л .! г/ — 1' Г (уравнение КА); (1.5?) и ~'~! ): ~ М г/ — г/ г/ ~л/э+а/~ лр ) ~з з/,л /и/ (1 = 1, и — уравнение небесных тел). Не все небесные тела и их естественные спутники одинаково влияют на движение КА. Влияние конкретного небесного тела пропорционально его массе М„которая для планет солнечной системы различается на несколько порядков, и обратно пропорционально квадрату расстояния ~ г/ — г!'.
Планеты Солнечной системы, обращаясь вокруг Солнца по известным орбитам, не могут приблизиться друг к другу или к Солнцу на расстояния, менее вполне определенного. При таких ограничениях ускорение притяжения планет Солнцем намного превышает ускорение притяжения между планетами. Воспользуемся этими обстоятельствами и запишем уравнение движения Солнца (/=1) и /-й планеты с учетом только их взаимного притяжения, т, е. пренебрегая влиянием остальных планет. Из (1.57) следует: уравнение движения Солнца )г/ — 7д~ / 1 уравнение движения /-й планеты г/ В рассматриваемом случае Земля с массой М, не влияет иа относительное движение Солнца и /'-й планеты, поэтому переносом начала системы координат в центр Солнца г„= г/ — ггт (1.59) сведем запись (1.58) к одному дифференциальному уравнению движения /-й планеты вокруг Солнца: с/ ! ~/ или 51 — +7 ' ' г„=О (/=2, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
