Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 14
Текст из файла (страница 14)
На рис. 2.7 стрелкой показано направление движения Рис. 2 7. Истсвпся азояалня спутника, именно в этом направлении и от вектора Лапласа )с отсчитывается истинная аномалия с. Угол, отсчитанный в противоположном направлении, должен рассматриваться как отрицательный. Итак, уравнение орбиты — это зависимость г=г(о). Такую зависимость достаточно легко можно получить, используя выражение для интеграла Лапласа (2.26).
Умножим скалярно левую и правую части равенства (2.26) на радиус-вектор г. Получим (Г, г) = — ([о Х Г[, г) — — (г, г). Г (2 30) По определению скалярного произведения (А, г) =Агсозю, где о — угол между Е и ),. Первое слагаемое правой части (2.30), используя циклическую перестановку в смешанном произведении и то, что [УХг1 = — о, преобразуем к следующему виду: — ([оХЦ, г) = — ([ГХг[, о) =(о, о) =ос Используя записанные соотношения, равенство (2.30) можно переписать в виде )сгсозв=о' — рг. 88 Получить г(н) из последнего равенства не представляет труда: г= (2,31) и + Л со5 о Справа в равенстве (2.31) о, Л, и — константы (две константы интегрирования и гравитационный параметр). Для приведения равенства к каноническому виду делят его числитель и знаменатель на р и после введения обозначений р=о'ф; е = Х/(х (2,32) (2,33) получают (2,34) 1+ е созо Последнее равенство принято считать уравнением орбиты спутника.
Входящие в него постоянные р и е называются соответственно фокальным параметром орбиты спутника и эксцентрисигетом этой орбиты, р и е — константы интегрирования, но зависимые от ранее найденных о и Л. Первый з акоп Кеплер а. Спутник движется по траектории, уравнение которой в плоскости этой траектории имеет вид равенства (2.34). Последнее равенство есть полярная форма записи кривой второго порядка (эллипса, гиперболы или параболы) с началом координат в фокусе этой кривой. Таким образом, справедливость выведенного равенства доказывает первый закон Кеплера, современная формулировка которого такова: траектория спутника в задаче двух тел есть коническое сечение, в одном из фокусов которого расположен гравитационный центр.
Кеплер сформулировал свой закон по отношению к планетам, утверждая, что они движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Таким образом, траектория КА в задаче двух тел (траектория спутника, естественного и искусственного) относительно гравитирующего центра является эллипсом, гиперболой или параболой. Такие траектории часто называются орбитами.
Поэтому в дальнейшем мы чаще будем говорить об орбите планеты относительно Солнца ит.д. Таким образом, в данном разделе получено уравнение орбиты спутника (2.34) и сформулирован первый закон Кеплера. Коротко рассмотрим возможные типы орбит КА в задаче двух тел.
б9 2.6. ТИПЫ ОРБИТ Уравнение орбиты спутника (2.34) содержит две константы: р, е, Этн константы определяют размер и форму орбиты спутника. Можно утверждать, что размер орбиты определяется значением фокального параметра р, форма орбиты — значением эксцентриситета е. Обычно тип орбиты спутника связывают с формой орбиты и рассматривают следующие основные типы: эллиптическая орбита (0(е(1); параболическая орбита (е=1); гиперболическая орбита (е)1).
Определение «основные» при перечислении типов использовано для того, чтобы подчеркнуть следующие два обстоятельства. 1. Случай круговой орбиты является частным случаем эллиптической (при этом е=0). 2. Возможен случай прямолинейного движения (при этом р=о=0). Его следует рассматривать как вырожденный для эллиптической, параболической и гиперболической орбит. При этом эксцентрнситет всегда равен единице (е=1) и тип орбиты доопределяется знаком константы энергии (Ь).
При Ь(0 это прямолинейное движение является вырождением эллиитического случая, при й=0 — вырождением параболического случая, при й)0 — вырождением гиперболического случая. Последнего замечания можно было не делать, если связывать определение типа орбиты спутника не с величиной эксцентрнситета, а со знаком константы энергии Й. Дело в том, что этн две константы связаны между собой зависимостью (2,35) которую легко получить, учитывая введенное обозначение (2.33), а также связь констант интегрирования (2.29). Из соотношения (2.35) следует, что величина эксцентриситета во многом зависит от знака й. Обратим внимание на то, что множитель при этой константе в выражении (2.35) неотрицателен.
В общем случае криволинейного движения спутника (оФО) из (2.35) следует: при Ь(0, е(1 — орбита эллиптическая; при Й=О, е= 1 — орбита параболическая; при Ь)0, е)1 — орбита гиперболическая. Отсюда становится понятнее, почему при описании обстоятельства 2 мы связали классификацию прямолинейного движения со знаком константы энергии Й. .70 Эллиптическая ор- а б и т а.
На рис. 2.8 представлена эллиптическая орбита л и спутника. Точка С на рисун- Л ке — центр гравитирующего се я тела и совпадает с одним из фокусов эллипса. От вектора Лапласа Х отсчитывается истинная аномалия, опреде- Рис. 28. Эллиптическая орбита спутляющая положение радиуса- вектора спутника д Эллипс есть замкнутая кривая. Таким образом, в задаче двух тел относительное движение спутника происходит по замкнутой постоянной кривой в иевращающейся плоскости с фокусом в гравитационном центре. При движении спутника истинная аномалия монотонно растет, становится равной 360'.
Дальнейшее изменение истинной аномалии при движении спутника можно считать или монотонно увеличивающимся до значений 720' и далее, или увеличивающимся со значения нуль опять до значения 360'. Проанализируем зависимость г(с) в форме (2.34). На одном витке эллиптической траектории спутника длина радиуса-вектора спутника один раз достигает своего максимального и один раз минимального значения. Эти значения соответствуют минимуму и максимуму знаменателя правой части равенства (2.34). При истинной аномалии в, равной нулю, знаменатель будет максимальным, а длина радиуса-вектора— минимальной.
Точка орбиты спутника с минимальным радиусом-вектором спутника называется перицентром орбитьь Она обозначается и (см. рис. 2.8), радиус перицентра орбиты (или перицентральный радиус) обозначается ги. Исходя из равенства (2.34) следует (2,36) 1 + е Итак, перицентр соответствует нулевой истинной аномалии, а радиус-вектор перицентра направлен по вектору Лапласа.
Максимальное значение длины радиуса-вектора спутника достигается при истинной аномалии, равной 180'. Эта точка орбиты называется апоцентрол и обозначается а (см. рис. 2.8). Апоцентральный радиус-вектор обозначается г . Из (2.34) легко получить (2,37) Р а 1 — г Перицентр и апоцентр орбиты лежит на прямой, проходя1цей через гравитационный центр (угол между й„и 7 равен 71 180'). Обратим внимание, что эллиптическая орбита спутника имеет один перицентр и один апоцентр. Это нужно иметь в виду, когда делается рисунок эллиптической орбиты: гравитационный центр (начало координат, фокус) нужно располагать достаточно близко от перицентра, чтобы на рисунке ближайшая к гравитационному центру точка орбиты была действительно одна. При рассмотрении орбит спутников (естественных и искусственных) в рамках задачи двух тел Солнце — планета, Солнце — КА часто вводятся специальные термины для обозначении пернцентров н апоцентров орбит.
Так, для орбит спутников Земли (в частности, для орбиты Луны) используются термины перигей, апогей. Гео — часть многих сложных слов (от греческого де — Земля), означающая: относящийся к Земле. Для искусственных спутников Луны используются термины пери- селений, апоселеннй. Для планет, как спутников Солнца, используются термины перигелий, афелий (греческое 11е!1оз Солнце). Форма н размер орбиты могут быть определены не только фокальным параметром р и эксцентриситетом е, но и любымн другими двумя константами, по которым можно найти р, е. Таких констант очень много.
Среди ннх уже встречавшиеся г„. г„, а, Л, Ь, а также большая а н малая Ь полуоси эллиптической орбиты, фокальное расстояние с. Только два из перечисленных параметров можно считать независимыми, остальные можно найти по соотношениям. Приведем некоторые из них; а= ~; Ь= ~; с'=а' — Ь', 1 — е' )/ (2 38) е=с!а; р= Ь'/а; Ь=аФ 1 — е', Распространенным понятием для орбит спутников является линия апсид.
Это есть направленная прямая, совпадающая с большой осью орбит и направленная по вектору Лапласа (т. е. в пернцентр орбиты). Перицентр н апоцентр орбиты объединяются термином апсидальные точки орбиты. П ар а бол и ческая орбита. На рис. 29а представлена параболическая орбита. Центр гравитирующего тела С находится в фокусе параболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
