Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.1 записана математическая модель, описывающая относительное движение спутника в виде уравнения (2.7). Следующие разделы посвящены исследованию этой модели. 2.2. ИНТЕГРАЛ ПЛОЩАДЕЙ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ Переходим к нахождению первых интегралов системы дифференциальных уравнений, описывающих относительное движение в задаче двух тел (2.7). Умножим левую и правую части равенства (2.7) векторно слева на радиус-вектор КА относительно гравитирующего тела.
Получим '( г х „, ) = '(г х ( — —, г ) ~ . Правая часть последнего равенства равна нулю, так как представляет векторное произведение коллинеарных векторов. 58 Таким образом, [г х „, )=О. (2.9) Рассмотрим производную от векторного произведения радиуса-вектора г на скорость КА относительно гравитирующего тела Р=Ю/йй По определению производной от произведения с учетом (2.9) получим [г х ф = [ "д', х Я+ [г х ф~ =0 (2.10) Таким образом, найден первый интеграл уравнений относительного движения в задаче двух тел. Из (2.10) следует, что в течение всего движения векторное произведение радиуса-вектора КА на его относительную скорость есть константа. Обозначим эту константу о (она векторная) и назовем константой интеграла площадей задачи двух тел или вектором площадей: г х — '1 = о = сопз(.
(2,11) и1 Само равенство (2.11) называют интегралом площадей или векторным интегралом площадей. Таким образом, если в какой-либо момент времени (например, начальный) известен радиус-вектор КА ге и его скорость рг, то легко можно найти константу интеграла площадей: (таХРг)=о, и утверждать, что для любого момента времени векторное произведение радиуса-вектора КА на его скорость будет равно найденной константе. Из векторного равенства (2.11) следует система трех скалярных равенств: у 1~,— г Ь'е — — о„; г 1'„— х 1~, = ое, х1'„— у 'г'„= о,, Равенства системы (2.12) являются тремя первыми (скалярными) интегралами дифференциальных уравнений относительного движения задачи двух тел.
Таким образом, можно утверждать, что получено три первых интеграла уравнений задачи двух тел. Можно показать, что эти интегралы независимы между собой и поэтому отметить, что из 6-ти независимых констант интегрирования системы (2.7) уже найдено три константы о„, о„, о,. П л о с к о с т ь д в н ж е н и я К А (с п у т н и к а).
Найденный интеграл площадей дает возможность выявить очень важное свойство траектории спутника, позволяет доказать, что относительное движение спутника происходит в постоянной 59 (невращающейся) плоскости, проходящей через гравитационный центр (центр масс гравнтирующего тела М). Для доказательства отдельно следует рассмотреть два случая: о~О и о=О. Второй случай, когда константа площадей ,равна нулю, следует рассматривать отдельно, как некий вырожденный случай. Обратимся сначала к более общему случаю. Пусть начальные УсловиЯ движениЯ таковы, что [геХГс]=о и[о[чьО.
До.кажем, что в любой момент текущий радиус-вектор спутника г(1) будет перпендикулярен вектору о. Действительно, скалярное произведение й и о равно нулю: (г, о) =(г, [гхГ)) =О, (2,13) Но скалярное произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из векторов равен нулю или когда векторы перпендикулярны. Вектор о в,рассматриваемом случае ненулевой. Вектор г также не может ни в одной точке траектории равняться нулю, иначе из равенства (2.11) следовало бы, что о=О, Поэтому остается единственная возможность для выполнения равенства (2.13) — перпендикулярность вектора г вектору о. Таким образом, в течение всего движения спутника его радиус-вектор перпендикулярен постоянному в рассматриваемой невращающейся системе координат вектору о, Значит, в любой момент времени г принадлежит плоскости, перпендикулярной вектору о. Эту плоскость назовем плоскостью траектории спутника.
Она проходит через гравитационный центр, постоянно расположена в невращающейся системе координат и перпендикулярна постоянному в этой же системе координат вектору о. На рис. 2.3 заштрихована часть траектории спутника, лежащая выше координатной плоскости ху, вектор площадей о перпендикулярен плоскости траектории спутника и его начало помещено в центр масс гравитирующего тела. Случай, 1когда 1константа площадей равна нулю [о[=О, является вырожденным. Без доказательства отметим, что этот случай соответствует прямолинейному движению спутника (скорость и радиус-вектор спутника коллинеарны).
Действительно, при коллинеарности Р и Р их векторное произведение равно нулю: [ о [ = [ [г Х Р1 [ = О. Замечание: Если исследовать ограниченную задачу двух тел, при которой движение спутника относительно гравитирующего тела можно рассматривать как движение в инерциальном пространстве, то можно утверждать, что траектория спутника принадлежит постоянной в инерциальном пространстве плоскости. Этой же плоскости принадлежит и гравитационный центр тела массой М.
Для того чтобы оставаться в 60 Рис. 2.3. Плоскость траектории спут- ника Рис. 2ий Компоненты скорости спутника (2. 14) х1'„— уР"„=о, Рис. 2.4 является плоской картинкой. Ось Сз системы координат направлена из начала координат на читателя, плоскость траектории спутника совпадает с плоскостью листа. Последнее равенство из (2.14) называется скалярньии интегралом площадей.
Перейдем от прямоугольных декартовых координат х, у к полярным г, 0. Полярный угол р отсчитывается от оси Сх против часовой стрелки. Отметим, что на рис. 2.4 спутник в плоскости ху вращается против часовой стрелки. Это следует из определения векторного произведения (и= =1УХй1) и выбранного направления оси Сз (Сг направлена по вектору а). Скорость спутника можно разложить на два взаимно перпендикулярных направления: 61 рамках более общей задачи, пришлось использовать понятие плоскости траектории спутника в невращающейся системе координат Схуз с началом в гравитационном центре массы М. В инерциальном пространстве эта система координат перемещается вместе со своим началом, вместе с массой М. Скалярный интеграл площадей. Выберем специальным образом систему координат.
Ее ось Сз направим по вектору а (предполагаем, что )и) чь0). Из только что доказанного свойства траектории спутника следует, что плоскость траектории спутника будет совпадать с плоскостью ху (специальным образом выбранной системы координат). При этом координата г спутника, так же как и компонента его скорости 1'„тождественно по времени равняется нулю. Используя скалярную форму записи интеграла площадей (2.12), можно по- лучить Г„=г— йр Ж (2,15) где Й~/Ж вЂ” угловая скорость радиуса-вектора. Переход от декартовых координат в равенстве (2.14) к полярным осуществим с помощью следующих соотношений: х = г соз р; у=ге(пр; Дх Дг ч'е — = — соз р — г — 5!и р; ш ж М 0у Нг . ер У„= — = — з(п ~+ г — соз (3, ш сы ш (2,16) Подставляя (2.16) в (2.14), получим: лр г — =с Ж (2.
17) Равенство (2.17) представляет собой полярную форму интеграла ллои(адей. Анализ полярной формы скалярного интеграла площадей показывает, что при увеличении длины радиуса-вектора спутника угловая скорость радиуса-вектора уменьшается: — = — о. Естественно, при приближении спутника лр 1 Ж к гравитирующему телу угловая скорость его радиуса-вектора увеличивается. 62 направление радиуса-вектора спутника, эта компонента скорости называется радиальной (на рис. 2.4 она обозначена У,); направление, перпендикулярное радиусу-вектору, эта компонента скорости называется трансверсальной и будет обозначаться Г„. Радиальная компонента скорости или просто радиальная скорость считается положительной, если У, направлена по радиусу-вектору, и отрицательной, если Р, направлена против г.
Радиальная скорость характеризует скорость изменения длины радиуса-вектора У,=йг/Ж Обратим внимание на то, что последнее равенство †скалярн в отличие от векторного У= = ог/Ж. Трансверсальная компонента скорости У чаще всего считается положительной, ее направление характеризует направление вращения радиуса-вектора спутника. Величина У„есть скорость конца радиуса-вектора спутника, обусловленная вращением радиуса-вектора относительно гравитационного центра: Если учесть (2.15) при анализе полярной формы интеграла площадей (2.17), то можно записать следующую простую форму скалярного интеграла площадей г $', = о = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
