Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 7
Текст из файла (страница 7)
17) гц ггу где Оо — сила притяжения массы с(т, массой дМн ) — гравитационная постоянная (6,6720-ь0,0041) 10 †" (Н и')/кгв, г;,— радиус-вектор массы г(т; относительно массы с(М; (рис. 1.7. Здесь С вЂ” центр масс гравптирующего тела). сгтг Суммирование элементарных сил С;. тяготения (1.17) по всем массам КА и массам, например Земли, дает возможность получить вектор силы гравитационного поля Земли, действующей на КА, или по-другому, гравитационную силу.
Эта сила в общем случае не проходит через с центр масс КА, Для КА, габаритные размеры которого весьма малы (а чаще всего пренебрежимо малы) по отношению к косми- ческим расстояниям (например, к радиусу Земли )с, = 6371 км), с большой точностью можно считать, что вектор гравитационной силы проходит через центр масс КА, и определять величину этой силы, считая, что КА есть материальная точка, помещенная в центре масс аппарата.
Такой подход может привести к определенным неточностям расчета траектории крупногабаритных космических конструкций (с размерами порядка десятков километров). Отметим, что в некоторых задачах анализа углового движения КА необходимо учитывать гравитационный момент. Гравитационный момент обусловлен тем, что гравитационная сила в общем случае не проходит через центр масс и создает момент относительно центра масс.
Для большого числа задач теории движения можно считать, что Земля (или другое гравитирующее тело) есть шар со сферическим распределением плотности, т. е. плотность любой точки Земли является функцией только расстояния этой точки от центра Земли, или по-другому: Земля состоит из однородных по плотности сферических слоев. Оказывается, что сила тяготения от гравитируюшего тела такой структуры равна силе тяготения материальной точки с массой, равной массе Земли, помещенной в ее центре: (1.18) где М вЂ” масса гравитирующего тела; г — радиус-вектор КА относительно центра гравитируюшего тела (относительно гравитирующего центра).
Именно таким выражением для гравитационной силы мы будем в основном пользоваться. Более сложная форма Земли будет рассматриваться при анализе движения ИСЗ. В этом случае будем учитывать возмущающее гравитационное ускорение, связанное с «несферичностьюь формы Земли. Произведение гравитационной постоянной на массу гравитируюшего тела М называется гравитационным параметром притягивающего тела рл (1. 19) Гравитационный параметр Земли равен р,=398,8 10' км'~/с'. Выражение для гравитационной силы при этом принимает вид (« = — — т— Р г г Введение понятия гравитационного ускорения связано с таким соотношением: (1,20) 32 Величина гравитационного ускорения у=1!/г' оказывается обратно пропорциональной квадрату расстояния КА от гравитирующего центра.
Гравитационное ускорение на удалении от центра Земли, равном среднему радиусу Земли )г,=6371 км, подсчитывается следующим образом: Ыо=, = 6 м/с ° в Гравитационное ускорение, описываемое соотношением (1.20), называется ньютоновским. Потенциал гравитационного поля В каждой точке окрестности гравитирующего тела есть свой вектор гравитационного ускорения.
Таким образом, перед нами векторное поле. Можно доказать, что векторное поле гравитационного ускорения является потенциальным, а значит, имеет потенциальную функцию (гравитационный потенциал). По физическому смыслу гравитационный потенциал (или потенциал гравитационного поля) в некоторой точке равен работе, которую необходимо совершить при перемещении точечной единичной массы нз данной точки в бесконечность относительно гравитирующего тела. Гравитационный потенциал, взятый с обратным знаком, есть потенциальная энергия единич.- ной массы, помещенной в рассматриваемую точку.
Векторное поле ньютоновского гравитационного ускорения (1.20) называется ньютоновским гравитационным полем. Потенциальная функция ньютоновского гравитационного поля зависит от длины радиуса-вектора точки и определяется по соотношению: У = (д/т. (1,2 1') В настоящее время разработан и рекомендован Междуна- родным астрономическим союзом специальный математический аппарат для описания гравитационного потенциала Земли и других планет в виде разложения в ряде по сферическим функ- циям Р (вшср) (61]: (7= — ~1+ ~ У„' — ' Р„(в ф)+ Х;; ~~") Р!д!(в(пф)х и 2 т п=в ден т х (А„д сов йХ+ В„д в1п йХ)1, (1.22) где Мз — масса Земли; )г,,,— экваториальный радиус Земли;, А и ф — геоцентрические долгота и широта соответственно; Х„, и, А д и В~д — безразмерные постоянные, характеризующие индивидуальные особенности поля тяготения небесного тела.
Их значения для Земли определяются по данным гравиметри- ческих ме ен " ских измерений на ее поверхности и внешнетраекторных изереннй эволюций орбит искусственных спутников. 2 — в зз' Наряду с влиянием нецентральности и аномалий поля тяготения близкой планеты необходимо учитывать притяжение относительно далеких, но больших планет и других небесных тел. Учесть это притяжение можно с помощью рассмотрения гравитационного потенциала как суммы потенциалов небесных тел. Воспользовавшись важным свойством потенциала векторного поля (производная от потенциала по любому направлению равна проекции гравитационного ускорения на это направление) и считая гравитационные поля и небесных тел ньютоновскими, можно получить: дУ к = — = — ~ ~ит (х — х;); дх,з,,з I ди а. = — = — 2„— "' (и — Рт); (1,23) ду;,,з / дУ вЂ” — (2 — аз), дг;, з т где 1з; — гравитационный параметр 1-го небесного тела (ГМз); х,, ун г; — координаты )что небесного тела; г;= 'у' (х — х;)з+ + (у — у,) з+ (г — з)' — расстояние КА от /-го небесного тела.
В том случае, когда КА движется вблизи какого-либо небесного тела, следует учитывать индивидуальные особенности поля тяготения этого тела. При этом при нахождении производных в равенствах (1.23) следует рассматривать потенциал этого тела не ньютоновским, а имеющим вид (1.22). Отличие гравитационного ускорения от ньютоновского будем обозначать Ьд. Тяга ракетного двигателя В большом числе случаев считается, что ракетный двигатель устанавливается вдоль оси КА и вектор тяги Р направлен по продольной оси аппарата: Р=Р Хз, (1.24) где Хз — единичный орт продольной оси аппарата. Величина тяги ракетного двигателя определяется по соотношению Р = пз М7„ где Ю',— эффективная скорость истечения.
Проекции вектора тяги ракетного двигателя на оси связанной системы координат имеют вид: Р = [т(Р„О, 01. 34 Проекции вектора тяги на оси других систем координат несложно получить с помощью матриц перехода между системами координат или анализом углов, характеризующих положение продольной осн КА относительно системы координат. Так, проекции вектора тяги на оси орбитальной системы координат (ОлгЬ) имеют вид Р=(Рсоздсозф; Рз1пб; — Рсоздз1пф].
Участок траектории, на котором включен ракетный двигатель, называется активным. На пассивном участке двигатель выключен. 1.4. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩАЯ ДВИЖЕНИЕ КА Опишем движение произвольного КА. Движение аппарата будем рассматривать в геоцентрической системе координат. Приведем также уравнения движения центра масс КА в орбитальной системе кооординат.
Уравнения сил Запишем уравнения сил в проекциях на оси геоцентрической экваториальной невращающейся системы координат. Строго говоря, рассматриваемая геоцентрическая система. координат неинерциальна, так как ее начало перемещается вместе с центром Земли по некоторой траектории, близкой к эллиптической, вокруг Солнца, т. е, неравномерно и непрямолинейно. Эта система координат не вращается относительно абсолютного (звездного) пространства. Кориолисово ускорение КА в ней будет нулевым.
Абсолютное ускорение КА будет равно сумме относительного ускорения 4(зг/4(гз (ускорения КА в геоцентрической системе координат) и переносного ускорения д'р/г(1' (ускорения центра масс Земли, обусловленного притяжением Земли небесными телами). При этом уравнение сил имеет вид лг( — + — ) =О+Р+ Ал+Ол+ос+ 2~ 6в т~ (1.25) где б„о„Хб,,, — силы притяжения КА Луной, Солнцем и другимн небесными телами; Ʉ— аэродинамическая сила. Одной из важных особенностей движения КА является его длительность.
Межпланетные перелеты могут достигать 10 н более лет. В течение столь длительного времени даже неболь1пие погрешности дифференциальных уравнений движения КА могут привести к существенным отклонениям расчетной траек- 2* 35 1 1 / / / / ь О' Гппнзе -т, Вернуро Венера -тг б / Д упоен — сп, Пуне -т„ егоре- т, 'нарос -тн, // ее нос -сон Юпотер — те , рп — т„ Гзрппа -т„ Гпнннер-епт / рпутпн-те о ротор-тт В Реорп -топ -т, лпр рае. Тотон-т, Тоспоннп-т Рис. 1.8, Движение КА в гравитационном ноле небесвыз тел торин от действительной.
Поэтому для ряда космических маневров необходимо учитывать силы притяжения многих небесных тел. При таком учете приходится определять не только кооРДинаты КА Г='[х, У, х)п но и кооРДинаты небесных тел Уе= =[хо уо а;] (Солнца, планет, естественных спутников планет (рис. 1.8)). При этом совместно интегрируется уравнение движения КА (1.25) и уравнения движения небесных тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
