Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Построена полуокружность ЕОК .радиусом, равным большой полуоси а с центром в О. Точка пересечения перпендикуляра птл и полуокружиости (она обозначена В) соединена с точкой О. Можно показать, что эксцентрическая аномалия есть угол ВОС: Е= н ВОС. Ранее было найдено уравнение орбиты как функции истинной аномалии и (2.34). Можно получить уравнение орбиты спутника как функции эксцентрической аномалии,(41 г=.а(1 — есозЕ).
(2.61 Оно имеет такую же силу, как и уравнение орбиты в виде функции истинной аномалии (2.34). Ур а в н е н и е Ке п л е р а. Уравнение Кеплера, которому посвящен настоящий раздел, связывает эксцентрическую ано- 82 малию (характеристику положения спутника) со временем. Для вывода этого уравнения получают дифференциальную зависимость Е и 1 и затем ее интегрируют 14, с. 108): Š— ез(п Е=п(1 — 1„), (2.62) где и= 'к' р/а' — константа, называемая средним движением спутника. М=п(( — ~„ ) называется средней аномалией спутника. Уравнение Кеплера (2.62) дает возможность связать положение спутника на орбите со временем, прошедшим после прохождения спутником перицентра.
При этом возможно два типа задач. В первом типе задается некоторая точка орбиты (эксцентрическая аномалия Е) и нужно найти время, когда спутник попадает в эту точку. Во втором типе задач, напротив, задается время, прошедшее после прохождения перицентра, и требуется определить положение спутника. Оба типа задач связаны с решением уравнения Кеплера, только в первом случае неизвестным является время 1, во втором — эксцентрическая аномалия Е. Решение первого типа задач проводится аналитически — уравнение Кеплера линейно по г и легко разрешается относительно й Решение второго типа задач сводится к решению трансцендентного уравнения.
Третий закон Кеплер а. В рассматриваемом случае эллиптической орбиты орбита КА замкнутая и КА (спутник) многократно проходит один и тот же эллиптический путь. Время между двумя последовательными прохождениями одной и той же точки эллиптической орбиты называется периодом обращения спутника и часто обозначается Т. С помощью уравнения Кеплера легко можно найти период обращения спутника как функцию большой полуоси его орбиты.
Рассмотрим начальное положение спутника в перицентре его орбиты. В этот момент эксцентрическая аномалия спутника равна нулю (Е=О). Через период (1 — 1и=Т) спутник опять придет в перицентр и его эксцентрическая аномалия будет равна 2п. Из уравнения (2.62) следует 2п — е з)п 2п = и Т; (2.63) п ий Таким образом, период обращения спутника зависит от большой полуоси его орбиты и гравитационного параметра задачи двух тел. Если гравитационную константу задачи двух тел можно рассматривать одной и той же для разных спутников (это вполне можно делать при анализе орбит ИС одного гравитирующего тела, например Земли), то период оказывается функцией только большой полуоси орбиты спутника. Чем боль- аз ше большая полуось орбиты, тем больше период обращения. Если рассмотреть орбиты двух спутников с большими полуосями а, и аг, то, исходя из (2.63), можно утверждать, что гтериоды обращения этих спутников Т, и Тг находятся в соотношении Тг! Тг = аг! аг.
(2.64) Равенство (2.64) является математической формулировкой третьего закона Кеплера: квадраты периодов обращения спутников относятся как кубы их больших полуосей, Обратим внимание на то, что при формулировке этого закона: рассматривают спутники одного гравитирующего тела (например, два спутника Земли); дни>кение каждого спутника рассматривают в рамках ограниченной задачи двух тел. Третий закон Кеплера дает возможность получить периоды обращения спутника по его большой полуоси, если известен период одного спутника. Действительно, из (2.64) вытекает Тг — — Т, (аг/а,) д.
(2.66) Зная период обращения, например, кругового спутника нулевой высоты относительно гравитнрующего тела, с которым мы сталкиваемся при введении понятия первой космической скорости (Т, = гх', = 84,3 мин), можно подсчитать пврио2я зтг т Из ды обращения спутников Земли по формуле Т=84 3( ) где а — в километрах; Т вЂ” в минутах. После получения соотношений для периода обращения спутника легко указать физический смысл среднего движения и н средней аномалии спутника М. Физический смысл и — средняя угловая скорость движения спутника. Действительно, период обращения спутника по орбите (Т) находится с помощью (2.63). За период радиус-вектор спутника поворачивается на 2п радиана вокруг гравитационного центра. Поэтому средняя угловая скорость находится с помощью следующих равенств: — = 1~ н и Т т вг Физический смысл средней аномалии М вЂ” радиальная мера дуги, которую описал бы в промежутке времени '(г, ~) воображаемый спутник, двигающийся по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси исследуемой орбиты.
Для контроля усвоения материала предложим читателю задачу. В окрестности Земли находится некоторая небольшая 84 масса т(пт«Л4,). В какой-то момент времени она разорвалась на две части так, что скорости каждой из частей относительно невращающейся системы координат с началом в центре. Земли оказались эллиптическими, равными по величине. Направление этих скоростей различно.
Вопрос заключается в том„ встретятся ли эти части (спутники) в своем движении вокруг Земли. Предполагается, что орбиту каждого из спутников можно рассматривать в рамках ограниченной задачи двух тел. Решая эту задачу, можно нарисовать эллиптические орбиты каждой из масс. Эти эллиптические орбиты имеют хотя бы одну общую точку, совпадающую с начальной (в которой масса разорвалась). Для того чтобы спутники через один оборот встретились в этой точке, достаточно, чтобы их периоды совпадали. Осталось доказать, что периоды спутников совпадают. Для этого необходимо воспользоваться соотношениями (2.64) и (2.49).
Последнее соотношение нужно для того, чтобы доказать, что большие полуоси рассматриваемых спутников равны. Связь положения со временем для гиперболической орбиты Полученное в предыдущем разделе уравнение Кеплера справедливо только для случая эллиптической орбиты спутника. Укажем итоговые соотношения для случая гиперболической орбиты: уравнение орбиты КА г = (а ~ (е сп Н вЂ” 1); среднее движение (2.67) уравнение Кеплера — Н + е зп Н = (п~ (г — ~„). (2.68) Величина большой полуоси и среднего движения стоят со знаком модуля для того, чтобы подчеркнуть, что иногда эти значения считаются отрицательными и мнимыми.
В соотношениях (2.66) — (2.68) ~а~, (п~ — положительные действительные числа. Величина Н вЂ” аналог эксцентрической аномалии Е для случая гиперболического движения. Связь Н и истинной аномалии о описывается соотношением (2. 69)' 85 Связь положения со временем для параболичесиой орбиты В случае параболической орбиты связь истинной .аномалии со временем получается достаточно простой. Никакой эксцентрической аномалии или ее аналога для параболической орбиты не вводится. В соотношении (2.57) осуществляется подстановка е=1 и берется входящая в него квадратура. Результат оказывается следующим: (1 ( ) — 1 ~ 1д — "+ — 1к' — ").
(2.70) Равенство (2.70) дает возможность получить время движения спутника по параболической орбите от перицентра орбиты до произвольной точки, характеризуемой истинной аномалией и. При решении второго типа задач (когда ищется положение) равенство (2.70) следует рассматривать как алгебраическое уравнение относительно 1д э/2. Перелет между произвольными точками орбиты До сих пор, связывая время с положением КА на орбите, мы опирались на характерную точку орбиты (пери- центр) и отсчитывали время от момента прохождения пери- центра. Для более общего случая, когда нужно измерить время движения КА от одной произвольной точки орбиты до другой, поступают следующим образом.
Пусть г, и ~з — два произвольных момента времени. Положения КА в эти моменты времени характеризуются истинными аномалиями щ и пь Для получения зависимости, связывающей ~ь (ь пь ом дважды запишем уравнение Кеплера. Пусть для определенности орбита эллиптическая, тогда и((,— 1„) =Е,— ез(пЕ,; и (1, — 1 ) = Е, — е з 1п Е,. Вычитая эти равенства почленно, получим и (Ц вЂ” (,) = Е, — Е, — е (з1 и Е, — з1 и Е,). (2.71) Последнее равенство и связывает время движения между двумя точками с расположением этих точек. При нахождении связи времени с положением можно воспользоваться разработанными вычислительными процедурами современных ЭВМ; Внутри процедуры проводится диагностика типа орбиты спутника. Использование такой процедуры не таит в себе возможность аварийного останова или других вычислительных неприятностей.
'ва Таким образом, в данном разделе проанализирована связь положения КА со временем в задаче двух тел, для трех основных типов орбит КА исследована зависимость времени от характеристики положения (эксцентрической аномалии, истинной аномалии). 2.10. ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ СПУТНИКА Вернемся к рассмотрению пространственного движения спутника в задаче двух тел. Как было доказано выше, траектория спутника относительно гравитационного центра располагается в невращающейся плоскости, проходящей через гравитирующий центр. Рассмотрим движение спутника в прямоугольной декартовой системе координат с началом в гравитирующем центре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
