Лекция12и (1246163), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найтиdx1- 2 xРешение. Положим t  1- 2 x ,откуда x  0 ,5  0 ,5t ,т.е. вводится функция x   (t) , имеющая непрерывную производную иоднозначно связывающая переменные х и t .Находим dx  0 ,5dt .Подставляем это в интегралdx 0 ,5dtdt0,5 1-2 x  t t  0,5 ln t  C  0,5 ln 1  2 x  C .Интегрирование по частямТеорема 19.3Для функции u(x) и v(x) имеющих непрерывные производные справедливаформула udv  uv -  vduДоказательствоПусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производныеu x  и v' x Тогда, по правилу дифференцирования произведения, будем иметьu( x )v( x )  u( x )v( x )  u( x )v( x )Отсюда, используя v ( x )dx  dv и u ( x )dx  du , получимu(x)v(x)dx  uv u( x )v( x )  u ( x )v( x )dx   u( x )v( x )dx   u ( x )v( x )dx   udv   vduТаким образом udv   vdu  uvОкончательно udv  uv   vduИнтегрирование по этой формуле называется интегрированием почастямЗамечание 1.

При нахождении функции v по ее дифференциалу dvможно брать любое значение постоянной интегрирования С,так как она в конечный результат не входит(для проверки этого достаточно в последнюю формулу подставитьv+С вместо v).Поэтому для удобства следует брать С=0.Замечание 2. Использование формулы интегрирования по частямцелесообразноупрощаетводинтехслучаях,когдаизсомножителей,интегрирование не усложняет другой.дифференцированиевтовремякакОсновные случаи, когда применяется данный способ интегрирования:1) подинтегральная функция содержит-произведение многочлена от x на показательную функцию от x ;-произведение многочлена от x на sin(x) или cos(x);-произведение многочлена от x на ln(x);2) подинтегральная функция представляет собой одну из обратныхтригонометрических функций arcsin(x), arccjs(x) и т.д.;3) подинтегральная функция есть произведение показательной функциина sin(x) или cos(x).e axnu  x n , du  nx n 1e axe ax x  sin ax dx  dv  sin ax dx, v  1  cos ax , n  1, 2,...

.cos axcos axasin axЗдесь после применения формулы интегрирования по частям показаnтель степени у множителя x уменьшается на единицу, а послеn  кратного применения формулы этот множитель исчезает.ln n xln n xu  arcsin x , du axarctg x  arcsin x dx arctg xdv  x a dx, v n ln n 1 xx11 x11  x22dx, n  1, 2,...

.; a  0.1x a 1a 1В этом случае после интегрирования по частям исчезают "плохие" функции  логарифм, арксинус, арктангенс. Точно так же интегрируются арккосинус и арккотангенс.Замечаниеиспользовать3.Приинтегрированииопределеннуюформупозаписи,частямудобнопозволяющуюизбежать ошибок подстановки типа «берем не то и подставляемне туда». udv  uv   vduПример. Найти интеграл x  cosxdxРешение. Здесь следует ввести u(x)  x и dv  cos xdx  d (sin x ) .Тогдаdu  dx, u  x,x  cos xdx    x sin x  sin xdx  x sin x  cos x  Cdv  cos xdx, v  sin x uv  xsinx vdu   sin xdx .Замечание 4. К нахождению интеграла  vdu в правой частиформулы можно снова применять интегрирование по частям.Пример. Найти  x 2 e x dx .Решение.u  x 2 ,du  2 xdx,  x 2 e x  2 xe x dx .x e dx  xxdvedx,ve2 xПоследний интеграл возьмем тем же методом:du  dx,u  x ,xxxxxedxxeedxxeexxdvedx,vexОкончательно получим2 x2 xx2 xxxxedxxe2xedxxe2xe2eCЦиклическое интнегрирование2x2xue;du2edx;  2 x2x2xecosxdxesinxsinx2edx dv  cos xdx; v  sin x 2x2xu  e ; du  2e dx;dv  sin xdx; v   cos x;e 2 x sin x  2  e 2 x cos x    cos x  2e 2 x dx   e2 x sin x 2e2 x cos x  4 cos xe2 x dxВидно, что в результате повторного применения интегрирования почастям функцию не удалось упростить к табличному виду.

Однако,последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного.Поэтому перенесем его в левую часть равенства.5 e 2 x cos xdx  e 2 x (sin x  2 cos x )И окончательно получим2xe2xe cos xdx  5 (sin x  2cos x) C.Еще пример нахождения неопределенного интеграла приведением к табличным.2  x2  2  x2dx 44 x2  x2  2  x2dxdx 2  x 2 2  x2 dx   2  x 2   2  x 2x2 ln x  x  2  arcsin C.2.

Характеристики

Список файлов лекций