Лекция4-2 (1246149)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (2)ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВlimПример 1. Вычислитьx 0x.x 1Решение. Заметим, что в точке x = 0 данное выражение принимает значениеравное 0. При x = 0 здесь нет неопределенности, таким образом,limx 0Пример 2.

Вычислитьx 0.x 1x.x 1 x  1limРешение. Примем во внимание связь между бесконечно малой иБесконечно большой функцией. Очевидно, чтоx .x 1 x  1limПример 3. Вычислитьx3  1lim 2.x 1 x  1Решение. Очевидно, что мы имеем неопределенность 0 .0Разложим числитель и знаменатель на множители:( x  1)( x 2  x  1)x2  x  1 3lim 2 lim lim .x 1 x  1x 1x 1( x  1)( x  1)x 12x3  1limПример 4.

Вычислитьx 0x3  x232x x x.Решениеlimx 0x3  x232x x x limx 0x 2 ( x  1)2x( x  x  1) limx 0x( x  1)2x  x 1 0.Пример 5. Вычислитьx xxlim.x 1x 1Решениеx xxx( x  1)x1lim lim lim .x 1x1x1x 1( x  1)( x  1)x 1 2Пример 6. Вычислитьx 1lim.xxРешение.x1 x 1lim limx  xx x1x lim 1 x  1  1.xПример 7. ВычислитьРешение.limxx 5  2x 4  x 3  2542x  x  x  1.2 12 5x125 x 5  2x 4  x 3  2xxx  1lim lim .x  2 x 5  x 4  x  1x  5 1 11  2x 2   4  5 x xx ЗамечаниеПоведение многочлена на бесконечности определяется поведениемего старшей степени. Поэтому при решении данного примера можно былочислитель и знаменатель заменить на эквивалентные им старшие степени, т.е.limx x 5  2x 4  x 3  22x 5  x 4  x  1x51.5x  2 x2 lim4Пример 8.

Вычислитьlimx3  x  1  3 x  13x  2.x  x 1Решение. Заменяя многочлены, стоящие под корнем, на эквивалентные имстаршие степени, получим4limx  x3  x  1  3 x  132x  x 1 limx  3x42x31x3 limx  3x42x3 limx  9x128x12 limx  12x  .Пример 9. Вычислитьsin 3x.x0 sin 5 xlimРешение.

Принимая во внимание первый замечательный пределзапишем данный предел так:3x  sin 3xsin 3x3x 33xlim lim lim  .x  0 sin 5 xx  0 5 x  sin 5 xx 0 5 x55xsin x 1,x 0xlimПример 10. Вычислитьsin 2 xlim.x  0 1  cos xРешение.2xx2sincossin 2 xsin 2 x22 lim lim lim x  0 1  cos xx 0x x 0x2 sin 22 sin 222xx cos 222 2x2 sin 224 sin 2limx 0При вычислении данного предела мы учли, что cos0 = 1.xПример 11.

Вычислить x 1lim  .x   x  2 Решение. Заметим, что мы имеем неопределенность  Примем во вниманиевторой замечательный пределx1lim 1    e.x  xТогда данное выражение можно преобразовать так:xx1 x 1 x  2  1lim limlim1x    x  2 x   x  2 x   ( x  2) ( x  2)x( x  2)1 (x  2 )1 lim  1 x (x  2) ex(x  2 ) e 1 .Величина в квадратной скобке в силу второго замечательного пределастремится к e.Вычисление пределов видапри x → a.Сначала представим функцию f(x) в виде суммы единицы и бесконечномалой величиныПреобразуем показатель степениУчитывая, что при x → aполучимЕще один способ вычисления пределов видагде α(x), β(x) бесконечно малые функции при x → a, основываетсяна использовании тождестваПри этомСравнение бесконечно малых функцийРассмотрим в точке x0 бесконечно малые функции a(x) и (x).Определение 4.4.(x) есть бесконечно малая более высокого порядка малости,чем (x), если ( x)lim 0.x  x 0 ( x )При этом пишут (x)=o((x)).Соответственно, (x) есть бесконечно малая более низкого порядкамалости, чем (x) ( x) .x  x0  ( x )limОпределение 4.5.Бесконечно малые a(x) и x) имеют одинаковый порядок малости,если ( x) k,x  x0  ( x )limгде k – конечное число, k  0.При этом пишут (x)=O((x)).Определение 4.6.Говорят, что a(x) и (x) эквивалентные бесконечно малые в точке x0, если( x)1x  x0 ( x)limПри этом пишут a(x) ~ (x).Теорема 4.12.Произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая болеевысокого порядка малости, чем каждый из сомножителей.Доказательство.Пусть ( x)0x xo,( x)0, тогдаx x0( x)  ( x) ( x )  ( x )lim lim  ( x )  0; lim lim ( x)  0.x  x0xxxxx  x0( x )( x)00Теорема 4.13.Для того, чтобы бесконечно малые a(x) и (x) были эквивалентны,необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малойболее высокого порядка малости, чем каждая из них.Доказательство.Необходимость.Пусть a(x) ~ (x), тогда ( x)  ( x) ( x)lim 1lim 1  1  0.x x0x x0 ( x ) ( x ) Достаточность.Пусть разность (x) - (x) есть бесконечно малая более высокого порядка,малости, чем (x), т.е. ( x)   ( x)0x x0 ( x)limтогда( x)( x)  ( x)( x)1lim 1  lim0x x0xx( x )0 ( x ) ( x)x x0Аналогично: ( x)1x  x0  ( x)limТеорема 4.14.

(Принцип замены на эквивалентную).Если в точке x0 a(x) ~ a1(x), (x) ~ 1(x), то 1 ( x)( x)lim limx  x0 ( x )x  x0  ( x )1Доказательство( x )( x ) lim1x  x0  ( x)x  x0  ( x)11По условию теоремы, limследовательно,  ( x) 1 ( x) 1 ( x) 1 ( x)1 ( x)( x )( x) lim limlimlim x x  ( x) x  x  ( x) x x ( x) x  x0 ( x )x  x0  ( x )  ( x ) ( x )00 10 111lim1 ( x )x x0  ( x )1 limsin x1x 0 xМы доказали ранее замечательный предел limОтсюда можно сделать вывод, что sinx ~ x в точке x0 = 0.Таблица основных эквивалентностейПриведенная таблица допускает более широкое толкование, а именно:еслиα(x) – бесконечно малая функция при x → a, то.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций