Лекция11-1 (1246161)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 11ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (6)ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙИсследование критических точек с помощью второй производнойВторое достаточныое условие экстремумаВыпуклость и вогнутость кривыхТочки перегибаАсимптоты кривыхОбщая схема исследования функцииВторое достаточное условие экстремумаТеорема 11.1. Если в окрестности точки x0 функция f (x) непрерывна и дваждыдифференцируема, причем в этой окрестности f  x  непрерывна, а в точке x0f  x0   0 , в точке x0 функция, в точке x0 функция имеет минимум.первая производная обращается в нуль, то еслиимеет максимум, а если f  x0   0Доказательство.Докажем первую половину теоремы. Напишем формулу Тейлора второго порядкадля данной функции f (x):,.f  x   f  x0  f  x0 f  2  x  x0    x  x0 1!2!где точка  лежит между x и x0.

По условию теоремы,f  x   f  x0  f  2  x  x0 2!f  x0   0, значитf  x0   0Допустим, что, тогда по теореме о стабилизации знака непрерывнойфункции существует окрестность точки x0 такая, что знак второй производной будеттот же, что и в точке x0, т.е. в точке  вторая производная будет иметь тот же знак,что и в точке x0, т.е.x0 x0f    0x0 0А тогда окажется, что для всехx U x 0 ;  :т.е. в точке x0 функция имеет максимумf x   f  x0   0,Выпуклость и вогнутость кривыхОпределение 11.1.

Непрерывная кривая на промежутке a; b], выпукла вверх,или просто выпукла, если график располагается ниже касательной к графикуфункции, проведенной через любую точку графикаОпределение 11.2. Непрерывная кривая на промежутке a; b], выпукла вниз, иливогнута, если ее график располагается выше касательной к графику функции,проведенной через любую точку графика.yyx00Геометрически очевидно, что если кривая выпукла, тоf  x   x   f  x   f  x    x  0x y  dy, т.е.yyесли кривая вогнута, то. y  dy, т.е.f  x   x   f  x   f  x    x  00x x xdyxТеорема 11.2. Если функция f (x) дважды дифференцируема на отрезке a; b], причемf  x   0 на этом промежутке, то на промежутке a; b], график функции выпуклый,а еслиf  x   0, то на промежутке a; b], график функции вогнутый.Доказательство.Пустьf  x   0ина промежутке a; b].

Возьмем точки x  [ a ; b] x   x   [a ; b] , тогда имеем разложение Тейлора:f x   x   f  x f  x f  2 x   x  ,1!2!где точка  лежит между x и x+ x.Следовательно, f  x   x   f  x   f  x    x f   x 2 ,т.е.  f  df  0,2!а это и означает, что кривая – выпуклая.yy0x x xdyxВторая половина теоремы доказывается аналогично.Геометрическиyyf ( x)  0  f ( x) возрастаетf ( x)  0  f ( x) убывает0x0xТочки перегибаОпределение 11.3.Точка на графике функции f (x), отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой,называется точкой перегибаИз определения следует, что при прохождении через точку перегиба втораяпроизводная меняет знак.Если x0– абсцисса точки перегиба, тоf  x0   0 илиf  x0   f  x0 илине существует.ууххТеорема 11.4 (достаточное условие существования точек перегиба).Если вторая производная f"(x) при переходе через точку x0, в которой она равнанулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой x0есть точка перегиба.Наибольшее и наименьшее значение функцииДопустим, что некоторая функция f (x) непрерывна на промежутке a; b], тогда наэтом промежутке она имеет наибольшее и наименьшее значения.

Чтобы их найти,нужно отыскать все максимумы и минимумы функции, вычислить ее значения наконцах промежутка, а затем сравнить их между собой и выбрать наименьшее инаибольшее.y0a x1x2bxЗамечаниеЕсли функция у = f(x) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точкуи она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функцияпринимает наибольшее (наименьшее) значение.Если функция у = f(x) на отрезке [a;b] не имеет критических точек,то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает.Следовательно, наибольшее значение (М) функция принимает на одном концеотрезка, а наименьшее (m) — на другом.Четность и нечетность функцииПри исследовании функции всегда нелишне проверить, является ли даннаяфункция четной или нечетной, так как в таком случае достаточно исследоватьфункцию только для x  0, а затем отобразить ее для отрицательных x симметричноотносительно оси 0y или симметрично относительно начала координат.Определение 11.4.

Функция f (x) называется четной, если f  x   f  x длялюбой точки x из области определения функции.y  cos xcos x   cos xОпределение 11.5. Функция f (x) называется нечетной, если f  x    f x .y  x3y  x    x 3   x 3Асимптоты кривыхОпределение 11.5.Прямая линия называется асимптотой графика функции y  f  x если расстояние между текущей точкой графика и этой прямой стремится к нулюпо мере удаления точки от начала координатyNM0xИтак, предположим, что график функции имеет наклонную асимптотуy  kx  b k   тогда очевидно, чтоlim f  x   y ac  0 , т.е.xb f x lim  f  x   kx  b  0  lim x k  0xx  xxПредельное равенство может иметь место, лишь когда выражение в квадратнойскобке стремится к нулюbx   , то 0 , приВследствие того, чтоxf xk  lim.xxЕсли k найдено, то нетрудно найти и b:.b  lim  f  x   kx x В частности, если k = 0, то мы будем иметь частный случай наклоннойасимптоты – горизонтальную асимптоту.Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, еслиlim f  x   xaОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИПри построении графика функции необходимо провести ее предварительноеисследование.Построение сразу по точкам, за исключением элементарных случаев, можетпривести к потере на графике важных свойств функции.Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика может бытьпредставлена в виде1.

Определить область существования функции.2. Выяснить, является данная функция четной или нечетной.3. Найти точки, подозрительные на экстремум и выяснить характерэкстремумовс помощью первой или второй производной, а такжевычислитьymin , ymax4. Определить интервалы возрастания и убывания функции.5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции.6.

Найти точки перегиба.7. Найти асимптоты графика функции.8. Вычислить значение функции в некоторых контрольных точках (например,значение функции в начале координат), точки пересечения с координатнымиосями.Нарисовать график функции.x2  1Пример1. Исследовать функцию y xРешение.1) Область существования функции x   1  x22) Функция четная, так как3)(, 0)  (0, )x21x x2  1 x2  1,.x  0 2 ,x  0x xyy221  x , x  0 x  1 , x  0 xx2Функция имеет критическую точку x1 = 0, в которой производная не существует,но в этой точке функция уходит на , следовательно, функция не имеет нимаксимумов, ни минимумов.4) Функция убывает, когда5,6) 2 x3 , x  0y  ,2 ,x  0 x3и возрастает, если x  (0,)x  (,0)y  0   Кривая везде выпукла, а точка x1 = 0 не является точкойперегиба, так как мы установили ранее, что в этой точке функция не определена.y13 2 1 01 2 3x7) Очевидно, что x = 0 является вертикальной асимптотой.

Действительноx2  1lim y  lim ;x0x0x1  x2lim y  lim x 0x 0xа)f xx2  1k1  lim lim1x xx x 2 x2  1b1  lim  f  x   k1 x   lim  x  0x x  xИтак,y  x  наклонная асимптота приx  .б)f x 1  x2k 2  lim lim 1x  xx x 21  x 2b2  lim  f  x   k1 x  lim  x  0x x  xТаким образом,y  xявляется наклонной асимптотой при x  8) Вычислим те значения x, при которыхy  0 ; ясно, что это.9) Построим график функцииy13 2 1 01 2 3xx  1Пример 2. Провести полное исследование функции( x  1 )3yи построить график.( x  1 )21. Область определения функции х1,т.е. D(y)=(-.Так как при х=-1 y<0, а при x>-1 y>0, и,lim y( x )   , lim y( x )  x xто множество значений функции Е(у)=(-).2.

Функция у(х) не является периодической. Она ни четная, нинечетная, т.е. ее график не обладает симметрией.3. В точке х=1 функция имеет разрыввторого рода, т.к.lim y( x )   , lim y( x )   .x10x1 0y( x )-+-1х4. Точки пересечения с осями координат: х=0, у=1, и х=-1,у=0.Промежутки постоянного знака представлены на рисунке.5. Найдем интервалы возрастания, убывания и экстремумыфункции. Для этого вычислим первую производную:3( x  1 )2 ( x  1 )2  2( x  1 )( x  1 )3 ( x  1 )2 ( x  5 )y .( x  1 )4( x  1 )3Отсюда получима) у>0 при x<1 и x>5, следовательно, на этих промежуткахфункция возрастает, а при х(1,5) у<0 и функция убывает.;б) у=0 при х=5 и в точке (5;27/2) функция имеет локальныйминимум. Точка х=-1 тоже является критической точкой у(-1)=0,но локального экстремума функции в этой точке нет.-+1min5+х6. Найдем интервалы выпуклости функции. Для этого вычислим вторую производную:у  24( x  1 ).( x  1 )4Тогда у<0 при х<-1 ифункция выпукла вверх, а на промежутках -1<x<1 и x>1 у>0 ифункция выпукла вниз.

Точка (-1,0) - точка перегиба графикафункции.перегиб-++-11х7. Прямая х=1 будет вертикальной асимптотой графикафункции. Наклонными асимптотами графика функции будутпрямые, заданные уравнением у=kx+b, где коэффициенты k и bопределяются равенствамиf(x)k  lim, b  lim ( f ( x )  kx ).x x xПоскольку( x  1 )3k  lim 1,x   ( x  1 ) 2 x ( x  1 )3  5,b  lim x2x   ( x  1 )то единственной наклонной асимптотой будет прямая у=x+5.точкаминимумауy3025точка перегибанаклоннаяасимптота2015110х5-1вертикальнаяасимптотаx-15 -10-5-55101520-10График,построенный по результатамисследованияГрафик, рассчитанный и построенныйкомпьютерной программой«Mathematica 5.0»..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций