Лекция10-1 (1246159)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 10ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (5)ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙПризнак постоянства функцииПризнаки возрастания и убывания функцииЭкстремумы функции. Критические точкиНеобходимые условия экстремумаИсследование критических точек с помощью первой производнойПервое достаточное условияе экстремумаНаибольшее и наименьшее значение функцииПризнак постоянства функцииТеорема 10.1.

Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке a; b идифференцируема на (a; b). Для того, чтобы f (x) была постоянна напромежутке a; b, необходимо и достаточно, чтобы для любого x(a; b)выполнялось условие f  x   0Доказательство.Достаточность. Пустьf  x   0 x (a; b).Возьмем любые две точки x1. и x2, принадлежащие промежутку a; b.По теореме Лагранжа,следовательно,f  x 2   f  x1   f c    x2  x1  , ноf  x2   f  x1 , причем x1 и x2 – любые две точки изотрезка a; b], а это означает, чтоНеобходимость. ПустьЗначит,f c   0,f  x c0f  x constf  x   const  x [a; b]. x [a; b].Признаки возрастания и убывания функцииТеорема 10.2.

Пусть f (x) непрерывна на промежутке a; b и дифференцируемав интервале (a; b). Для того, чтобы f (x) не убывала на этом промежутке,необходимо и достаточно, что бы при любом x (a; b) выполнялось условиеf  x   0ДоказательствоНеобходимость. Пусть f (x) не убывает на промежутке a; b.И пусть x (a; b). Возьмем приращение  x  0столь малое, чтобы было x   x   ( a; b )Ясно, чтоx x x, а так как f (x) не убывает, то очевидно, чтоf x   x   f x f x   x   f x 0xУстремим теперь x к нулю, тогда в силу определения производной получимf x   0  x (a; b).Совершенно аналогично, если взять приращениеf x   x   f  x  Перейдя к пределу при x  0,тогда будетf x   x   f x0x x  0, опять получимf x   0 x ]a; b[Достаточность.

Пусть для любого x из интервала (a; b) выполняется условиеf x   0Возьмем любые две точки x1 и x2 из этого интервала, причем x1 < x2; тогда потеореме Лагранжа имеемf x2   f x1   f c   x2  x1 ,Так как x1  x2 > 0,f x   0, то ясно, чтоf  x2   f x1 ,а это и означает, что f (x) возрастает на промежутке a; b].Теорема 10.3.Пусть f (x) непрерывна на промежутке a; b и дифференцируема на интервале(a; b).Для того, чтобы f (x) убывала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы при любом x (a; b) выполнялось условиеf x   0Теорема доказывается аналогично предыдущейГеометрическая иллюстрация..Пусть y=const. Ясно, что ее график прямая, параллельная оси 0x, значиткасательная к графику этой функции параллельно оси 0x, в любой точке,следовательно, tg   0.Пусть теперь f(x) строго возрастающая функция. Касательная к графику этойфункции в любой точке образует острый угол с осью 0x, следовательно, tg   0У строго возрастающей функции совершенно необязательно f  x   0;могут найтись точки, в которых будет f x   0.Действительно, рассмотрим график строго возрастающей функцииЯсно, что в точке x0 = 0 yx0   0.y  x3Пусть теперь f(x) не убывающая, но не строго возрастающая функция.Очевидно, что на промежутке [; ] происходит остановка в возрастании.

Вкаждой точке этого промежутка f  x   0Экстремумы функцииОпределение 10.1. Говорят, что функция f (x), определенная в некоторойокрестности точки x0, имеет в этой точке локальный максимум (минимум), если0 x  U x 0 ;  выполняется неравенство f  x0   f  x ( f  x0   f  x )При этом пишут: max f  x   f  x0  (min f  x   f  x0 )Максимум или минимум функции называется одним словом: экстремум. Заметим,что функция на некотором промежутке a; b может иметь несколько максимумов илиминимумов, причем, не обязательно максимальное значение является наибольшим,точно так же, как и минимальное – наименьшим.Необходимые условия экстремумаТеорема 10.4 (теорема Ферма) .Если функция f (x) дифференцируема в некоторой точке x0, принадлежащейинтервалу( x0   , x0   )и имеет в этой точке экстремум, то обязательноf x0   0Пьер де Ферма́ (фр. Pierre de Fermat,17 августа 1601) — 12 января 1665) —французский математик, один изсоздателей аналитической геометрии,математического анализа, теориивероятностей и теории чисел.

Попрофессии юрист, с 1631 года —советник парламента в Тулузе.Блестящий полиглот. Наиболееизвестен формулировкой Великойтеоремы Ферма.Доказательство.Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум.Тогда f x0   x  f x0   0, если  x  0и f x 0   x   f  x 0   0 , еслиxУстремим x x к нулю, тогда получим f   x0   0иf x0   0,а так как функция в точке x0 дифференцируема, то должно быть:f  x0   f   x0   f  x0 ,а это возможно, только когдаf   x0   f   x0   0.Следовательноf  x0   0 x0Геометрически это означает что касательная к графику дифференцируемойфункции в точке экстремуму параллельна оси Ox. Заметим, что врассмотренном выше случае точка x0 называется точкой гладкого экстремума.Экстремум у функции может существовать и в точках, в которых функцияне имеет производной или производная обращается в бесконечность, т.е.

вточках, в которых функция недифференцируема. Тогда говорят, что в этихточках функция имеет острый экстремум.2 yНапример, y  x11012xЯсно, что в точке x0 = 0 эта функция недифференцируема, т.е. у нее в этой точке несуществует производная. Однако, очевидно, что в точке x0 функция имеет минимум(острый экстремум).y0x0xНа рисунке изображена функция, у которой в точке x0 производная обращаетсяв бесконечность (функция в этой точке также недифференцируемая); ясно, чтов точке x0 функция имеет острый максимум.Определение 10.2.Еслиf  x0   0, то точка x0 называется стационарной точкой.ЗамечаниеВ стационарной точке функция может иметь экстремум, причем ясно,что в стационарной точке экстремума может и не быть.yx1x2 x3 x4x5Функция у=f(x), график которой представлен на этом рисунке, имеет экстремумы в точках x1 , x3 , x 4 , при этомв точкеx1производная не существует,в точкеx3в точкеx4она равна нулю,обращается в бесконечность.В точках x2 , x5 функция экстремума не имеет, причем в точке x 2производная обращается в бесконечность, в точке x5 производная равнанулю.Например, функция y=x3 в точке x0 = 0 имеетf  0  0 ,однако понятно, что в точке x0 = 0 функция экстремумов не имеет.Итак, точки, в которых производная обращается в ноль, в бесконечность илине существует, могут оказаться точками экстремума.Эти точки называются критическими или подозрительными на экстремумТочки, подозрительные на экстремум, подвергаются дополнительномуисследованию с целью выяснения, имеется ли в них максимум или минимумИсследование критических точек с помощью первой производнойПервое достаточное условие экстремумаТеорема 10.5.Если функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестноститочки x0 и производная f΄(x) обращается в нуль в точке x0, то :-если при прохождении через точку x0 производная меняет знак “плюс” на “минус”,то в точке x0 функция имеетмаксимум;x0.-если при прохождении через точку x0 производная меняет знак “минус” на “плюс”,,то в точке x0 функция имеет минимум;-если производная при переходе через точку x0 не меняет своего знака,экстремума в точке x0 нет.Доказательство.Докажем первую часть теоремы.

Допустим, что проходя через точку x0,производная f΄(x) меняет знак с плюса на минус, причем f  x0   0Будем рассматривать различныеx (x0  , x0   ),Так как выполненыусловия теоремы Лагранжа, то можно написать:f  x   f  x0   f c x  x0 Еслиx  x0следовательноЕсли, тоx  x0  0,f  x  f  x0   0x  x0следовательно,f c   0,, тоf c   0, x  x0  0,f x  f x0   0,а это и означает, что в точке x0 функция имеет максимумВторая половина теоремы доказывается аналогично.Заметим, что теорема остается в силе, если в критических точкахпроизводная не существует или обращается в бесконечность, лишь бытолько в самой критической точке функция имела конечное значение.Отметим, кроме того, что при решении примеров полезно делать схему, котораяпозволяет свести воедино получаемые результаты и сделать соответствующиевыводы, а именно: на оси Ox наносят критические точки, указывают интервалывозрастания и убывания функции, а также характер критических точек.Условия теоремы можно свести в следующую таблицуЗнаки производной до и послеx0перехода через точкуЭкстремум-+Минимум+-Максимум--Нет++НетЗамечаниеЕсли условие непрерывности функции в самой точке x0 не выполнено,вопрос о наличии экстремума остается открытым.уу.1ххПримерыуухххххууууухуххВозможные случаи наличия или отсутствия экстремума непрерывной функции,производная которой в критической точке равна нулю или обращается вбесконечностьЭкзотический примерПусть дана функция 21 x  2  cos  , x  0,f(x)   x0,x0.уМожно показать, что в точке x=0 данная функциянепрерывна и имеет минимум.

Производная функции11f (x)  2 x 2- cos   sinxxв любой окрестности точки х=0 меняет знак бесконечно много раз.Поэтому функция f(x) не является монотонно убывающей или возрастающейни слева, ни справа от точки х=0.хНаибольшее и наименьшее значение функцииДопустим, что некоторая функция f (x) непрерывна на промежутке a; b], тогда наэтом промежутке она имеет наибольшее и наименьшее значения. Чтобы их найти,нужно отыскать все максимумы и минимумы функции, вычислить ее значенияна концах промежутка, а затем сравнить их между собой и выбратьнаименьшее и наибольшее.y0a x1x2bxПример.

Найти экстремумы функции y x1  x2, интервалы возрастания иубывания функции и сделать ее рисунокРешение. Прежде всего заметим, что функция определена на всей числовой оси.Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого вычислим производную:y 1  1  x 2  x  2x1  x 221  x 2  2x 21  x 221x21  x 22, y  0  1  x 2  0Имеем две критические точкиЛевее точкиx1  1,y  0,x1, 2  1правееy   0 , значит в точкефункция имеет минимум. Ясно, что в точкемаксимум.x1  1x2  1 функция имеет1ymin   ,2Действительно,Если учесть, чтоy maxy min иНетрудно вычислитьymax 12x 0 , то легко нарисовать графикx  1  x 2y 0   0 иlimyэтой функции.11123 xЗадача.Из листа картона размерами 15х8 вырезать уголки, такие, чтобы послезагибания краев получилась коробка наибольшего объема.xxРешение.

Ясно, что объем v = x  (15  2 x)(8  2 x);.Приравнявv  12 x 2  92 x  120 .производную к нулю, получим квадратное уравнение3 x 2  23 x  30  0 ; его корниОчевидно, что x1  653x1  6, x2  .следует исключить из рассмотрения.При прохождении через точку x2 5производная меняет знак “плюс” на знак “минус”,3значит, если вырезать уголки с размераминаибольший объем, а именно:5 53 3то коробка будет иметь5 35 14 2450 max    3 3 327куб.ед..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций