Лекция2-1 (1246145)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ.Определение 2.1Если в силу некоторого правила f каждому элементуxD ставится в соответствие единственный элементyE, то говорят, что на множествеD задана функция f иfD Eпри этом пишутВ том случае, если множества D и E являютсяподмножествами множества вещественных чисел, т. е.DR, ER, то функция f называется числовой и при этомпринята такая форма записи y  f x или y  yx, где x аргумент, y - значение функции;Область определения может быть указанаD(f)=[1;2]Если область определения функции у = f(х) не указала, топредполагается, что она совпадает с множеством всехзначений аргумента, при которых соответствующаяформула имеет смысл.Пример:y14 x 2D f    2;2  , E  f   0,5;   .Определение 2.2Пусть a, bR, тогда множество x: a  x  bназывается отрезком числовой прямой или иобозначается a; b, т.

е.defa; b  x : a  x  b.Числовые множества[a.b)  x : a  x  b(a, b]  x : a  x  bназываются полуинтервалами.Числовое множествоdefa, b  x : a  x  bназывается интервалом.defТермины функция, отображение, преобразование –синонимы.Обозначения:fy=f(x); f: DE; D  EДля функций одной переменной DR; ER.Частное значение функции записывается в виде:f  x0  или y| xx0 .Способы задания функций:Аналитический, табличный, графический, алгоритмическийЧисловые функции могут задаваться формулами наразличных промежутках или интервалах, принадлежащихмножеству определения функции.Такой способ задания называется аналитическим.Если функция такова, что ее удается выразить в виде y  f x, тоговорят о явном аналитическом способе заданияПримерФункция y  lgx определена на множестве (; 0)  (0; ).Множество ее значений y  y: 0  y  .Если не удается явно выразить y через x, а удается толькоуказать зависимость между функцией и аргументом в видеFx, y  0 или в виде x, y  x, y, то такой способзадания называется неявным аналитическим.Примерx2 y2 2 12abЗдесь y как функция x связана с ним неявнойаналитической зависимостью, правда, в данном случаенетрудно перейти к явному аналитическому способузадания, выразив из этого уравнения y:ybx2  a2aНо на практике чаще всего встречаются функции, недопускающие такого перехода.Иногда при аналитическом способе задания функции бываетудобно ввести в рассмотрение промежуточный аргумент t(так называемый параметр) и выразить x и y как функцииэтого промежуточного аргумента, изменяющегосяна некотором числовом подмножестве TR.Пример:Если материальная точка перемещается в плоскостидекартовой системы координат xOy,то, взяв в качествепараметра время t, указывают закон движения в видеx  xt  ;  t  t1 , t 2 y  y t  ;Исключив параметр t, можно перейти к явному илианалитическому способу задания рассматриваемой функции.Такой способ задания называется параметрическимСоставные функции: 1, x  0 ;s ig n x   0 , x  0 ; 1, x  0 .Табличный способ заданияфункций.x1, xy1, y22, ..., x, ..., ynnПримеры: таблицы ln, sin и т.

д.Определение 2.3Графиком функции у = f(x) называется множество всехточек плоскости хОу, для каждой из которых х являетсязначением аргумента, а у — соответствующим значениемфункции.Другими словами график – это множество упорядоченныхпар (x, f(x)). Например, графиком функцииy  1  x2является верхняя полуокружность радиуса R = 1 с центром вО(0; 0)Графический способ задания функцийГ  M x, y R2 | y f  x  .f(x)M(x,y)0xАлгоритмически заданные функцииЛокальные фракталыОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙНачальный этап исследования функции.1) Область определения D(f)2) Нули f(x)=0 и знак функции на множестве xD(f).3) Четность   xD(f): (-xD(f))  (f(-x)=f(x));нечетность   xD(f): (-xD(f))  (f(-x)=-f(x)).Примеры:f ( x )  x 2  ч ет н а я ,f  x   x 3  н еч ет н а я .Замечание: Существуют функции общего вида.4) Периодичность: f(x)=f(x-T)=f(x+T).

T – период.f(x) – периодическая   T0:  xD(f): (xT)D(f)  f(xT)=f(x).5) Монотонность: функция - монотонно возрастающая, еслиx1, x2 X : x1  x2  f  x1   f  x2  ;функция - монотонно убывающая, еслиx1, x2 X :x1  x2 f  x1  f  x2 .6) Ограниченность:функция ограничена сверху   MR:  xX f(x)M,функция ограничена снизу   MR:  xX f(x)  M,функция ограничена   N,MR:  xX Nf(x)M.7) Если условия пункта 6 не выполняются, то функцияназывается неограниченной.СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ.

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ.Сложная функция.На D определена функция u=(x)  E(u) – множествозначений.На E(u) задана y=f(u) (D(f)  E(u)).Тогдаfx  u  y  y  f    x     f   .называется суперпозицией функций.x – независимая переменная; u – промежуточный аргумент.Пример:y  ax 2 bx , u ax 2 bx, y  u .Обратная функция. Функция y=f(x) отображает D(f)  E(f). Пусть f осуществляет взаимно однозначное отображениеf  xD 1 yE : y  f  x : x 1 , x 2 D , x 1  x 2  f  x 1   f  x 2  .Тогда можно говорить об обратной функцииx f 1  y .Пример:yx3, x 3 y .Теорема 2.1(достаточное условие обратимости) Если числовая функция монотонна, то существуетобратная функцияx f1 y .Построение графика обратной функции.yy x3yxy 3 xxОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ И ИХГРАФИКИ 1) Линейная. y=ax+b (a,bR), D(f)=R.E Rf   byby  ax  bx a 0,a  0.2) Квадратичная функция.y  ax 2 bx  c ,  a, b, cR; a  0 , D f   R.ya>0ya<0NxxM 4ac  b2 b 4ac  b2 a  0: E  f   ; , M   ;.4a  4a 2a4ac  b2a  0: E  f      ;4a b 4ac  b2  , N   2a ; 4a .3) Степенная функцияy x . = 2n = 2n+1 = - 2n = - 2n+14) Показательнаяфункция. a  0; a  1 .D  f   R , E  f    0;   .y a x,0 < a <1a>15) Логарифмическая функцияy  log a x .a>10 < a <16) Тригонометрические функции.y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx7) Обратные тригонометрические функции.y=Arctgxy=Arcctgx 8) Гиперболические функции.e x  e xch x 2e x  e xsh x 2y=arsh xy = ch xy = shxy=arch xaреасинусареакосинусКЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ. 1) Целые рациональные функции:Pn  x  a0 x n a1 x n1 ...an . 2) Дробно-рациональные функции:Pm  xQn ax b0x m  a 1 x m 1  ...

 a mn0x  b1 xn 1 ...  a n.Совокупность 1) и 2) – класс рациональныхфункций.3) Иррациональные функции: - получаются с помощьюконечного числа суперпозиций и четырех арифметическихдействий над степенными функциями как с целыми, так и сдробными показателями.y  13x  3 x .Совокупность 1), 2) и 3) – класс алгебраических функций4) Трансцендентные функции: sin x, ln x, ch x и т. д.Элементарные функцииОсновные элементарные функцииПоказательная функцияСтепенная функцияЛогарифмическая функцияТригонометрические функцииОбратные тригонометрические функцииОпределение 2.4Функция, задаваемая одной формулой, составленной изосновных элементарных функций и постоянных спомощью конечного числа арифметических операций(сложения, вычитания, умножения, деления)и операций взятия функции от функции, называетсяэлементарной функциейФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ.x  t  , y  t  , tT . t – называется параметром. Если  - монотонна, то  обратная иt  1  x  . Тогдаy    1  x   . Всякую явно заданную функцию можно представитьпараметрическиy f x  t , t Tx   y  f  t .Пример:1y  , D  f    0,   .xx  t , t   0 ;  ,Введем1y .tТогдаtВведемТогдаx  e , tR ,y  e t .Параметрическое задание линий на плоскости. Множество точек M(x,y) вещественной плоскостикоординаты которых удовлетворяют x=x(t), y=y(t),tT, параметрически задают линию Прямая: x  t , t R ,y  ax  b   y  at  b.Окружность с центром в начале координат. x  a cos t , 0  t  2,x  y  a  y  a sin t .222M(x,y)t -уголЭллипс. xacost , 0t 2,x2 y2 2 12a b y bsint .M(x,y)btуголa Парабола. x  t , t [0;  ),y  2 px   2 y  2 pt .2 Гипербола. x a ch t , tR,x2 y2 2 12a b y bsh t .Циклоида.x  a  t  sin t  , t  R ,y  a  1  cos t  .y2a2axАстроида. x  a cos 3 t , 0  t  2 ,x  y  a ,  a  4r   3yasint.23M(x,y)2323t - уголПолярные координаты.rM  r, O-полюсuПолярная осьr  M   OM - полярный радиус. M - полярный угол, принимает бесконечное множество значенийотличающихся друг от друга на 2k  .

Значение  : 0    2 - называютглавным значением (иногда:      ).    r  r  Связь декартовых и полярных координат:r  x2  y 2 , x  r cos , yy y  r sin .  tg      arctg .xxОкружностьПрямаяСпираль АрхимедаПолярная роза, где.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций