Лекция6-1 (1246153)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 6ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОпределение производнойПусть y = f (x) определена на множестве X.Рассмотрим xX и приращение независимой переменной x, такое, что(x + x)  X, (x – положительное или отрицательное число).y = f (x + x) - f (x) является приращением функции, соответствующимуказанному приращению x.Составим отношениеy f ( x  x)  f ( x)xxЭто отношение определено при всех x ≠ 0, достаточно малыхпо абсолютной величине.

Поскольку x фиксировано, отношение являетсяфункцией только x.Определение 6.1.Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношенияприращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при условии,что последнее стремится к нулю.Производную функции y = f (x) в точке x будем обозначать символомf '(x) илиy( x)y x' ( x)dy,dxdfdxyy ( x  x )  y ( x)y ( x)  lim limx  0 xx  0x'xdefОчевидно, что производнаяf x' ( x)представляет собою функцию,определенную на некотором множестве X1.Механический смысл производнойДопустим, что некоторая материальная точка M перемещается прямолинейно,а путь, пройденный этой точкой за время t, изменяется по закону s = s(t).Очевидно, что отношение'sопределяет среднюю скорость точки за время t,ts (t   t )  s (t )t  0tа производная s (t )  limесть мгновенная скорость точки в момент t.Физический смысл производной.Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическимивеличинами, то производная f (x) – скорость изменения величины yотносительно величины x .ПРИМЕРЫ.а) Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t.Тогда производная S  (t0) – скорость в момент времени t0.б) Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее черезпоперечное сечение проводника в момент времени t.Тогда q  (t0) – скорость изменения количества электричества вмомент времени t0, т.е.

сила тока в момент времени t0.в) Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x].Тогда m  (x) – скорость изменения массы в точке x0, т.е. линейнаяплотность в точке x0.Производная от функции, описывающей закон движения материальнойточки, перемещающейся прямолинейно, определяет мгновенную скоростьэтой точки.ПримечаниеПроизводная может иметь смысл скорости и в том случае, когда функцияне определяет закона механического движения.Геометрический смысл производнойРассмотрим график функции y = f (x)yy  f (x )NMxВозьмем на нем точку M (x, y), где y = f (x), и близкую к ней, тоже лежащуюна кривой точку N (x + x, y + y).

Очевидно, чтоtg  y,xПри стремлении x к нулю точка N, оставаясь на кривой, будет неограниченноприближаться к точке M, а секущая MN будет разворачиваться и займетпредельное положение – станет касательной MK, которая образует угол с осью 0x.Производная f '(x) равна тангенсу угла a, образованного касательнойк кривой в точке M (x, f (x)) с положительным направлением оси 0x.Следовательно, существование производной связано с существованиемкасательной к кривой y = f (x), причем угловой коэффициент касательнойtg = f '(x) должен быть конечен (касательная не должна быть параллельна оси 0y):в этом случаеили23,2а тангенс такого угла равен бесконечности и при соответствующих x функцияf (x) не имеет производной.Односторонние производныеОпределение 6.2 (левосторонней производной)Левосторонней производной функции f (x) в точке xX,где X – область определения функции f (x), называется.yx 0 xx 0f' (x )  limОпределение 6.3 (правосторонней производной)Правосторонней производной функции f (x) в точке xX,где X – область определения функции f (x), называетсяyx 0 xx  0f' (x )  lim.Иногда левосторонняя производная обозначаетсяа правосторонняя –f ' ( x  0),f ' ( x  0)ПримечаниеПри определении производной функции y = f (x) в точке xспособ стремления приращения x к нулю предполагается произвольным.Поэтому ясно, что если у функции y = f (x) существует производная, тоf ' ( x )  f ' ( x )  f ' ( x )Пример 1.

Рассмотрим функцию y =x и вычислим ее односторонниепроизводные в точке x0 = 0.По определениюy x, x  0x  x , x  0 .21,Следовательно,210 12 xy(x  x )  x lim1x 0 xx 0xx  0x  0y ' (0)  limy(x  x )  ( x ) lim 1 .x 0 xx 0xx 0x 0y ' (0)  limОдносторонние производные функции в точке x0 = 0 существуют, но не овпадают,значит, в нуле у данной функции производная не существуетДифференцируемость функцииОпределение 6.4.

Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестноститочки x0 , называется дифференцируемой в этой точке, если существуетконечная производная f '(x0).Теорема 6.1. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемостифункции в точке)Для того, что бы функция y = f (x) была дифференцируема в точке x, необходимои достаточно, чтобы полное приращение функции в точке x, соответствующееприращению x, можно было представить в виде y = A  x + (x)  x,где A не зависит от x, а (x)  0 при x 0.Доказательство.Необходимость.Пусть функция дифференцируема в точке x, тогдаyy y x'   ,x0 xxy x'  limгде   (x) – бесконечно малая функция, т.е.

(x)  0 при x 0.Отсюда следует, что.Остаетсятолько обозначитьи окончательно получимy  y x'  x   (x )  xy x'  Ay  A  x  (x)  xДостаточностьДопустим, что полное приращение функции можно представить в видеy  A  x  (x )  xПредположив, что x  0, получим отсюдаy A   ( x ),xгде (x)  0 при x 0. Перейдя к пределу, получим.y A,x 0 xlimа это и означает, что функция y = f (x) в точке x имеет конечную производную A,т.е.y x'  AЗамечание.Иногда функцию, дифференцируемую в точке, определяют как функцию,полное приращение которой в точке x можно представитьв виде y = A  x + (x)  x, где (x)  0 при x 0.В силу доказанной теоремы очевидно, что оба эти определения эквивалентны.Операцию нахождения производной от функции в дальнейшем будем называтьдифференцированием этой функции.Непрерывность дифференцируемой функцииТеорема 6.2.

Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x, то в этой точкеона и непрерывна.Доказательство. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, тогдаполное приращение функции в этой точкеy  A  x    x  lim y  0,x  0а это означает, что функция y = f (x) непрерывна в точке x.ПримечаниеОбратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции в даннойточке x не следует ее дифференцируемость в точке x.Определение 6.5.Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b),то ее называют дифференцируемой в этом интервале.ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.Производная постоянной.Рассмотрим функцию y = c, где c = const  xX, и пусть xX.По определению.

.Итак,c'  0ycc lim0x 0 xx 0 xc x'  limДифференцирование степенной функцииНайдем производную степенной функцииy  xa ,где a – любое вещественное число. По определению производнойx a 'xaxax 1    1aax y( x  x)  x lim lim limx 0 xx 0x 0xx..СледовательноИтак  x  a  x 1   1 ~ax xa 'x xaaxx  a  x a 1xxxa  a x limx 0 a 'x x a  x a 1'1Пример 1. Найти   x x'Решение.11   x xxПример 2. Найти 'x 1  x  2   x'x'Решение.1x2 x'x1 11122 x x  2 x x 2.Дифференцирование логарифмической функцииНайдем производную логарифмической функцииy  log a x (a > 0, a  1).Если x > 0 и x< xто при x  0 имеем:log a x 'x. x log a 1  log a ( x  x)  log a x1x  1 x  lim lim limlog a 1   x0x 0xxx x0 xx xxx.Итак,1x  xx1lim log a 1 x x  0x log a x 'x1x  ln a11log a e xx  ln aВ частности,ln x 'x  1xПравила дифференцированияТеорема 6.3.Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в данной точке x,то тогда имеют место следующие правила дифференцирования.1) U ( x)  V ( x)'  U ' ( x)  V ' ( x)xxx2)U ( x) V ( x)'x  U x' ( x) V ( x)  U ( x) Vx' ( x)'3)U ( x)  U x' ( x) V ( x)  U ( x)  Vx' ( x) V ( x)  2V(x)x(V(x) 0)Доказательство.Докажем п.3).

Рассмотрим частноеU ( x)V ( x)По условию теоремы предполагается, что V(x) 0, пусть для определенностиV(x)>0; т.к. V(x) дифференцируема в точке x, следовательно, она и непрерывнав этой точке, а значит в силу теоремы о стабилизации знака непрерывнойфункции, можно указать такую окрестность точки x, в которой V(x + x) > 0.Тогда получимU ( x  x ) U ( x )yV ( x  x ) V ( x )U ( x  x )  V ( x )  U ( x )  V ( x  x )lim lim lim x  0 xx 0x0xx  V ( x )  V ( x  x )U ( x  x)  V ( x )  U ( x)  V ( x )  U ( x )  V ( x )  U ( x )  V ( x  x )x 0x  V ( x )  V ( x  x) limU ( x)  V ( x)  U ( x)  V ( x)x 0x  V ( x)  V ( x  x) limU ( x)V ( x ) V ( x)  U ( x) U ' ( x)  V ( x)  U ( x)  V ' ( x)xx limx 0V ( x)  V ( x  x)V 2 ( x)Итак,' U ( x)  U ' ( x ) V ( x )  U ( x) V ' ( x ) V 2 ( x) V ( x)  xx3Пример 3.

НайтиРешение.x32Пример 4. Найти.Решение.x2 ln xx'1 22121'3  x   ln x  x   x 3   3  3x 3 x x x' ln x'2xx   x   e2x 'e xx 'e x2 'xx2 x x 'e x'Пример 5. Найти.Решение. x 2  1 x x'' 2x  e x  x 2  e x  x 2  2x  e x x 2  1x 2  1 x  x  x 2  1  x x' 2 x  x  x 2  1 x 2  1 x  22xxx2xДифференцирование тригонометрических функций1) Найдем производную функцииsin x 'xy  sin xsin( x  x)  sin x limx 0x 0x lim2 sinxx  cos x  22 x..2  xx x  cos x   lim cos x   cos x x  0 2  xx02 2  limИтак,sin x 'x cos xcos x 'x2) Аналогично можно доказать, что'3)'xtg x Итак,'  sin x'sin x x  cos x  sin x  cos x x1 sin x  cos 2 xcos 2 x cos x  xtg x 'x1cos 2 x( x  n , n  0,  1,  2, ...)24) Аналогично можно показать, чтоctg x 'x  1sin 2 x( x  n , n  0,  1,  2, ...)Правило дифференцирования сложной функцииТеорема 6.4.Если функция u = (x) дифференцируема в точке x, а функцияy = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u = (x) , тогда сложнаяфункция y = f [(x)] дифференцируема в точке x, причем f ( x)'x f '   'x ( x )Доказательство.Функция u = (x) дифференцируема в точке x, значит ,u   x'  x   (x)  x, где  ( x )  0при x0.В свою очередь, функция y = f (u) дифференцируема по u, тогда ,y  f u'  u   (u )  u ,значитгде при u0,y  f u'  'x  x  (x)  x  (u )  uПусть x 0, тогда в силу непрерывности дифференцируемой функцииокажется, что также и u 0, следовательно,yu  lim  f u'  'x  ( x)  (y )  x  0 xx  0 x limЗдесьy u x' ; ( u )  0 при x0, т.к.x0 xlim ( x )  0.при x0при x0'Окончательно получимu  0 f u (x )x fu'  ux'(правило цепочки).Правило цепочки можно обобщить на большее число промежуточныхаргументов, если выполнены соответствующие условия: yuv(t  x ) 'x  yu'  uv'  vt'  t x'Пример 6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций