Лекция5-2 (1246151)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙНЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕРазличные формулировки определения непрерывности функции в точкеПусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0Определение 5.1.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, еслиlim f ( x)  f ( x 0 )x  x01) функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности;2) функция f(x) имеет предел при х → х0;3) предел функции в точке х0 равен значению функции в этойточке,Так какlim x  x0x  x0lim f ( x)  f (lim x)  f ( x0 )x  x0x  x0Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можноперейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргументах подставить его предельное значениеРассмотрим функцию f (x) и допустим, что она непрерывна в точке x0, т.еlim f ( x)  f ( x 0 )  lim f ( x)  f ( x 0 )  lim  f ( x)  f ( x 0 )x  x0x  x0x  x0Обозначим f (x0) = f (x) - f (x0) и назовем эту разность приращением функцииf (x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента x = x - x0.Ясно, что x 0, если x x0.Таким образом,( lim f ( x)  f ( x0 ))  ( lim f ( x0 )  0)x  x0x 0Очевидно и обратное соотношение:( lim f ( x0 )  0)  ( lim f ( x)  f ( x0 )) ,т.еx 0x  x0( lim f ( x)  f ( x0 ))  ( lim f  0)x  x0x 0Приняв во внимание вышесказанное, можно дать другое определениенепрерывности функции в точке x0.Определение 5.2.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если бесконечно маломуприращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малоеприращение функции, т.е.lim f ( x0 )  0x 0Если вспомнить определение конечного предела функции в точке x0,то очевидно, что непрерывность функции в точке можно определить иначе.Определение 5.3.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если   0         0   x x  x0f  x   f  x0   ЗамечаниеПриведенные определения непрерывности функциив точке x0 эквивалентны, т.е.

из одного определения вытекает другое.Односторонняя непрерывность функции в точкеОпределение 5.4.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 справа, если:1) существует конечное значение f(x0);2) существует конечный правосторонний пределlim f ( x)  f ( x0  0)xx0 03) выполняется условие f (x0) = f (x0 + 0).Определение 5.5.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 слева, если:1) существует конечное значение f (x0);2) существует конечный левосторонний пределlim f ( x)  f (x0  0)xx0 , x x03) выполняется условие f (x0) = f (x0 - 0).В заключение приведем еще одно определение непрерывности функции в точке x0.Определение 5.6.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если она в этой точкенепрерывна и слева, и справа.Свойства функций, непрерывных в точкеТеорема 5.3.Если функция f (x) непрерывна в точке x0 и f (x0) 0, то существует некотораяокрестность U(x0, ), в которой функция имеет такой же знак, что и в точке x0.Доказательство.Пусть для определенности f (x0) > 0.Поскольку в точке x0 f (x) непрерывна, то это означает,что (  > 0)(  =  > 0)(  xŮ(x0, )): f (x0) -  < f (x) < f (x) + .Так как  можно выбрать любым, то положимтогдат.е.

f (x) > 0  xŮ(x0, ).f ( x0 );2f ( x0 )f ( x) ,2Теорема 5.4.Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то справедливыследующие утверждения:1)функция c· f1(x) непрерывна в точке x0 (c = const);2)функция f1(x) ± f2(x) непрерывна в точке x0;3)функция f1(x) · f2(x) непрерывна в точке x0;4) функцияf1 ( x)f 2 ( x)(f2(x0)  0) непрерывна в точке x0.Доказательство.Докажем одно из этих утверждений (остальные доказываются аналогично),а именно: произведение f1(x) · f2(x) непрерывно в точке x0.Действительно, поскольку существуют конечные значения f1(x0) и f2(x0),следовательно, существует и конечное значение f1(x0) · f2(x0);кроме того, существуютlim f1 ( x)  f1 ( x0 ), lim f 2 ( x)  f 2 ( x0 )x x0x  x0Значит существуетlim  f1 ( x)  f 2 ( x)  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  f1 ( x0 )  f 2( x0 )x  x0x  x0x  x0А это и говорит о том, что произведение f1(x) · f2(x) непрерывно в точке x0.Теорема 5.5.

(Непрерывность сложной функции).Если функция (x) непрерывна в точке x0, а функция f (u) непрерывна в точке u0,где u0 = (x0), то функция f [φ(x)] непрерывна в точке x0,т.е. суперпозициянепрерывных функций непрерывна в данной точке.Доказательство.Теорема 5.6.

(Непрерывность обратной функции).Если функция y = y(x) строго возрастает (строго убывает) на промежутке[a; b] и непрерывна в точке x0(a; b), то у нее существует обратная функцияx = x(y), которая строго возрастает (строго убывает) на промежутке [p, q], гдеp = y(a), q = y(b) и непрерывна в точке y0 = y(x0).Теорема 5.7.Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке ее множестваопределения.Докажем, например, непрерывность функцииy  cos x.Найдемlim y  lim (cos( x  x)  cos x)  2 lim cosx  0 x  0x  02 x  xxsin022lim y  0x  0что и доказывает непрерывность данной функции.,т.е.Функцияf ( x)  xнепрерывна в каждой точке х0 числовой прямой, так какlim f ( x)  lim x  x0  f ( x0 )x  x0x  x0Отсюда следует непрерывность функцииx2  x  x(непрерывность произведения непрерывных функций),x 3  x 2  x,..., x n  x n 1  x(n- натуральное число).Алгебраический многочленP ( x )  a 0 x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ...

 a nтакже является непрерывной функцией в любой точке числовой прямойтак как представляет собой сумму произведений непрерывных функций.Вычисление пределов от непрерывных функцийВ силу теоремы о непрерывности элементарных функций следует,что для каждой элементарной функции имеет место соотношениеlim f ( x)  f ( lim x );x x0x x0это обстоятельство упрощает подход к вычислению многих пределовот элементарных функций.Пример 1.Вычислитьln(1  x)x 0xlim1Решение.ln(1  x)1lim lim  ln(1  x)  lim ln(1  x) x  ln e  1x 0x 0 xx 0xОтметимln(1  x ) ~ x.ex 1limx 0xПример 2.

ВычислитьРешение. Заменяя числитель на эквивалентную величину, получимex 1ln e x  1  1ln e xx ln elim lim. lim lim1x 0x 0x0x0xxxxТо есть ex-1~ x в точке x 0  0ax 1limx 0xПример 3. ВычислитьРешение. Заменяя числитель на эквивалентную величину, получимax 1ln a x  1  1ln a xx ln alim lim lim lim ln ax 0x0x0x0xxxx(1  x) r  1limx0xПример 4. ВычислитьРешение.

Заменяя числитель на эквивалентную величину, получим(1  x) r  1ln (1  x) r  1  1ln(1  x) rln(1  x)lim lim lim r limrx 0x0x0x0xxxx(1  x) r  1  rxПример 5.Вычислитьlimx 02 x  3x4x  5xРешение. 2 x  2  xx3   13 ln  1  12x  3x  0  3  3 lim x x     limlimxxx0 4  5x0x00  445x   15x ln  1  1 5  5 x23  ln 2  ln 3limx 0 x4 ln 4  ln 55 x ln53x x ln=lim (cos x Пример 6.

Вычислитьlim 1   ( x) x  x0lim(cos x x01 ( x)x0e12 sin 3 x) arcsin xесли (x) – бесконечно малая в точке x0x 1  lim 1  2 sin 2  2 sin 3 x x 0 2 x2 sin 3x sin2 2 xarcsin x2 sin 3x 2 sin221 x  lim 1   2 sin 3x  2 sin2 x 02  12 sin 3x ) arcsin x1arcsin xx2  sin 3x  sin2 2 exp(lim )  e6 .x 0xНепрерывность функции в интервале и на отрезкеОпределение 5.7. Функция f (x), непрерывная в каждой точкеинтервала (a; b), называется непрерывной в интервале (a; b).Определение 5.8. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a; b],если она непрерывна в интервале (a;b) и непрерывна справа в точке x=a инепрерывна слева в точке x=b.

ОтрезкаСформулируем теперь достаточно очевидные с геометрической точки зрениятеоремы, дающие нам свойства функций, непрерывных на отрезке.Теорема 5.8. (1-я теорема Вейерштрасса).Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке она иограничена.Теорема 5.9. (2-я теорема Вейерштрасса).Если функция непрерывна на отрезке[a; b], то среди ее значений на этомотрезке имеется наименьшее и наибольшее значение.Теорема 5.10. (1-я теорема Больцано-Коши).Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимаетзначения разных знаков, то внутри промежутка найдется хотя бы одна точка,в которой функция обращается в ноль.Теорема 5.11. (2-я теорема Больцано-Коши).Если функция непрерывна на отрезке[a; b],то, принимая любые два значения на [a; b],функция принимает и всякое промежуточноезначение.Следствие.Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и на его концах принимаетзначения разных знаков, то внутри отрезка [а;b] найдется хотя бы одна точка с,в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(с) = 0.Это следствие лежит в основе так называемого «метода половинногоделения», который используется для нахождения корня уравненияf(x) = 0.ЗамечаниеУтверждения теорем 5.8 -5.11 вообще говоря, делаются неверными, если нарушеныкакие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [a;b],а в интервале (a; b), либо функция на отрезке [а; b] имеет разрыв.Разрыв функции в точкеОпределение 5.9.

Точка x0, принадлежащая множеству определения функцииили являющаяся его граничной точкой, называется точкой разрыва,если в этой точке функция не является непрерывнойТо есть,Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке x0.Функция определена в точке х0 и ее окрестности, но не существуетпредела f(x) при х → x0.Функция определена в точке x0 и ее окрестности, существует предел в этойточке, но этот предел не равен значению функции в точке x0:Пример 7. Исследовать непрерывность функции y = x2 на промежутке [0; 2].Решение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций