Лекция7-2 (1246154)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (2)Дифференцирование обратной функцииПусть y = f (x) и x = x(y) взаимно обратные функцииy22y  tgx321y  arctgx120 1 21 2232xТеорема 7.1.Если функция y = y(x) имеет в некоторой окрестности точки x обратнуюфункцию x = x(y) и функция y(x) дифференцируема в точке x, тогда обратнаяфункция x = x(y) также дифференцируема в соответствующей точке y = y(x) иимеет место соотношениеy x' ( x) 1x. 'y ( y )Доказательство.Функция y = y(x) по условию теоремы дифференцируема в точке x, значит в этойточке она и непрерывна, т.е.

если функция, например, возрастает (убывает) и x0,то и y0, причем y  0 при x0Тогдаx 1y yx.Пусть теперь y0, тогда в силунепрерывности и x0, следовательно,x11 'y 0 yy y xlimx0 xx 'y  limИтак,y x'  x 'y  1  y x' 1x 'yДифференцирование обратных тригонометрических функцийДоказанная теорема о дифференцировании обратной функции позволяет легкополучить формулы для вычисления производных от обратных тригонометрическихфункций.Рассмотрим функцию y = arcsinx. Она определена и строго возрастает наинтервале (-1; 1).  Она служит обратной для функции x = siny, определенной на интервале   2 ; 2 .Следовательно.arcsin x 'x 'Итак,1sin y 'y arcsin x  x 111cos y1  sin 2 y1  x211 x2x   1;  1Аналогично arccos x x'  11x2x   1; 1Функция y = arctgx определена на интервале (-; +) и служит обратной для   ;  2 2функции y = tgx, определенной на интервале.

.arctg x 'x Итак,1tg y 'y' arctg x  x  cos 2 y 11  x2111  tg 2 y 1  x 2x   ;   'Аналогично можно доказать, что arcctg x  x  11  x2 , значитy  e arctgПример . Найти производную функцииРешение.y x' earctg x e'arctg xxПример 14. Найти производную функции.Решение.x111 x 2 xyarcsin xarcctg x.11 arcctgxarcsinx'2 2 arcsin x  1 x 1x'y x   arcctg x 2 arcctg x  xТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ1.

c'=02.3.x   axa 'a   ax 'a 1x4.e   e5.1ln x  x6.log a x ' x 'tg x ' 10.c tg x '  11.arcsin x ' x  0 ln aa  0, a  1x'1x ln a12.(a  0, a  1)1cos 2 x9.13.1sin 2 x11  x2arccos x '  arctg x ' 8.cos x 'x   sin x1  x211  x27. (sinx)' = cosx14.1arc ctg x '  11  x2ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯcy( x) '  c  y 'U ( x)  V ( x)'  U ' ( x)  V ' ( x)U ( x)  V ( x)'  U ' ( x)  V ( x)  U ( x)  V ' ( x)'U ( x )  U ' ( x )  V ( x )  U ( x )  V ' ( x ) V ( x)  V 2 ( x)f U (x )'x  fU U x'y x'1 'xy'(правило цепочки)Символьные вычисления в системе MathcadЛогарифмическое дифференцированиеДля нахождения производных некоторых функций, в том числе так называемыхсложно-показательных (степенно-показательных), т.е.

функций вида [U(x)]V(x) ,полезно применять прием, который заключается в том, что функцию, которуюнужно продифференцировать, предварительно логарифмируют (предполагаетсяпри этом, что логарифм от этой функции существует).Итак, пусть y(x) = [U(x)]V(x) , тогда ln(y(x)) = V(x)  ln(U(x)). Продифференцируемлевую и правую часть этого равенства по x:1 '1' y x ( x)  V ( x)  lnU ( x)  V ( x)  U ' ( x) yU ( x)y x' ( x )U ' ( x)  V ( x) V ( x ) ln U ( x) U ( x)V ( x)  U ( x )'(U V )  U V  ln U V   V U V 1 U Правило: производная степенно-показательной функции равна суммепроизводной показательной функции, при условии U= const,и производной степенной функции, при условии V = const.Пример.

Найти производную функции y = xxРешение.(x > 0, x  1)y'ln y  x ln x   ln x  1  x xy 'x x x (ln x  1)Дифференцирование неявно заданных функцийПод неявным заданием функции понимают задание функции в видеуравнения F(x;y) = 0, не разрешенного относительно у.Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у(например, у + 2х + cos y - 1 = 0 ).Если неявная функция задана уравнением F(x;y) = 0. то для нахожденияпроизводной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у:достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая приэтом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешитьотносительно у'.Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.Пример.Найти производную функции у, заданную уравнением х3 + у3 - Зху = 0.Решение:Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3 + у3 - Зху = 0.3х2 + 3 у2 ∙ у' - 3(1 ∙ у + х ∙ у') = 0Отсюда следует, чтоу2у' - ху' = у - х2,т.

е.Дифференцирование функций, заданных параметрическиПусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрическив виде двух уравненийх = z(t),y = y(t).'Найдем производную y xсчитая, что функции x, y имеют производные по t и что функция х = x(t)имеет обратную t = φ(x). По правилу дифференцирования обратной функцииФункцию у = f(х), определяемую параметрическими уравнениями, можнорассматривать как сложную функцию у = y(t), где t = φ(х). По правилудифференцирования сложной функции имеем1 ytyx  yt  tx  yt x t x tx  (t )  0 Полученная формула позволяет находить производнуюy x'от функции заданной параметрически, не находя непосредственнойзависимости у от х.Пример .Вычислитьyx' для функции y от x, заданной параметрически: x  a(t  sin t ); y  a(1  cos t );   t  .Напомним, что рассматриваемая кривая называется циклоидой.Решение.

Ясно, что'a(1cost)ty x' a(t  sin t )t'a sin tt ctga (1  cos t )2t  2k Уравнение касательной и нормали к кривойУравнение прямойПусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образуетс осью Ох угол α отличный от π/2.Введем угловой коэффициент прямой k = tg xx  x1 tg  ky  y1Отсюда, уравнение искомой прямойy-y1=k(x-x1)Вспоминая геометрический смысл производной:производная f'(x0) есть тангенс угла наклона касательной к графику функции,который в свою очередь равен угловому коэффициенту касательной,проведенной к кривой y = f(x) в точке x0,Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет видy = f(x0)+f'(x0)(x-x0)Пример.

Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5.Решение. Найдем производную в точке x = -0,5y' = 4x-1, y'(-0,5) = -3.Уравнение касательной имеет вид:y = 6-3(x+0,5) или y = -3x+4,5.Определение 7.1.Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называетсянормалью к кривой.Так как нормаль перпендикулярна касательной,то ее угловой коэффициент11kf ( x0 )Поэтому уравнение нормали имеет видkн  y  f ( x0 ) 1( x  x0 )f ( x0 )Производные высших порядковПроизводная f '(x) функции y = f (x), определенной и дифференцируемой наинтервале (a; b), представляет собой функцию, также определенную на интервале(a; b).

Если эта функция f '(x) сама является дифференцируемой в некоторойточке x(a; b), то ее производную называют второй производной (илипроизводной второго порядка) функции y = f (x) и обозначают f ''(x), или f (2) (x).После того, как введено понятие второй производной, можно последовательноввести понятие третьей производной, затем четвертой и т.д.Таким образом, понятие n-ой производной вводится индуктивно, при переходе отпервой производной к последующим из рекуррентного соотношенияf (n) (x) = [f (n-1) (x)]'.Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную n-го порядка,называют n раз дифференцируемой на этом множестве.Механический смысл производной второго порядкаПусть материальная точка движется прямолинейно по закону S = f(t).Как уже известно, производная S΄ равна скорости точки в данныймомент времени: S΄ = V.Несложно показать, что вторая производная от пути по времениесть величина ускорения прямолинейного движения точки.Геометрический смысл второй производной.Позже будет установлено, что знак второй производнойопределяет направление выпуклости графика функции y = f(x)Пример .Найти y'''(x), если y(x) = x  exРешение.y x'  e x  x  e x  ( x  1)  e x''y xx e x  ( x  1)  e x  ( x  2)  e x'''y xxx e x  ( x  2)  e x  ( x  3)  e x.Производные высших порядков неявно заданной функцииПусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения F(x;y) = 0.Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнениеотносительно у', найдем производную первого порядка (первую производную).Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производнуюот неявной функции.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций