Лекция7-2 (1246154), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В нее войдут х, у и у'.Подставляя уже найденное значение у'в выражение второй производной, выразим у" через х и у.Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.Пример. Найти y''(x), если x2+y2=1Решение.Производные высших порядков функций, заданных параметрически.Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t: x = x(t), y = y(t).Предположим, что функции x(t) и y(t) дважды дифференцируемы по переменной tна множестве, где эти функции определены. Тогдаyx  yt  tx  yt 1 ytxt xtx  (t )  0 Вычисленная производная является функцией аргумента t, т.е.Тогда можно ставить вопрос об отыскании второй производной''x t't ydyx' yxxdxxy x'  y x' (t )yxxПример .Вычислитьyx' , yxxдля функции y от x, заданной параметрически:Решение.y'xa(1  cos t )t'a(t  sin t )t'a sin tt ctga (1  cos t )2.'Отсюда x  a(t  sin t ); y  a(1  cos t );tctg2 t1y  xx a (1  cos t )t4a sin 42t  2k    t  .Дифференциал функции, его геометрический смыслПусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, т.е.

приращение этойфункции в точке x может быть представлено в видеΔy = f '(x)  Δx + α(Δx)  Δx,где α(Δx)  0 при x 0.Приращение функции y представляет собой сумму двух слагаемых:первое слагаемое является линейной относительно x частью приращенияфункции. Это слагаемое является бесконечно малой того же порядка малости, чтои x;второе слагаемое (x)  x представляет собой бесконечно малую болеевысокого порядка малости, чем x, т.е.lim  (x)  0x 0Первое слагаемое, т.е.

выражение f'(x)x, называется также главной частьюприращения дифференцируемой функции.Определение 7.2.Линейная относительно x часть приращения дифференцируемой функцииy = f (x) называется дифференциалом этой функции и обозначается dy, т.е.defdy  yx  xЗаметим, что дифференциал данной функции dy зависит от того, какая точказакреплена, т.е. он зависит от x и, кроме того, он является функцией приращениянезависимой переменной x.Если мы будем искать дифференциал функции y = x, то ясно, чтоdx  x x'  x  1  x  dx  xт.е.

дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением.Следовательно, дифференциал можно записать так:dy  y x'  dxОтсюда следует обозначение производной:y x' dydx(обозначение Лейбница).Поскольку дифференциал функции пропорционален ее производной, то длядифференциала справедливы те же правила вычисления, что и для производной.Например, еслиyU ( x)V ( x)и функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то,V ( x)dU  U ( x)dVdy V 2 ( x)Дифференциал функции dy в точке x, вообще говоря, не равенприращению y в этой точке.yNMdyy0x x  xxЗамена приращения функции ее дифференциалом означает замену участкаграфика функции на промежутке [x, x + x] участком касательной к графикуфункции, проведенной через точку M(x, y)Дифференциал функции у = f(x) в точке х равен приращениюординаты касательной к графику функции в этой точке, когда хполучит приращение х.В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.Физический смысл дифференциала.Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины,торавен расстоянию, которое прошла бы точка заесли бы двигалась равномерно со скоростью,равной мгновенной скорости момент.,Основные свойства дифференциала легко получить, используя связьдифференциала и производной функции dy = f'(x)dx и соответствующиетеоремы о производных.Например, так как производная функции у = с равна нулю, то дифференциалпостоянной величины равен нулю: dy = с' dx = 0 • dx = 0.Инвариантность формы первого дифференциалаИтак, если x – независимая переменная, а y = f (x) – дифференцируемая функция, тоdy  y x'  dxПокажем, что если x является функцией другой независимой переменной, то, т.е.

сохраняет свою форму.дифференциалПусть x = x(t) – дифференцируемая функция переменной t..Следовательно, y = y[x(t)] – сложная функция переменной t, а тогдаdy  yt'  dt  yx'  x t'dt  yx' dxт.е.dy  y x' dxТакое свойство первого дифференциала функции y = f (x) называетсясвойством инвариантности формы первого дифференциала.Применение дифференциала к приближенным вычислениямПриращение Δy функции в точке x может быть представлено в видеΔy = f '(x)  Δx + α(Δx)  Δx, где α(Δx)  0 при x 0.Отбрасывая бесконечно малую α(Δx)  Δx более высокого порядка, чем Δx ,получаем приближенное равенствоΔy ≈ f '(x)  Δxпричем это равенство тем точнее, чем меньше хЭто равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенноприращение любой дифференцируемой функции.ПримерВычислить ln1,2.Решение.Будем пользоваться формулой Δy≈dy=y′(x0)dx.y(x)=lnxx0=1, Δx=dx=0,2,Δy=y(x)−y(x0)→ln1,2≈y′(1)⋅0,2;y(x)=lnx→y′(x)=1⁄x. Таким образом, y′(x0)=1.Подставляя все полученные значения вформулу Δy≈dy=y′(x0)dx, получаем ln1,2≈1⋅0,2=0,2;Ответ: 0,2.Дифференциалы высших порядков.

Неинвариантность их формыЕсли y = f (x) дифференцируема, то dy = f '(x)  dx.Пусть x – независимая переменная, тогда dx от x не зависит и при дальнейшемдифференцировании выносится за знак производной как постоянная.Учитывая это, мы можем рассматривать dy, как функцию от x; если функция f (x)дважды дифференцируема, то можно найти дифференциал от dy; он называетсядифференциалом второго порядка первоначальной функции f (x) иобозначается d 2y или d 2f (x).Предположив существование третьей производной f '''(x), придем к дифференциалутретьего порядка:d3y  d d y    f2''2 '( x)  dx x dx  f ''' ( x)  dx 3Предположив, что функция y = f (x) n раз дифференцируема, последовательно, поиндукции, придем к понятию дифференциала n-го порядка: dny = f (n) (x)  dxn.Отсюда следует, чтоf(n)dny( x)  ndxОбладают ли дифференциалы высших порядков свойством инвариантности?Для дифференциала первого порядка dy = f '(x)  dx, где x – независимаяпеременная, и форма дифференциала сохраняется для случая, когда x – функциякакого-то другого аргумента.Рассмотрим дифференциал второго порядка.Пусть y = f (x) и, в свою очередь, x = x(t), причем функции f (x) и x(t)дифференцируемы дважды.Тогда'd 2 y  d (dy)  d  yt'  dt   yttdt 2   yx'  xt'   dt 2 t''' 2  yxx   xt   yx'  xt' t'   dt 2  yx' 'x dx 2  yx'  d 2 x  yt' t' dt 2  yx' 'x dx 2т.е.

форма второго дифференциала свойством инвариантности не обладает точнотак же, как и не обладает свойством инвариантности и форма дифференциалалюбого порядка выше первого..

Характеристики

Список файлов лекций