Лекция1-1 (1246144)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЭМФ 1 семестрОсновы теории множествПределыНепрерывность функцийДифференциальное исчисление функций одной переменнойДифференциальное исчисление функций нескольких переменныхПервообразные (неопределенный интеграл)Определенный интегралД.ф.-м.н. профессорФилатов В.В.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1-2Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа, т.1-2Никольский С.М. Курс математического анализа т.1-2Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике ч.1-2Берман Г.Н.

Сборник задач по курсу математического анализаМатематический анализ в примерах и задачах (Учебник НГТУ)Типовые расчеты 1,2, 3Изучение математики- совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучаетчеловека логически рассуждать, воспитывает точность и обстоятельностьаргументации;-позволяет не загромождать исследование ненужными подробностями,не влияющими на сущность дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеетпринципиальное значение для существа изучаемого вопроса;-развивает умение логически мыслить, владение математическим аппаратом,правильное использование которого дает в руки человека мощный методисследования и большую экономию мышления..1. МНОЖЕСТВАЛогические символы.„ ∈-знак принадлежности„ ∀- квантор всеобщности„ ∃- квантор существования„ ⇒- знак логического следования„ ⇔- символ эквивалентности∀ΔABC : AC = BC ⇒ ∠A = ∠B( a ∈ A)(∀x ∈ M )( ∃x∈M:)( a ⇒b)Множества.

Способы задания.defA={a,b,c, d} ;{}A = x P( x) ;{a} - одноэлементное множество;∅- пустое множествоДействительные корни уравнения x2 +1 =0 образуют пустое множество∃ множества конечные и бесконечные.Множество характеризуется мощностьюЕсли A - конечное множество, то мощность множества ⏐A⏐ –это число его элементов.Отношения между множествами.„„Определение 1.1. Множества A и B называются равными, если каждыйэлемент множества A является элементом множества B и, наоборот, каждыйэлемент множества B является элементом множества A.ОбозначаютA=B.Пример:{A= x( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x − 3) = 0 } ,B = { x∈ NA=Bx < 4 }.Свойства равенства:„ A=A(рефлексивность);„ A=B, B=C ⇒ A=C (транзитивность);„ A=B ⇒ B=A(симметричность).„ Неравенство множеств обозначают„A ≠ B.Определение 1.2.„ Множество A (A ≠ ∅) называется подмножеством множества B (B ≠∅), если каждый элемент множества A является элементом множества B.„ Обозначение: A ⊆ B ⇔ ∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B.„ Если A ⊆ B и A ≠ B ⇒ A ⊂ B.ПримечаниеПустое множество является подмножеством любого множестваОперации над множествами.„ V – основное или универсальное множество.„ 1) В планиметрии V =R2„ 2) Для функций действительной переменной V = R.„ Определение 1.3.

Объединением множеств A и B называется множествоA ⎩⎭ B, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотябы одному из множеств A или B (или обоим одновременно).def{A∪ B = x x∈A∨ x∈B ∨ ( x∈ A∧ x∈B )}„Пример: A = {2,3,4,6}, B = {1,2,3,4,5,6} ⇒ A⎩⎭B = {1,2,3,4,5,6}.Диаграмма Эйлера-ВеннаA ⎩⎭ BVABСвойства объединения множеств.„ 1) A ⎩⎭ B = B ⎩⎭ A(коммутативность),„ 2) A ⎩⎭ ( B ⎩⎭ C ) = ( A ⎩⎭ B ) ⎩⎭ C (ассоциативность).„ Очевидно„ A ⎩⎭ A = A,A ⎩⎭ ∅ =A,A ⎩⎭ V = V.Определение 1.4.„ Пересечением множеств A и B называется множество A ⎧⎫ B, состоящееиз всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежитобоим множествам одновременно.„ A ⎧⎫ B = { x ⏐ x ∈ A ∧ x ∈ B }.Диаграмма Эйлера-ВеннаVAA ⎧⎫ BBСвойства пересечения множеств.„ 1) A ⎧⎫ B = B ⎧⎫ A(коммутативность),„ 2) A ⎧⎫ ( B ⎧⎫ C ) = ( A ⎧⎫ B ) ⎧⎫ C (ассоциативность).„ Очевидно, что„ A ⎧⎫ A = A,A ⎧⎫ ∅ = ∅,A ⎧⎫ V = A.„ Операции объединения и пересечения подчиняются дистрибутивнымзаконам:„ A ⎧⎫ ( B ⎩⎭ C ) = ( A ⎧⎫ B ) ⎩⎭ ( A ⎧⎫ C ),„ A ⎩⎭ ( B ⎧⎫ C ) = ( A ⎩⎭ B ) ⎧⎫ ( A ⎩⎭ C ).Определение 1.5.„ Разностью двух множеств B и A называется множество B \ A, состоящееиз всех тех и только тех элементов, которые принадлежат B, но непринадлежат A.„B \ A = { x ⏐ x ∈ B ∧ x ∉ A }.Диаграмма Эйлера-ВеннаVABB\AОпределение 1.6.„ Разность V \ A называется дополнением множества A до„ универсального множества V и обозначается„ Примеры:defA = V \ A ={ x | x∉ A }.A ∪ A =V ; A ∩ A = ∅ ;∅ =V ;V =∅.A = A;AДиаграмма Эйлера-ВеннаVAAОпределение 1.7.„ Пара элементов ( x ; y ), x ∈ A, y ∈ B называется упорядоченной, еслиуказан порядок записи элементов x и y.„ Считается, что( x ; y ) =( x ; y ) ⇔ x = x , y = y .11221212Определение 1.8.„ Декартовым произведением двух множеств A и B называетсямножество, обозначаемое A × B, состоящее из всевозможныхупорядоченных пар ( x ; y ).„ A × B = { ( x ; y ) | ∀ x ∈ A , ∀ y ∈ B }.y2B11A3xОтображение множеств.

Эквивалентностьмножеств.„ Пусть A и B - произвольные множества.„ Пусть f - закон (правило) по которому ∀ a ∈ A → b ∈ B.„ Говорят, что задано отображение f A в B или оператор f A в B.„ Обозначение: f : A → B илиfA → B.b – образ элемента a (обозначают f(a) );a – прообраз элемента b = f -1 (a).Определение отображения:„ f : A → B ⇔ ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B : b = f ( a ).„ Множество образов всех элементов a ∈ A при отображении f называютобразом множества A при этом отображении и обозначают:„ f(A)={ f(a) | a∈A } ⊂ B.„ Задание отображения – это задание тройки ( A, f, B ).Множество упорядоченных пар (x, f(x)) - график отображенияОпределение 1.9Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x1, x2 ∈ X,для которых f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2Сюръекцией (или отображением "на" ) называется отображение,при котором f(X) = YБиекция – это одновременно и сюръекция и инъекция, т.е., отображениеf : A → B называют биективным или взаимно однозначным, если каждыйэлемент b ∈ B является образом только одного элемента a ∈ A.AB„ f – взаимно однозначное отображение ⇔ ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : b = f ( a )∀ a1 , a2 ∈ A a1 ≠ a2 ⇒ f ( a1 ) ≠ f ( a2 ) .„Если f - взаимно однозначное отображение, то можно говорить„об обратном отображении.Определение 1.10.Отображение f -1 : B→A называется обратным к отображениюf : A→B , если каждому элементу b ∈B ставится в соответствиеединственный элемент a ∈ A, образом которого при отображении fявляется bf.−1: B → A ⇔ ∀ b∈ B ∃1 a∈ A: a = f−1(b )Пример:ОRRf: R→RОпределение 1.11Два множества A и B называются эквивалентными(равномощными), если существует хотя бы одно взаимнооднозначное отображение одного множества на другое.Свойства эквивалентности:1) A ∼ A ∀ A(рефлексивность);2) A ∼ B ⇒ B ∼ A ∀ A, B(симметричность);3) A ∼ B, B ∼ C ⇒ A ∼ C ∀ A, B, C (транзитивность).Числовые множестваМножества, элементами которых являются числа, называются числовыми.Примерами числовых множеств являются:N = {1; 2; 3; ...; n; ...

} - множество натуральных чисел;Z = {0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} - множество целых чисел;Q = {m/n ; т ∈ Z, n ∈ N}- множество рациональных чисел.R - множество действительных чисел.Между этими множествами существует соотношениеN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.Множество натуральных чисел N.N = {1, 2, 3, …}.Свойства:1)∀ n1 , n2 ∈N ⇒ n1 + n2 ∈N , n1 ⋅ n2 ∈Nвыполняются: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность;2) деление и вычитание не определены;3) 1 ∈ N;4) n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N;5) если M ⊆ N, 1 ∈ M, n ∈ M и (n + 1) ∈ M, то M = N (аксиомаиндукции);Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел называетсясчетным.Если множество счетно, то его элементы можно занумеровать.Мощность счетного множества обозначают буквой алеф-нольМножество целых чисел ZZ = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}.Свойства:Определены операции сложения, умножения, вычитания; Не определеноделение;Z – упорядоченно, т.е.

имеет местоp1 < p2 ∨ p1 = p2 ∨ p1 > p2 ;Z – счетно и бесконечно;N ⊂ Z ⊂ Q.Множество рациональных чисел Q.Q = { q = p / n | p ∈ Z , n ∈ N }.Свойства:Определены все арифметические операции;Q – упорядоченно;Q – плотно, т. е.∀ q1 , q2 ∈Q ∃ q∈Q : q1 < q < q2 .Q – счетно и бесконечно;N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.Множество действительных чисел R.„„„Свойства:R – упорядоченно;R –бесконечно;Множество R плотное: между любыми двумя различными числами а и bсодержится бесконечное множество действительных чисел х, т.

е. чисел,удовлетворяющих неравенству а < х < b.Множество R непрерывное.Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждоедействительное число содержится только в одном классе и для каждой парычисел а ∈ А и b ∈ В выполнено неравенство а <b.Тогда (свойство непрерывности) существуетединственное число с, удовлетворяющее неравенствуОно отделяет числа класса А от чисел класса В, Число с является либонаибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа),либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).Это позволяет установить взаимно-однозначное соответствие междумножеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямойМощность множества R (мощность континуума) обозначают буквой с.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций