Лекция3-2 (1246147)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙПРЕДЕЛ ФУНКЦИИПусть функция y  f x определена в некоторой окрестноститочки x0R.Как ведет себя функция по мере приближения x к точке x0?Определение 3.1. (Определение предела функции по Коши).Число A является пределом функции y  f x в точке x0,если для любого сколь угодно малого положительногочисла  можно указать такое положительное число ,заисящее от , что для всех x из области определенияфункции, удовлетворяющих условию x  x0  , x  x0,выполняется неравенство f x  A  .При этом пишут:lim f x   Ax x0илиf x   Ax  x0Определение 3.2. - окрестность точки x0 Ux0, , из которой удаленаточка x0, называется проколотой  - окрестностью точкиx0; она обозначаетсяoU  x0 ,  т.

е.odefU  x0 ,    U  x0 ,  \ x0 Тогда с помощью логических символов сформулированноеопределение можно записать так:o defAfx00xx,: f  x  A  lim0Ux  x0.В том случае, когда A  , x0 - конечное число,определение предела функции y  f x в точке x0можно записать следующим образом.Определение 3.3.Говорят, что  является пределом функции y  f x в точкеx0, если   0   , что для всех x, довлетворяющихусловию x  x0  , x  x0 выполняется неравенство1f x При этом пишут:lim f  x   x  x0Или с помощью логических символов: defo1  lim f  x       0          0   x U  x0 ,    : f  x  xx0В случае, когда A - конечное число, x0  , можно записатьОпределение 3.4.Говорят, что число A является пределом функции y  f xв точке x0  , если   0     0, такое что длявсех x, удовлетворяющих условию1xвыполняется неравенство  f x  A  .При этом пишут:def1lim f  x   A    0          0   x   f ( x)  A  x Очевидно, что аналогичные определения можносформулировать, если A - конечное число, x0  , x0  или x0  ; или x0 - конечное число, A   или A  .Если A - конечное число, то пределlim f  x   Ax  x0называется конечным; если же A  , A   или A  , топредел называется бесконечным или несобственным.Отметим, что из определения предела следует:а также , если f x  c, где c  const.lim f  x   cx  x0lim x  x0x  x0Односторонние пределы функцииПусть функция y  f x определена в некоторой окрестноститочки x0R, т.

е. x0- конечное вещественное число. Наложимограничения на способ приближения аргумента функции x кточке x0, а именно: будем рассматривать случаи,1)x приближается к x0, оставаясь больше x0, т. е. x  x0, тогдаговорят, что x приближается к точке x0 справа;2)x приближается к x0, оставаясь меньше x0, т. е. x  x0, тоговорят, что x приближается к x0 слева.Определение 3.5.

(правостороннего предела).Говорят, что число A является правосторонним пределомфункции y  f x в точке x0R, если   0     0,что для всех x, удовлетворяющих условию x0  x  x0,выполняется неравенство  f x  A  .Правосторонний предел обозначается :f x00lim f xx x0  0lim f x x  x0x  x0 deff  x       0          0   x   x0 , x0     A x limx0  0f  x  A  Определение 3.6. (левостороннего предела). deff  x       0         0   x   x0   , x0   A x limx00Левосторонний предел обозначаетсяf x00lim f  x x  x0x  x0lim f  x x  x0  0f  x  A  Теорема 3.1Если в точке x0R у функции y  f x существуетконечный предел, то в этой же точке существуют и равныемежду собою односторонние пределы этой функции инаоборот, т.

е. A  lim f  x    f  x0  0  f  x0  0  Ax  x0Всегда ли существует предел у данной функцииy  f x, а если существует, то единственный ли он?Теорема 3.2. (О единственности конечного предела).Если в точке x0R данная функция y  f x имеет конечныйпредел, то он единственный.ДоказательствоДопустим, что в данной точке x0  Rсуществуют два различных предела:lim f  x   A1x  x0иlim f  x   A2A1A2 .x  x0Это означает, что   0:o1  1    0  x U 1 x0  : f x   A1 2o 2   2    0   x U 2 x0  : f  x   A2 2(1)(2)Возьмем   min1, 2, а тогда оказывается, чтоo  0      0  x U  x0  : A1  A2  A1  f  x   f x   A2  f  x   A1  f  x   A2  .Число  выбирается произвольно и мы можем взять его,удовлетворяющим неравенствам 0   <A1  A2.Полученное противоречие и доказывает теорему.Признаки существования предела.Теорема 3.3.

(«правило двух милиционеров»)oЕсли функции x, x и f x определены в U x0 ,   , причем.в этой окрестности выполняются неравенства x  f x  xи кроме тогоf x   Alim  x   lim   x   A , то и xlimxx  x0x  x00Доказательство.По условию теоремыlim  x   Ax  x0иlim   x   Ax  x0В силу определения предела   0:o1  1    0 x U x0 , 1  : A    x   A  o 2   2    0  x U x0 ,  2  : A    x   A  Пусть   min 1, 2.

Тогда A  x  f x  x  A A  f x  A, а это и означает, чтоlim f  x   Ax  x0Существование предела у монотонных функций.Определение 3.7.Функция y  f x называется неубывающей на промежутке X(конечном или бесконечном), если для любых x1X и x2Xсправедливо соотношениеx2  x1  f x2  f x1.Если x2  x1  f x2  f x1, то функция f x называетсястрого возрастающей.Определение 3.8.Функция y  f x называется невозрастающей на промежутке X(конечном или бесконечном), если для любых x1X и x2Xсправедливо соотношение x2  x1  f x2  f x1.Если x2  x1  f x2  f x1, то f x называется строгоубывающей.Функцииневозрастающие,строгонеубывающие и строго возрастающиемонотонными на промежутке X.убывающие,называютсяТеорема 3.4.Если функция y  f x монотонна и ограничена вoU  x0 , ,то тогда существуют конечные левосторонний иправосторонний пределы функции y  f x в точке x0.Теорема 3.5.Если функция y  f x не убывает (не возрастает) набесконечном промежутке X и ограничена сверху (снизу),то она имеет конечный предел.Бесконечно малые и бесконечно большие функцииОпределение 4.2.Функция x называется бесконечно малой в точке x0  R ,еслиlim  x   0x  x0Определение 4.3.Функция x называется бесконечно большой в точке x0  R ,еслиlim   x   x  x0Теорема 4.1.11) Если x есть бесконечно малая функция в точке x0, то x есть бесконечно большая функция в этой точке приусловии, что x  0 в окрестности точки x0.2) Если x есть бесконечно большая функция в точке x0, то1 x есть бесконечно малая функция в точке x0.Доказательство.Докажем теорему для случая, когда x0 - конечноевещественное число.Возьмем любое число K  0.Пусть x является бесконечно малой функцией в точке x0.Это означает, чтоo  0      0  x U  x0 ,   : x   1Возьмем в качестве  такое число, чтобы   K , тогда11 , т.

е. x  1lim x  x 0  x 1а это и означает, что- бесконечно большая функция. x Вторая часть теоремы доказывается аналогичноТеорема 4.2.Следующие два утверждения эквивалентны.1) Функция y  f x в точке x0 имеет конечный пределlim f  x   Ax  x02) Функция x  f x  A является бесконечно малой вточке x0.Доказательство.1) Пустьlim f  x   A , где x0R, A - конечное число.x  x0,oЭто значит, что для   0      0 x U  x0 ,   :  x   где x  f x  A, т.

е. x есть бесконечно малая в точке x0.2) Пусть теперь x  f x  A есть бесконечно малая в точке x0o  0     0  x U x0 ,  : x    , т.е. f x  A  .СледствиеЕсли функция f(х) имеем предел, равный А, то ее можнопредставить как сумму числа А и бесконечно малойфункции (х), т. е. еслиlim f  x   Ax  x0то f x  x + AТеорема 4.3.Если функция f x ограничена в окрестности точки x0,а функция x - бесконечно малая в точке x0, то ихпроизведение f xx есть функция бесконечно малая в этойточке.Доказательство.Функция f x ограничена в окрестности точки x0,; значит,существует такое число K  0, что x  U  x0 ,   : f  x   KФункция x бесконечно малая в точке x0, значитo  :  x   xx,U 0 KK,Тогда :o  0     x U  x0 ,   : f  x  x   а это и означает, что f xx есть бесконечно малаяфункция в точке x0.Следствие 1.Произведение постоянной c на бесконечно малую функциюx cx в точке x0 есть бесконечно малая функция.Следствие 2.Произведение двух бесконечно малых функций в точке x01x2x есть бесконечно малая функция в этой точке.Действительно, поскольку 1x - бесконечно малая в точке x0,тоo  0      0  x U  x0 ,  : 1  x   ,т.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций