Лекция3-2 (1246147), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

е.  1x  , а это означает, что 1x ограничена вокрестности точки x0.Тогда на произведение функций 1x2x можносмотреть как на произведение бесконечно малой иограниченной функции.Теорема 4.4.Если функция f x в точке x0 имеет конечный предел,отличный от нуля, а функция gx - бесконечно большаяв этой точке, то их произведение f xgx есть функция,бесконечно большая в точке x0.Теоремы о конечных пределахТеорема 4.5 (ограниченность функции, имеющей конечныйпредел).Если в точке x R функция f (x) имеет конечныйпредел, то в некоторой проколотой окрестности Ů(x0, )функция f (x) ограничена.Доказательство.По условию теоремы, в точке x0 функция f (x) имеетконечный предел.:Это означает  0     oxx,0U|f (x) - A|< |f (x) - A|<   A -  < f (x) < A + , т.е.

функция y = f (x)ограничена в проколотой окрестности точки x0.Теорема 4.6.Если в окрестности точки x0 имеет место неравенствоφ(x) ≤ ψ(x) и существуют конечные пределыlim ( x)  A, lim  ( x )  B,x  x0то A ≤ B.x  x0Если в точке x0  Rфункции f1(x) и f2(x) имеют конечные пределыlim f 1 ( x )  Ax  x0иlim f 2 ( x)  B ,x  x0то можно сформулировать следующие теоремы.Теорема 4.8lim  f 1 ( x)  f 2 ( x)  lim f 1 ( x)  lim f 2 ( x).x  x0x  x0x  x0Теорема 4.9lim  f 1 ( x)  f 2 ( x)  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x).x  x0x  x0x  x0Теорема 4.10lim  f1 ( x )  f 2 ( x)  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)x x0x x0x x0Теорема 4.11lim f ( x) f 1 ( x )  x  x0 1lim ( lim f 2 ( x)  0).x  x0 f ( x)f 2 ( x ) x  x0 2  xlimx0Теорема 4.10lim  f1 ( x)  f 2 ( x)  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)x  x0x x0x  x0ДоказательствоПустьlim f 1 ( x)  A, lim f 2 ( x)  B,x  x0x  x0тогда f1(x) = A + (x), f2(x) = B + (x),где (x) и (x) – бесконечно малые функции в точке x0.Тогда lim  f1 ( x)  f 2 ( x )  lim ( A  ( x))  ( B  ( x )) x  x0x  x0 lim ( A  B )  B lim  ( x )  A lim  ( x)  lim  ( x)   ( x)   A  B.x  x0x  x0x  x0x  x0Замечательные пределыПервый замечательный пределsin xlim1x 0 xBДопустим, что x - некоторый острый уголИз рисунка ясно, что SOAB  Sсект.OAB  SOAC, т.

е1 211R sin x  R 2 x  R 2 tg x  sin x  x  tg x222.x0Мы предположили, что x острый угол, значит sinx  0, а тогда имеем1x1sin x cos x 1sin x cos xxCAВ силу определения предела для   0существует     0, а именно   2 , что если положить x  2 ,x22 x  , а это и означает, что lim cos x  1то тогда 1  cos x  2 sinx02 2Следовательно, можно сделать вывод, что в силу доказанной выше теоремыsin xlim1x 0 xx0Допустим теперь, что x  0 и найдемsin xx 0 xlimx 0Положим x  y, тогда sinx  siny  siny.Имеемsin x sin ysin y lim lim1x0 xy 0  yy 0 ylimx0y0y0.Итак, окончательно получим предел, который называетсяпервым замечательным пределомsin x1x 0 xlimnВторой замечательный предел 1lim 1    en  nПредел последовательностиОпределение. Говорят, что число A является пределом последовательности(варианты) an, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такой номер N  N, что для всех n, для которых имеет местонеравенство n  N, следует Aan  .lim an  A    0 N  N ( ) : n  N ( )n A  an  Поскольку последовательность является частным случаем функции,то достаточно очевидно, что для предела последовательности имеют местоосновные теоремы, справедливые для предела функции.Определение предела (на «языке последовательностей», или по Гейне).Число А называется пределом функции у = f(x) в точке х0 если для любойпоследовательности допустимых значений аргумента хп, n  N (хп ≠ х0),сходящейся к х0 (т.

е.,lim xn  x0n последовательность соответствующих значений функции f(xn), n  N,сходится к числу А т. е.lim f  x   Ax  x0nВторой замечательный предел 1lim1    e. Натуральные логарифмыn  nn1Докажем, что последовательность U n  1   имеет конечный предел при n  . nДля этого достаточно доказать, что она строго возрастает и ограничена сверху.Напомним формулу бинома Ньютона:a  b n  a n  na n1b  nn  1 a n2b 2    nn  1n  k  1 a k b nk  ...1 2...

nn  1n  n  1 nb1  2 n1  2 kСледовательно,n1 nn  1 1 nn  1n  2  1 1U n  1    1  n 23nn12123nnn n  1n  2 n  n  1 11  11  1  2 21 1   1    n1  2  3 n  1n1  2  n  1  2  3  n  n n1 1  2   n  1  1   1    1 1  2  3 n  1 n  n  n  n Очевидно, чтоU n 11  1  n  1n 121 1 1 1 2 111 1  2  n  1  1  2  3  n  1  n  1 11 2  n 111 1  2  3 nn  1  n  1  n  1   n  1 Очевидно, что при любом nN имеет место неравенство Un  Un1.Действительно, сравнив правые части разложений Un и Un1,отметим прежде всего, что все слагаемые положительны,в правой части разложения U n1 на одно слагаемое больше,чем в правой части разложения Un и, кроме того, начиная со второго слагаемого,в правой части Un1 стоят выражения, большие, чем соответствующие слагаемыев разложении Un.Оценим теперь Un сверху.

Очевидно, что1111 1 1Un  2  2    2    n 1  1 2 1 2  31  2  3 n  1 n2 2 21  2   1  n 1   3 2 Итак, мы доказали, что последовательность Un монотонно возрастает иограничена сверху, т. е. Un  Un1 и Un  3.Нетрудно заметить, что U1  2, U2  2,25, U 3  2 10,…, т. е. 2  Un  3.27n1Предел lim 1   есть иррациональное число, называемое числом Непера;n  nnобозначается оно e, где e2,718281828…, т.е. 1lim 1    en  nЭтот предел называется вторым замечательным пределом,а число e является во многих отношениях замечательным числом.Джон НеперJohn NapierРодился в 1550 в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга.Сведения о его жизненном пути очень скудны. Повидимому, учился в Эдинбургском университете, ноникакой научной степени не получил.

В 1593 опубликовалПростое изъяснение всего Откровения Иоанна Богослова (APlaine Discovery of the Whole Revelation of St. John), первоетолкование Священного Писания на шотландском языке.В области математики Непер известен главным образом какизобретатель системы логарифмов, основанной наустановлении соответствия между арифметической игеометрической числовыми прогрессиями.x 1limКроме того, можно доказать также, что x   1    e , xx 1lim 1    ex   xТогда очевидно, чтоx 1lim 1    e ,x   x1xlim 1  x   ex 0Число e положено в основание логарифмов, которые называютсянатуральными логарифмами и обозначаются так: log e N  ln N.В курсе математики часто встречается функция y  ex,которая называется экспонентой и иногда обозначается y  exp x,Функции y  lnx, y  expx взаимно обратны, возрастают и графики ихсимметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатногоугла.yy  exy  ln x0x.

Характеристики

Список файлов лекций