Лекция5-2 (1246151), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Функция является элементарной на этом промежутке,следовательно, она на нем и непрерывна.Пример 8. Исследовать непрерывность функции x, x  ( , 1]y 2в точке x0  1.x,x(1,)Решение.1) В точке x0 = 1 функция определена: y(1) = 1.2) Правосторонний предел в точке x0 = 13) Левосторонний предел в точке x0 = 1:4) Очевидно, что y(1) = y(1 + 0) = y(1 - 0) = 1.Вывод: функция в точке x0 = 1 непрерывна.y (1  0)  lim x 2  1x  1 0y (1  0)  lim x  1x  1 0Пример 3.

Исследовать непрерывность функцииytg xxв точке x0 = 0.Решение.ytg xxв точке x0 = 0 не определена;0действительно, в точке x0 = 0 имеем неопределенность0ФункцияВывод: функцияtg xyxв точке x0 = 0 разрывнаКлассификация точек разрываОпределение 5.10. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода,или точкой конечного разрыва, если в этой точке функция определена,односторонние пределы y(x0 + 0) и y(x0 - 0) конечны, но не равны между собой.Число  = y(x0 + 0) - y(x0 - 0) называется скачком функции в этой точке.Определение 5.11. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода,или точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из одностороннихпределов в точке x0 обращается в бесконечность.Определение 5.12.Точка x0 называется точкой устранимого разрыва,если в точке x0, а односторонние пределы y(x0 + 0) и y(x0 - 0) конечны иравны между собой, т.е.

y(x0 + 0) = y(x0 - 0), но функция в точке x0 не определенаили ее значение не равно пределу y(x0 + 0).При этом говорят, что разрыв в точке x0 можно устранить, если доопределитьфункцию в точке x0, положив f (x0) = f (x0 + 0) = f (x0 - 0).Пример 4. Исследовать непрерывность функцииy1exв точке x0 = 0Решение. 1) В точке x0 = 0 функция не определена.2)3)1xy ( 0)  lim e  e   x 0x 01xy ( 0)  lim e  e  x 0x 010eВывод: функция в точке x0 = 0 претерпевает разрыв 2-го рода(бесконечный разрыв), функция в точке x0 = 0 непрерывна слева.Алгоритм исследования функции y=f(x) и построения ее графика1.

Находим область определения (D(f)) функции y=f(x)2. Если область определения функции симметрична относительно нуля(то есть для любого значения x из D(f) значение -x также принадлежитобласти определения, то проверяем функцию на четность.3. Находим точки пересечения графика с осями координат.Находим нули функции - это точки пересечения графика функции y=f(x) сосью абсцисс (OX).Для этого мы решаем уравнение f(x)=0.Корни этогоуравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осьюОХ.Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY).Для этого ищем значение функции при x=0.4.

Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, накоторых функция y=f(x) сохраняет знак. Чтобы найти промежуткизнакопостоянства функции y=f(x), нам нужно решить неравенства f(x)>0 иf(x)<0.5. Находим асимптоты графика функции.Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается графикфункции.Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.В общем случае горизонтальная асимптота - это прямая, параллельная осиOX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=b, где b - число, ккоторому стремятся значения функции y=f(x), когда x стремится к ∞Вертикальная асимптота - это прямая, параллельная оси OY.

Уравнениевертикальной асимптоты имеет вид x=a.. Здесь a - значение переменной x,при котором функция y=f(x) не определена.Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b.Коэффициенты k и b вычисляются следующим образом:f ( x)k  limxxb  lim f ( x)  k  x xПримечание. Если k=0, то наклонные асимптоты вырождаются в горизонтальные.y533x.

Характеристики

Список файлов лекций