Лекция9-2 (1246157), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

x x1!2!n  1 !n!Заметим, что точка c лежит между a и x, а поэтому c = a +   x, 0    1.Ко́лин Макло́рен (англ. Maclaurin) (1698,Шотландия — 1746) — выдающийсяанглийский математик. Рано осиротев, онбыл взят на попечение своим дядей,который, как и отец Маклорена, желал,чтобы Маклорен посвятил себя духовномузванию. В 1709 г.

поступил в университетгорода Глазго. Здесь у него блестящиематематические способности стольразвились, что в возрасте 15 лет он ужеоткрыл несколько теорем, которые иизложил впоследствии в одном из своихсочинений.Представление функций ex, cosx, sinx, ln(1+x), (1+x) формулойМаклоренаy  e x . Очевидно, что эта функция дифференцируема сколько угодно раз на всейчисловой оси. Найдем ее разложение по формуле Маклоренаy x   e x ; y 0  1y n1  x   e x ;y x   e x ; y 0   1y n  x   e x ;y x   e x ;y 0   1y n 1 0   1y n  c   e cПодставим найденные значения производных в формулу Маклорена, окончательнополучимx x2 x3x n1ec ne 1  ...

 x1! 2! 3!n  1 ! n!x(c лежит между 0 и x).y  sin x. Функция сколько угодно раз дифференцируема на всей числовой оси.y  sin x;y 0   0y  cos x  sin x  ;2y0  1y   sin x  sin x  2  ;2y 0   0y   cos x  sin x  3  ;2y 0   1yv   sin x  sin x  4  ;2yn  sin  x  n  ;2y  v 0   0y n  c   sin c  n  2Подставим найденные значения производных в формулу Маклорена, получимsincnsin n  1.x3 x5 x72  nn 12sin x  x  ... x x3! 5! 7!n  1 !n!y  cos x;y  cos x;y 0   1y   sin x  cos x  ;2y 0   0y   cos x  cos x  2  ;2y 0   1y  sin x  cos x  3  ;2yv  cos x  cos x  4  ;2y 0   0y n1 cos  x  n  1  ;2y  n   cos x  n  ;2y v 0  1y n1 0  cosn  1 2y  n  c   cos c  n  2Таким образом, разложение функцииy  cos xпо формуле Маклоренаимеет видcoscncosn  1x2 x42  nn 12cos x  1  ...

x x2! 4!n  1 !n!y  ln 1  x Функция определена и дифференцируема  x  1.y 0   ln 1  0y  x   ln 1  x 1y  x  1 xy  x   y 0   111  x 2y 0   12y 0    1  1  23y  x    1   2   1  x 43y  v  x    1   2    3  1  x y n1  x    1n2yn n 1 x    1y v 0    1  3!  n 1 n  2  ! 1  x n n  1 !1  x y n 1 0    1n 2yn  n  2  !n 1 1  n  1 !c  1  c nТаким образом, имеем разложениеn 1n1x2 x3x4 1 x nn 2 xln1  x   x  ...  ...   1 234n  1 n  1  c ny  1  x ,  - любое число, x   1.y  x   1  x y 0   1y 0    1y  x     1  x  2y  x       1  1  x y 0       1 3y x       1    2   1  x y 0       1    2 y n1  x       1  ...

   n  1  1  x   n 1y n1 0     ...    n  1y n   x       1  ...    n  1  1  x ny n  c      1  ...    n  1Итак, разложение функции1  c ny  1  x имеет вид1  x   1    x      1  x 2      1    2  x 3  ...1!2!3!    1...  n  2  n1     1...  n  1 n... x xn n  1 !n!1  c Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениямЕсли функцию можно представить формулой Тейлораf x   f a  f  a f  a 2 x  a   x  a   ...1!2!n 1nf   a f   c n 1n...  x  a   x  a  ,n!n  1 !то, отбросив последнее слагаемое (остаточный член), получим приближенноеравенствоf  a f n1 a x  a n1f  x   f a    x  a   ... 1!n  1 !Таким образом, если нужно вычислить приближенное значение функции f (x) вточке x0, то мы получимf a f a f n1 a 2n 1f  x0   f a    x0  a    x0  a   ...

  x0  a 1!2!n  1!Если указано, сколько членов разложения следует взять, то погрешностьвычислений нетрудно оценить, оценив модуль отброшенного остаточногочлена. Иногда в приближенных вычислениях требуется выполнитьвычисления с заданной точностью, т.е. указывается число, которого недолжен превосходить модуль отброшенного члена; число слагаемых,которое следует взять в формуле Тейлора при этих вычислениях,определяется с учетом заранее заданной точности.Пример 1. Вычислитьe, разложив функцию exпо формуле Маклорена.Взять шесть членов разложения. Оценить погрешность вычислений.Решение.

Разложение функцииexпо формуле Маклорена имеет видx x2 x3 x4 x5 ec 6e 1  x1! 2! 3! 4! 5! 6!(c лежит между 0 и x).x121 1 1 1 1 1 1 1 1e 1   2   3   4   52 2! 23! 24! 25! 2Тогда, отбросив остаточный член и положивx, получимПрежде чем подсчитать приближенное значение суммы слагаемых, стоящихсправа, оценим погрешность.cR6 1e2e 131.8 6  6  6  6  0.000016! 26!26!26!2Сделанная оценка погрешности гарантирует нам, что в приближенном вычисленииe пять знаков после запятой будут вычислены правильно.Подсчитываемe  1.00.50.1250.0208330.00260410.000260411.64869751  1.648695Пример 2. Вычислить приближенное значение33, разложив5xпо степеням (x - 32).

Вычисление выполнить с точностью до 0.0001.Решение. Разложим функцию y  5 xточки x0  32yx15по формуле Тейлора в окрестностиy (32) 15 52 41 5y   x5y(32) 91  4  5y     x5  5yn n 1 x    1y 32 215  2445 2  294  9  14...5  n  1  1 xn55 n 15Итак, разложение функцииy  5 x в окрестности точкиx0  32будет иметь следующий вид:5x 2142x32x32 ...1! 5  2 42 ! 52  29n 1...   14  9  14... 5  n  1  1nn ! 5 c(c лежит между 32 и x).5n 15n  x  32  ,Положим теперь в этом разложении x = 33. Тогда получим533  2 14n 1 4  9  14...5  n  1  1...1;5 n11! 5  24 2! 52  29nn! 5  c 532 < c < 33Попробуем подобрать такое наименьшее число слагаемых в правой части, чтобыотброшенный остаточный член был меньше 0.0001. При n = 2 имеемR2 492! 5 2  c 542! 5 2  3295422! 5  29 0.000156  0.0001Следовательно, чтобы выполнить вычисления с заданной точностью, недостаточновзять два члена разложения, так как точность вычислений не гарантирована.Возьмем n = 3.

ПолучимR3 493! 5314c 5491453! 5  32349 0.0001314235  2Очевидно, что три члена, взятые в разложении в силу сделанной оценки,гарантируют необходимую точность вычислений.Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора..

Характеристики

Список файлов лекций