Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(г) Пространственное изображениепомехи. (д) Результат узкополосной режекторной фильтрации. (Исходное изображение предоставлено NOAA)на рис. 5.19(д). Это последнее изображение содержит значительно меньше шума(заметных горизонтальных линий), чем исходное изображение.■5.4.4. Оптимальная узкополосная фильтрацияДругой пример периодических искажений такого рода представленна рис. 5.20(а), который содержит цифровое изображение поверхности Марса,5.4.
Подавление периодического шума — частотная фильтрация399а бРис. 5.20. (а) Изображение поверхности Марса, полученное с космического аппарата «Маринер-6». (б) Фурье-спектр, указывающий на наличие периодических помех. (Исходное изображение предоставлено NASA)полученное космическим аппаратом «Маринер-6». Структура помех на этомизображении довольно похожа на аналогичную структуру на рис. 5.16(а), однако сами помехи значительно менее различимы и, следовательно, труднееподдаются обнаружению в частотной области. На рис. 5.20(б) представленФурье-спектр рассматриваемого изображения. Появление похожих по формена звезды частотных компонент связано с интерференцией.
Наличие в спектренескольких центрально-симметрично локализованных пар частотных составляющих свидетельствует о том, что помехи содержат более чем одну периодическую компоненту.Когда помехи содержат несколько составляющих, рассмотренные в предыдущих параграфах методы не всегда применимы, поскольку их использованиеможет привести к потере слишком большого количества информации на изображении в процессе фильтрации (что особенно нежелательно, когда изображения являются уникальными и/или их получение связано с большими материальными затратами).
Кроме того, как правило, частотные составляющиепомех не являются узко локализованными вблизи некоторых отдельных точекв частотной области. Напротив, каждой такой составляющей обычно отвечает достаточно широкая область в частотном пространстве, которая содержитсоответствующую информацию. Нахождение этих областей обычными методами Фурье-анализа далеко не всегда является простой задачей. Альтернативные методы фильтрации, позволяющие уменьшить эффекты, связанныес такими искажениями, весьма полезны во многих прикладных задачах.
Обсуждаемый ниже метод является оптимальным в том смысле, что он минимизирует значения локальной дисперсии восстановленного изображения fˆ(x, y).Метод состоит в том, чтобы сначала получить в виде отдельного изображения основной вклад, привносимый помехой, а затем вычесть из исходного искаженного изображения некоторую непостоянную весовую долю полученногоизображения помехи. Хотя мы разовьем наш метод в рамках конкретного приложения, используемый нами подход является достаточно общим и применим400Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийв других задачах восстановления, когда приходится иметь дело с периодическими помехами сложной структуры.Первый шаг состоит в выделении основных частотных составляющих помехи. Как и ранее, это может быть осуществлено при помощи узкополосногофильтра HNP(u,v), который пропускает частоты в окрестностях каждого связанного с помехой пика. Коль скоро данный фильтр выбран таким образом, чтобы пропускать только связанные с помехой частотные компоненты, то Фурьепреобразование шумовой составляющей (помехи) дается выражениемN (u,v ) = H NP (u,v )G (u,v ) ,(5.4-3)где, как обычно, G(u,v) обозначает Фурье-преобразование искаженного изображения.Построение фильтра HNP(u,v) требует принятия важного решения о том, является ли каждый конкретный пик в частотной области шумовым пиком (т.
е.пиком, связанным с помехой) или нет. По этой причине узкополосный фильтрподбирается, как правило, интерактивно на основе визуального анализа спектра изображения G(u,v). После того, как конкретный фильтр выбран, соответствующее изображение шума (помех) в пространственной области может бытьполучено следующим образом:η( x, y ) = F −1 {H NP (u,v )G (u,v )} .(5.4-4)Мы исходим из предположения, что искаженное изображение g(x, y) получается из неискаженного изображения f(x, y) прибавлением помехи η(x,y). Поэтому, если бы мы точно знали функцию η(x, y), то получение функции f(x, y)представляло бы собой простейшую задачу, заключающуюся в вычитанииη(x, y) из g(x, y).
Проблема, разумеется, состоит в том, что фильтрация обычнопозволяет получить лишь некоторое приближение к функции, определяющейсвязанную с помехой составную часть изображения. Эффект, связанный с отличием построенного приближения η(x, y) от реально существующей помехи,может быть уменьшен, если при построении приближения для неискаженногоизображения f(x, y) мы вычтем из искаженного изображения g(x, y) некоторуювзвешенную долю функции η(x, y):ˆ(5.4-5)f ( x, y ) = g ( x, y ) − w ( x, y )η( x, y ) ,где, как и ранее, fˆ(x, y) обозначает приближение для f(x, y), а w(x, y) — подлежащая определению функция. Функция w(x, y) называется весовой функцией илифункцией модуляции, и задача метода состоит в таком выборе этой функции,чтобы результат оказался в некотором смысле оптимальным.
Один из критериев выбора функции w(x, y) заключается в том, чтобы величина локальной дисперсии получаемого приближения fˆ(x, y) по заданной окрестности принималаминимальное значение в каждой точке (x, y).Рассмотрим окрестность некоторой точки (x, y) размерами (2a + 1)×(2b + 1).Локальная дисперсия функции fˆ(x, y) в точке с координатами (x, y) может бытьполучена следующим образом:σ ( Y, Z ) =BCˆˆ⎡ G ( Y + T, Z + U ) − G ( Y, Z )⎤⎥⎦(B + )(C + ) ∑ ∑ ⎢⎣T =− B U =− C,(5.4-6)5.4. Подавление периодического шума — частотная фильтрация401где f‾ˆ(x, y) — среднее значение функции fˆ по окрестности, т. е.ˆG ( Y, Z ) =BC ˆG ( Y + T, Z + U ).∑∑(B + )(C + ) T =− B U =− C(5.4-7)При обработке точек на границе или около нее можно рассматривать неполныеокрестности или считать, что изображение расширяется нулевой рамкой необходимой ширины.Подставляя (5.4-5) в (5.4-6), получаемab1σ 2 ( x, y ) ={[ g ( x + s, y + t ) − w( x + s, y + t )η( x + s, y + t )] −∑∑(2a + 1)(2b + 1) s =− a t =− b(5.4-8)}2− ⎡⎣ g ( x, y ) − w( x, y )η( x, y )⎤⎦ .Предположим, что функция w(x, y) практически постоянна в пределах окрестности, т.
е.w ( x + s, y + t ) = w ( x, y )(5.4-9)при –a ≤ s ≤ a и –b ≤ s ≤ b. При этом в окрестности будет иметь место равенствоw( x, y )η( x, y ) = w( x, y )η( x, y ) .(5.4-10)С учетом двух последних формул (5.4-8) примет видσ 2 ( x, y ) =ab1{[ g ( x + s, y + t ) − w( x, y )η( x + s, y + t )] −∑∑(2a + 1)(2b + 1) s =− a t =− b(5.4-11)− [ g ( x, y ) − w( x, y )η( x, y )]} .2Для того чтобы найти функцию w(x, y), на которой реализуется экстремум(минимум) функционала σ2(x,y), заданного формулой (5.4-11), нужно решитьуравнение8∂σ 2 ( x, y )=0∂w( x, y )(5.4-12)относительно w(x, y).
Искомое решение имеет видw ( x, y ) =g ( x, y )η( x, y ) − g ( x, y )η( x, y )η2 ( x, y ) − η2 ( x, y ).(5.4-13)Для того чтобы получить восстановленное изображение fˆ(x, y), нужно вычислить функцию w(x, y) по (5.4-13), а затем использовать (5.4-5). Поскольку мыпредполагаем, что функция w(x, y) является постоянной в пределах окрестности, то нет необходимости вычислять значения этой функции для всех точекизображения. Вместо этого можно вычислить по одному значению w(x, y) в некоторой точке каждого из непересекающихся его фрагментов (предпочтительнов центральной точке фрагмента), а затем использовать это значение при обработке всех точек изображения, содержащихся в этом фрагменте.8Это, по существу, уравнение Эйлера (необходимое условие экстремума) дляфункционала (5.4- 11), т.
е. условие обращения в нуль его вариации. Координаты (x, y)можно рассматривать в этом уравнении как параметры. — Прим. перев.402Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийПример 5.9. Восстановление с помощью оптимальной узкополосной фильтрации.■ Рис. 5.21—5.23 иллюстрируют процесс применения описанной выше техникивосстановления к изображению на рис. 5.20(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
