Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Если бымы также рассмотрели равномерное движение в направлении y вида y0(t) = bt/T,то получили бы для искажающей функции следующее выражение:T(5.6-11)H (u,v ) =sin (π(ua + vb ))e −i π(ua+vb ) .π(ua + vb )Как объяснено в конце табл. 4.3, для получения дискретного фильтра уравнение(5.6-11) дискретизуется по u и v.Пример 5.10. Размывание (смазывание) изображения в результате движения.■ На рис.
5.26(б) представлено смазанное изображение, полученное в результате вычисления Фурье-преобразования изображения на рис. 5.26(а), умноженияэтого преобразования на искажающую функцию вида (5.6-11) и вычисления обратного преобразования. Размеры изображений составляют 688×688 пикселей;параметры в (5.6-11) выбирались следующим образом: a = b = 0,1 и T = 1. Ряднепростых вопросов, возникающих в процессе восстановления исходного изображения по его искаженному аналогу, особенно при наличии шума, обсуждаются в разделах 5.8 и 5.9.■5.7. Èíâåðñíàÿ ôèëüòðàöèÿВ этом разделе мы сделаем первый шаг в решении задачи восстановления изображений, искаженных оператором H, ядро (искажающая функция) которого412Глава 5.
Восстановление и реконструкция изображенийзадано или определено с помощью методов, рассмотренных в предыдущем разделе. Простейшим способом восстановления является инверсная фильтрация,которая предполагает получение оценки Fˆ(u, v) Фурье-преобразования исходного изображения делением Фурье-преобразования искаженного изображения на частотное представление искажающей функции:ˆG (u,v ).F (u,v ) =H (u,v )(5.7-1)Деление здесь понимается как операция над соответственными элементамимассивов, как это было определено в разделе 2.6.1 и в связи с уравнением (5.5-17).Подставив правую часть выражения (5.1-2) для G(u,v) в (5.7-1), получимˆN (u,v ).F (u,v ) = F (u,v ) +H (u,v )(5.7-2)Последнее выражение представляет интерес. Из него видно, что даже зная искажающую функцию, невозможно точно восстановить неискаженное изображение (обратное Фурье-преобразование функции F(u,v)), поскольку функцияN(u,v) неизвестна.
Имеется и еще одна проблема. Если функция H(u,v) принимает нулевые или близкие к нулевым значения, то вклад второго слагаемогов правой части (5.7-2) может стать доминирующим. Как вскоре будет видно, этаситуация часто реализуется на практике.Один из способов обойти указанную проблему состоит в том, чтобы ограничить частоты фильтра значениями вблизи начала координат14.
Из обсужденияуравнения (4.2-22) известно, что значение H(0,0) обычно является наибольшимзначением H(u,v) в частотной области. Поэтому ограничиваясь рассмотрениемчастот вблизи начала координат, мы уменьшаем вероятность встретить нулевоезначение. Следующий пример служит иллюстрацией рассмотренного метода.Пример 5.11. Инверсная фильтрация.■ Представленное на рис. 5.25(б) изображение, искаженное турбулентностьюатмосферы, было восстановлено при помощи инверсной фильтрации на основе(5.7-1) с использованием функции, являющейся обратной к функции, вызвавшей расфокусировку этого изображения. В данном случае искажающая функция была равна5/ 6− k (( u −M / 2 )2 +( v −N / 2 )2 )H (u,v ) = eсо значением параметра k = 0,0025.
Константы M/2 и N/2 определяют сдвиг, который центрирует функцию в частотной области так, чтобы она соответствовалацентрированному Фурье-преобразованию изображения, как уже многократнообсуждалось в предыдущей главе. В данном случае M = N = 480. Искажающаяфункция не обращается в нуль, поэтому проблема деления на нуль не возникает.Однако несмотря на это, значения искажающей функции становятся при больших частотах настолько малыми, что результат полной инверсной фильтрации14Т. е.
считать, что второе слагаемое в (5.7 2) обращается в нуль вне некоторой области вблизи начала координат. Можно, например, умножить это слагаемое на передаточную функцию некоторого идеального низкочастотного фильтра. — Прим. перев.5.7. Инверсная фильтрация413(представленный на рис. 5.27(а)) совершенно бесполезен. Причины столь скверного результата были выяснены при обсуждении равенства (5.7-2).На рис.
5.27(б)—(г) представлены результаты восстановления, полученныепри обрезании значений отношения G(u,v)/H(u,v) вне кругов с радиусами 40,70 и 85 отсчетов соответственно. Обрезание осуществлялось путем умноженияэтого отношения на передаточную функцию низкочастотного фильтра Баттерворта порядка 10, что обеспечило быстрое (но гладкое) убывание в переходнойзоне требуемого радиуса.
Радиусы порядка 70 обеспечивают получение результатов наилучшего качества (см. рис. 5.27(в)). При меньших значениях радиусавосстановленное изображение остается расфокусированным, что и показываетизображение на рис. 5.27(б), полученное при значении радиуса 40. Увеличениезначения радиуса свыше 70 приводит к значительному ухудшению получаемогоизображения, как это видно на изображении на рис. 5.27(г), полученном при значении радиуса 85. Шум явно доминирует на изображении, и его содержательнаяа бв гРис. 5.27.Восстановление изображения рис.
5.25(б) по формуле (5.7-1). (а) Результат применения полного фильтра; результаты применения фильтра, обрезанного: (б) вне круга радиуса 40; (в) вне круга радиуса 70;(г) вне круга радиуса 85414Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийчасть едва видна из-за шумовой «завесы». При дальнейшем увеличении значениярадиуса мы получаем изображения, все более и более похожие на рис. 5.27(а). ■Результаты приведенного примера свидетельствуют о слабых возможностяхметода инверсной фильтрации вообще.
Основной темой следующих трех разделов является вопрос о том, как можно улучшить этот метод.5.8. Ôèëüòðàöèÿ ìåòîäîì ìèíèìèçàöèè ñðåäíåãîêâàäðàòà îòêëîíåíèÿ (âèíåðîâñêàÿ ôèëüòðàöèÿ)Рассмотренный в предыдущем разделе метод инверсной фильтрации не обеспечивает корректной работы по отношению к шуму. В настоящем разделемы рассмотрим метод, соединяющий в себе учет свойств искажающей функции и статистических свойств шума в процессе восстановления. Метод основан на рассмотрении изображений и шума как случайных переменных, и задача ставится следующим образом: найти такую оценку fˆ для неискаженногоизображения f, чтобы средний квадрат отклонения этих величин друг от друга(ошибка) было минимальным. Данная мера отклонения e задается формулойЗаметим, что неискаженные изображения также считаются случайными переменными, в соответствии с тем, как это обсуждалось в конце раздела 2.6.8.{}e 2 = E ( f − f )2 ,(5.8-1)где E{⋅} обозначает математическое ожидание своего аргумента.
Предполагается, что выполнены следующие условия: (1) шум и неискаженное изображениене коррелированы между собой; (2) либо шум, либо неискаженное изображениеимеют нулевое среднее значение; (3) оценка линейно зависит от искаженногоизображения. При выполнении этих условий минимум среднего квадрата отклонения (5.8-1) достигается на функции, которая задается в частотной областивыражением⎛⎞ˆH ∗ (u,v )S f (u,v )F (u,v ) = ⎜⎟G (u,v ) =2⎝ S f (u,v ) H (u,v ) + S η (u,v ) ⎠⎛⎞H ∗ (u,v )= ⎜⎟G (u,v ) =2⎝ H (u,v ) + S η (u,v ) / S f (u,v ) ⎠(5.8-2)2⎛ 1⎞H (u,v )= ⎜⎟G (u,v ),2⎝ H (u,v ) H (u,v ) + S η (u,v ) / S f (u,v ) ⎠причем последнее равенство имеет место в силу того, что произведение комплексного числа на комплексно-сопряженное равно квадрату модуля.
Приведенный результат был получен Н. Винером [N. Wiener, 1942], и метод известенкак оптимальная фильтрация по Винеру. Фильтр, представленный выражением внутри скобок, часто называют фильтром минимального среднеквадратиче-5.8. Фильтрация методом минимизации среднего квадрата отклонения(винеровская фильтрация)415ского отклонения или винеровским фильтром. В конце главы приведены ссылкина источники, в которых можно найти подробный вывод выражения для винеровского фильтра. Отметим, что, как видно из первой строки (5.8-2), проблеманулей в спектре искажающей функции при использовании винеровского фильтра не возникает, за исключением тех точек (u,v), при которых знаменатель обращается в нуль.В формуле (5.8-2) использованы следующие обозначения:H(u,v) — искажающая функция (ее частотное представление);H *(u,v) — комплексное сопряжение H(u,v);|H(u,v)|2 = H *(u,v)H(u,v);S η(u,v) = |N(u,v)|2 — энергетический спектр шума (см.
уравнение (4.6-18))15;Sf (u,v) = |F(u,v)|2 — энергетический спектр неискаженного изображения.Как и ранее, G(u,v) — Фурье-преобразование искаженного изображения.Восстановленное изображение в пространственной области получается применением обратного преобразования Фурье к оценке Fˆ(u, v). Отметим, что еслишум равен нулю, то его энергетический спектр обращается в нуль, и винеровская фильтрация в этом случае сводится к инверсной фильтрации.Многие из полезных мер основываются на энергетических спектрах шумаи искаженного изображения.
Одним из наиболее важных является отношениесигнал—шум, приближенно выражаемое через значения в частотной областикакM −1 N −1SNR =∑ ∑ | F (u,v )|u =0 v =0M −1 N −12∑ ∑ | N (u,v )|.(5.8-3)2u =0 v =0Это соотношение дает меру уровня информационного отношения мощностисигнала (т. е. исходного, неискаженного изображения) к уровню мощностишума. Изображения с низким шумом будут иметь большое значение SNR, а теже изображения с высоким уровнем шума — малое значение SNR.
Само посебе данное соотношение имеет ограниченное значение, но оно является важной метрикой, используемой для описания характеристик алгоритмов восстановления.Средний квадрат отклонения, приведенный в статистической форме в видеуравнения (5.8-1), в терминах суммирования значений исходного и восстановленного изображений может быть приближенно выражен следующейформулой:MSE =1MNM −1 N −1∑ ∑[ f ( x, y ) − f ( x, y )] .2(5.8-4)x =0 y =015Выражение |N(u,v)|2 также называют автокорреляцией шума.
Эта терминологиявытекает из теоремы о корреляции (первая строка пункта 7 в табл. 4.3). Если обе функции тождественны, то корреляция будет автокорреляцией, а правая часть становитсяN*(u,v)N(u,v), т. е. равной |N(u,v)|2. То же самое относится и к выражению |F(u,v)|2, котороеявляется автокорреляцией изображения. Более подробно корреляция будет рассмотрена в главе 12.416Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийВ действительности, если рассматривать восстановленное изображение каксигнал, а разницу между ним и исходным — как шум, можно определить отношение сигнал—шум в пространственной области какM −1 N −1 ˆ∑∑ f (x, y)2x =0 y =0.(5.8-5)SNR = M −1 N −1ˆ2∑ ∑[ f (x, y) − f (x, y)]x =0 y =0Чем ближе f и fˆ, тем больше будет данное отношение. Иногда используются квадратные корни этих мер, и в таком случае их соответственно называютсреднеквадратическое (стандартное) отклонение и квадратный корень отношения сигнал—шум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
