Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 96
Текст из файла (страница 96)
5.35означает наличие движения в направлении, перпендикулярном по отношениюк плоскости получения изображения системой излучатель—детектор. Наборизображений поперечных сечений (слоев) обеспечивается пошаговым смещением объекта (после полного сканирования каждого сечения) относительноплоскости излучатель—детектор.
Накладывая эти сечения вычислительнымобразом друг на друга, получим трехмерный объем участка тела. Для медицинских целей томографы типа G1 больше не производятся, но поскольку они дают430Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийа бв гИсточникОбъектДетекторРис. 5.35. Четыре поколения компьютерных томографов. Пунктирные линиисо стрелками означают пошаговое линейное движение. Пунктирныекривые со стрелками означают пошаговое круговое движение. Крестовые метки на голове объектов означают линейное движение в направлении, перпендикулярном плоскости данного рисунка. Двунаправленные пунктирные линии со стрелками на (а) и (б) означают,что блок «излучатель—детектор» сдвигается, а затем возвращаетсяв первоначальное положениеизображение пучка параллельных лучей (как видно на рис. 5.32), геометрия ихсъемки преимущественно используется для ознакомления с основами получения изображения в КТ.
Как обсуждается в следующем разделе, эта геометрияслужит отправной точкой для вывода уравнений, необходимых для осуществления реконструкции изображения по проекциям.Компьютерные томографы второго поколения (G2) (рис. 5.35(б)) работают по томуже принципу, что и томографы G1, но их пучок имеет веерный вид. Это позволяетиспользовать сразу несколько детекторов, что позволяет уменьшить число смещений пары излучатель/детектор. Компьютерные томографы третьего поколения (G3)имеют значительно более совершенную геометрию по сравнению с томографами5.11. Реконструкция изображения по проекциям431предыдущих поколений.
Как показано на рис. 5.35(в), G3 томографы используютдостаточно длинную линейку детекторов (порядка 1000 отдельных детекторов),позволяющую перекрыть все поле зрения одним широким пучком. Поэтомусъемка под каждым из углов дает сразу всю проекцию, устраняя необходимостьсдвигать пару излучатель—детектор, как того требует геометрия томографов типов G1 и G2. Компьютерные томографы четвертого поколения (G4) стали еще одним шагом вперед. Расположив детекторы (порядка 5000 отдельных детекторов)кольцеобразно, для получения всего набора проекций достаточно вращать лишьизлучатель. Основным преимуществом томографов G3 и G4 является скоростьсъемки, а основными недостатками — цена и повышенное рассеяние рентгеновских лучей, из-за чего для достижения характеристик сигнал—шум, аналогичныхтомографам G1 и G2 типов, требуются повышенные дозы излучения.Появляются новые принципы построения томографов.
Например, компьютерные томографы пятого поколения (G5), также называемые томографамис электронным лучом (electron beam computed tomography (EBCT) scanners), устраняют движения всех механических элементов за счет использования электронныхпучков, управляемых электромагнитным полем. Соударение электронных пучков с окружающими пациента вольфрамовыми анодами приводит к возникновению рентгеновских лучей, из которых затем формируется проходящий сквозьпациента веерный пучок, регистрируемый кольцом детекторов, как и в томографах четвертого поколения.Обычно, при получении КТ-изображения пациент должен находиться в неподвижном положении в течение времени, необходимого для получения изображения одного сечения. Затем сканер останавливается, и пациент перемещается в направлении, перпендикулярном плоскости сканирования при помощимеханизированного стола.
Затем формируется следующее изображение, и процедура повторяется для всего набора шагов, требуемых для перекрытия заданного участка тела пациента. Хотя одно изображение может быть получено менеечем за секунду, имеются процедуры (например сканирование брюшной полостиили грудной клетки), которые требуют от пациента на протяжении всего времени сканирования задерживать дыхание. Для завершения операции получения,скажем, 30 изображений, может потребоваться несколько минут. Растет применение подхода, называемого спиральная КТ (helical CT); томографы данного типаиногда называют компьютерными томографами шестого поколения (G6). При таком подходе томограф типа G3 и G4 снабжается контактными кольцами, которые избавляют от необходимости использовать электрические и сигнальныекабели между излучателем, приемниками и блоком обработки.
При этом параизлучатель/детектор вращается постоянно без остановки, а пациент сдвигаетсяс постоянной скоростью вдоль оси, перпендикулярной плоскости сканирования. Результатом является «спиральный» массив данных, который затем обрабатывается для получения изображений отдельных сечений.Появляются компьютерные томографы седьмого поколения (G7), также называемые многослойными компьютерными томографами (multislice CT scanners), в которых используются «толстые» (конусные) веерные пучки в сочетании с параллельными блоками детекторов для одновременного сбора объемных данных КТ.Т. е.
при каждой экспозиции рентгеновского излучения формируется не одноизображение, а целый блок изображений соседних поперечных сечений. Кроме432Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийзначительного повышения детальности, данный подход имеет преимуществов том, что более экономно использует рентгеновские трубки, тем самым снижаязатраты и потенциально уменьшая необходимую дозу облучения.Начиная со следующего раздела будет развит математический аппарат, необходимый для формулировки алгоритмов проецирования и реконструкции изображений. Основное внимание будет сконцентрировано на принципе обработкиизображений, который лежит в основе всех только что рассмотренных подходовКТ.
Информация, касающаяся механических характеристик и параметров излучателей/детекторов КТ-систем, излагается в литературе, цитируемой в конце главы.5.11.3. Проекции и преобразование РадонаВ нижеследующем материале детально рассматривается математика, необходимая для реконструкции изображений в контексте рентгеновской компьютернойтомографии, но те же базовые принципы применимы и к другим методам КТ,таким как ОФЭКТ — однофотонная эмиссионная компьютерная томография(single photon emission tomography, SPECT), позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ), магнитно-резонансная томография (МРТ), а также к некоторымметодам формирования ультразвуковых изображений.На протяжении данного раздела мы следуем соглашениям, принятым в КТ, и помещаем начало координат плоскости xy в центр вместо нашего обычного варианта в левом верхнем углу (см.
раздел 2.4.2). Однако заметим, что обе координатныесистемы являются правосторонними, и единственная разница в том, что в нашейсистеме отсутствуют отрицательные полуоси. Можно вычислить разницу, возникающую при таком простом сдвиге начала координат, так что оба представленияявляются взаимозаменяемыми.Прямая линия в декартовых координатах может быть представлена либов форме уравнения с угловым коэффициентом y = ax + b, либо в форме представления нормалью, как показано на рис. 5.36:x cos θ + y sin θ = ρ .(5.11-1)Проекция пучка параллельных лучей может быть представлена множеством таких линий, как показано на рис.
5.37. Произвольная точка в сигнале проекциидается суммой по лучу вдоль линии x cos θk + y sin θk = ρj. Поскольку в данномслучае работа идет с непрерывными величинами23, сумма по лучу является линейным интегралом, определяемым формулой23В главе 4 мы уделяли большое внимание обозначению непрерывных координатна изображении через (t, z), а дискретных — через (x, y). В то время различия были важны, поскольку разрабатывались основные концепции перехода от непрерывных переменных к дискретным.
В настоящем обсуждении нам придется многократно переходитьот непрерывных координат к дискретным и обратно, и соблюдение того соглашенияприведет здесь только к лишней неразберихе. По этой причине, а также следуя сложившейся традиции в публикуемой литературе по этому вопросу (например, см. [Prince,Links, 2006]), вопрос о принадлежности значений координат (x, y) непрерывному илидискретному множеству решается по контексту. Если они непрерывны, в выраженияхбудут интегралы, иначе будет суммирование.5.11.
Реконструкция изображения по проекциям433yρθxРис. 5.36. Представление прямой линии нормалью∞ ∞g (ρ j , θk ) =∫ ∫ f ( x, y )δ( x cos θk+ y sin θk − ρ j )dxdy ,(5.11-2)−∞ −∞где используются свойства импульса, рассмотренные в разделе 4.5.1. Другимисловами, правая часть (5.11-2) обращается в нуль всюду, кроме точек, в которыхаргумент δ-функции принимает нулевое значение, т. е.
интеграл берется только вдоль линии x cos θk + y sin θk = ρj. Если рассматривать все значения ρ и θ,предыдущее выражение примет общий вид∞ ∞g (ρ, θ) =∫ ∫ f ( x, y )δ( x cos θ + y sin θ − ρ)dxdy .(5.11-3)−∞ −∞Это равенство, которое задает проекцию (линейный интеграл) f(x, y) вдоль произвольной прямой на плоскости xy, является преобразованием Радона, упомянутым в предыдущем разделе.
Иногда в уравнении (5.11-3) для обозначения преобразования Радона вместо g(ρ,θ) используют обозначение R{f(x, y)} или R{f },yПолная проекция g(ρ, θk)для угла θkρy´Точка g (ρ j , θk)в проекцииx´υkxL ( ρ j , θk)ρjРис. 5.37.Геометрия пучка параллельных лучей434Глава 5.
Восстановление и реконструкция изображенийоднако обозначения, использованные в (5.11-3), более привычны. Как станеточевидно из нижеследующего рассмотрения, преобразование Радона является краеугольным камнем реконструкции по проекциям, при этом его главнымприложением в области обработки изображений является компьютерная томография.В дискретном случае выражение (5.11-3) будет выглядетьM −1 N −1g (ρ, θ) = ∑ ∑ f ( x, y )δ( x cos θ + y sin θ − ρ) ,(5.11-4)x =0 y =0где x, y, ρ и θ теперь являются дискретными переменными. Как видно, (5.11-4)есть сумма пикселей f(x, y) вдоль прямой, заданной значениями θ и ρ.
Если зафиксировать θ и позволить варьироваться ρ в пределах, захватывающих все изображение, то (5.11-4) в результате даст одну проекцию. Изменив θ и повторивпредшествующую процедуру, получим другую проекцию и так далее. Точно таким образом были получены проекции в разделе 5.11.1.Пример 5.17. Использование преобразования Радона для получения проекции круглой области.■ Прежде всего проиллюстрируем, как при помощи преобразования Радона получить аналитическое выражение для проекции круглого объектана рис. 5.38(а):⎧A x 2 + y 2 ≤ r 2f ( x, y ) = ⎨⎩ 0 в остальных случаях,где A — константа, а r — радиус объекта.
Полагаем, что центр круга расположен в начале координат плоскости xy. Поскольку объект имеет круговую симметрию, его проекции одинаковы для всех углов, так что достаточно получитьпроекцию для θ = 0. Уравнение (5.11-3) тогда примет вид∞ ∞g (ρ, θ) =∫∫∞f ( x, y )δ( x − ρ)dxdy =−∞ −∞∫ f (ρ, y )dy ,−∞где второе равенство следует из (4.2-10). Как отмечалось ранее, это линейныйинтеграл (в данном случае вдоль линии L(ρ,0)). Также отметим, что g(ρ,θ) = 0при |ρ| > r. При |ρ| ≤ r интеграл берется от y = − r 2 − ρ2 до y = r 2 − ρ2 .
Таким образом,r 2 −ρ2g (ρ, θ) =∫r 2 −ρ2f (ρ, y ) dy =− r 2 −ρ2∫Ady .− r 2 −ρ2Выполняя интегрирование, получим:⎧⎪2 A r 2 − ρ2g (ρ, θ) = g (ρ) = ⎨⎩⎪ 0| ρ |≤ r ,в остальных случаях,где использовался отмеченный выше факт, что g(ρ,θ) = 0 при |ρ| > r. На рис. 5.38(б)показан результат, который согласуется с изображениями проекций, представленными на рис. 5.32 и 5.33. Отметим, что g(ρ,θ) = g(ρ); т. е. g не зависит от θ, по-5.11.
Реконструкция изображения по проекциямскольку объект имеет круговуюсимметрию относительно начала координат.■Рис. 5.38. (а) Круглыйобъект и (б) графикегопреобразованияРадона,полученныйаналитически.Здесьмы имеем возможностьизобразить преобразование в виде графика,поскольку оно зависитлишь от одной переменной. Если g зависити от ρ и от θ, преобразование Радона будетвыглядеть как изображение, оси которого ρи θ, а яркость пикселяпропорциональна полученному значению gв этой точкеаб435yПреобразованиеРадона,xпредставленное в виде изображения в прямоугольныхкоординатах ρ и θ, называютсинограммой (sinogram). Такоепредставление аналогично предg (ρ)ставлению Фурье-спектра в видеизображения; однако в отличиеот преобразования Фурье преобразование Радона g(ρ,θ) всегдаявляется действительной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
