Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Подставляя (5.11-25) в (5.11-24), получим2π αf (r , ϕ) =1 mp(α,β) s[R sin(α ′ − α)]D cos α d α dβ .2 ∫0 −∫αm(5.11-26)Можно показать (задача 5.34), что2⎛ α ⎞s (R sin α) = ⎜s (α ) .⎝ R sin α ⎟⎠(5.11-27)Воспользовавшись этим выражением, можно переписать (5.11-26) в видеα⎤1 ⎡ m∫0 R 2 ⎢⎢−∫α q(α,β)h(α′ − α)d α⎥⎥ dβ ,⎦⎣ m2πf (r , ϕ) =(5.11-28)5.11.
Реконструкция изображения по проекциям449yβИсточникRDα´rωРис. 5.47.β–ωxПолярное представление произвольной точки луча из веерногопучкагде2и1⎛ α ⎞h(α) = ⎜⎟ s (α )2 ⎝ sin α ⎠(5.11-29)q(α,β) = p(α,β)D cos α .(5.11-30)Внутренний интеграл в (5.11-28) представляет собой свертку; тем самым показано, что формула реконструкции изображения (5.11-24) может быть реализованакак свертка функций q(α,β) и h(α). В отличие от формулы реконструкции дляпараллельных проекций, формула реконструкции для проекций в веерных пучках содержит член 1/R 2, который является весовым коэффициентом, обратнопропорциональным квадрату расстояния от источника. Особенности вычислительной реализации формулы (5.11-28) остаются за рамками настоящего обсуждения; для подробного рассмотрения данного вопроса см.
[Kak, Slaney, 2001]).Вместо прямой реализации формулы (5.11-28) часто (особенно в компьютерном моделировании) применяется подход, состоящий в (1) преобразованиигеометрии веерного пучка в геометрию параллельного пучка на основе соотношений (5.11-19) и (5.11-20) и (2) применении подхода к реконструкции на основепараллельного пучка, рассмотренного в разделе 5.11.5. В завершение данногораздела приведем пример того, как это можно сделать. Ранее уже отмечалось,что проекция на основе веерного пучка p, взятая под углом β, имеет соответственную проекцию в параллельном пучке g, взятую под соответствующимуглом θ.
Таким образом,p(α,β) = g (ρ, θ) = g (D sin α, α + β) ,где второе равенство следует из (5.11-19) и (5.11-20).(5.11-31)450Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийПусть Δβ означает угловое приращение между двумя соседними проекциями на основе веерных пучков, и пусть Δα — угловое приращение между лучами,которое задает число отсчетов в каждой проекции. Наложим следующее ограничение:Δβ = Δα = γ .(5.11-32)Тогда β = mγ, а α = nγ для некоторых целых значений m и n, и можно переписать(5.11-31) в виде:p(n γ,mγ ) = g [D sin n γ,(m + n)γ ] .(5.11-33)Это выражение показывает, что n-й луч в m-й радиальной проекции равен n-мулучу в (m+n)-й параллельной проекции. Член D sin γ в правой части (5.11-33)означает, что параллельные проекции, полученные в результате преобразования из проекций веерных пучков, оказываются дискретизованы неоднородно.Данный факт может привести к появлению артефактов размывания, звона и наложения спектров, если интервалы Δα и Δβ оказываются слишком грубыми, чтои иллюстрируется следующим примером.Пример 5.20.
Реконструкция изображения путем фильтрации и обратногопроецирования веерных проекций.■ На рис. 5.48(а) представлены результаты реконструкции изображения прямоугольника путем (1) построения веерных проекций с угловым шагом Δα = Δβ = 1°,а бв гРис. 5.48. Реконструкция изображения прямоугольника методом фильтрациии обратного проецирования веерных проекций с угловым шагом по αи β: (а) 1°, (б) 0,5°, (в) 0,25°, (г) 0,125°.
Сравните (г) с рис. 5.43(б)5.11. Реконструкция изображения по проекциям451(2) преобразованием каждого луча веерного пучка в соответствующий луч параллельного пучка с использованием (5.11-33) и (3) использованием методафильтрации и обратного проецирования, рассмотренного в разделе 5.11.5 дляпараллельных лучей. На рис. 5.48(б)—(г) показаны аналогичные результатыс угловым шагом, равным 0,5°, 0,25° и 0,125° соответственно.
Во всех случаях использовалось спектральное окно Хэмминга. Использование различных значений углового шага позволяет продемонстрировать эффекты, связанные с недостаточным уровнем дискретизации.Результат на рис. 5.48 ясно показывает, что приращение 1° является слишкомгрубым, поскольку и размывание, и звон совершенно очевидны. Результат (б)интересен в том отношении, что он заметно хуже изображения на рис. 5.43(б),которое было получено при использовании того же углового приращения в 0,5°.Фактически даже вариант реконструкции с приращением 0,25° не настолько хорош, как рис.
5.43(б). Только при использовании приращения в 0,125° удалосьдостичь сравнимых результатов, как видно на рис. 5.48(д). Угловое приращениев 0,25° дает в результате проекции с 180×(1/0,25) = 720 отсчетов, что уже близко к 849 лучам, использовавшимся при параллельной проекции в примере 5.19.Поэтому нет ничего неожиданного в том, что при Δα = 0,125° результаты получились сравнимыми.Похожие результаты были получены и с фантомом головы, за тем исключением, что наложение спектров привело к значительно более сильным артефактам в виде синусоидальной интерференции.
На рис. 5.49(в) можно видеть,а бв гРис. 5.49.Реконструкция изображения фантома головы методом фильтрациии обратного проецирования веерных проекций с угловым шагом по αи β: (а) 1°, (б) 0,5°, (в) 0,25°, (г) 0,125°. Сравните (г) с рис. 5.44(б)452Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийчто даже при Δα = Δβ = 0,25° еще присутствуют заметные искажения, особеннона периферии эллипса. Как и в случае прямоугольника, использование приращения в 0,125° наконец дало результат, сравнимый с изображением обратныхпроекций в параллельных лучах фантома головы на рис.
5.44(б). Эти результатыраскрывают причину, почему для того, чтобы уменьшить артефакты наложения спектров, в современных системах КТ на основе геометрии веерного пучкадолжны использоваться тысячи детекторов.■Çàêëþ÷åíèåГлавные результаты этой главы, касающиеся вопросов восстановления изображений, получены в предположении, что процесс искажения может быть представлен в виде некоторой линейной трансляционно-инвариантной процедурыи последующего добавления аддитивного шума, не коррелированного с исходным изображением. Даже в тех случаях, когда эти предположения не вполнесправедливы, часто бывает возможно получить полезные результаты с помощью методов, развитых в предыдущих разделах.В основе некоторых из методов восстановления, полученных в этой главе,лежат различные критерии оптимальности.
Слово «оптимальный» в данномконтексте имеет строго математический смысл и не имеет отношения к оптимальности в смысле зрительного восприятия. По сути, отсутствие достаточногопонимания процессов зрительного восприятия мешает сформулировать общую задачу восстановления таким образом, чтобы она учитывала возможностии особенности зрения наблюдателя.
С точностью до отмеченного недостаткапреимущество представленной в этой главе концепции заключается в том, чтоона позволяет выработать фундаментальные методы, которые твердо обоснованы с научной точки зрения и характеризуются корректным предсказуемымповедением.Как и в главах 3 и 4, некоторые задачи восстановления, такие, например,как задача уменьшения случайного шума, решаются в пространственной области с использованием небольших масок. Частотная область оказалась идеальноприспособленной для уменьшения периодического шума и для моделированиянекоторых важных типов искажений, таких как смазывание изображения, обусловленное движением в процессе съемки.
Мы также установили, что частотнаяобласть удобна при разработке ряда методов фильтрации, используемых для восстановления, таких как винеровская фильтрация и фильтрация по Тихонову.Как указывалось в главе 4, частотное пространство предоставляет солидную и удобную с точки зрения использования нашей интуиции основу для проведения экспериментов. После того как для конкретной задачи найден подходящий метод решения (фильтр в частотной области), его реализация обычноосуществляется путем конструирования некоторого цифрового фильтра (в пространственной области), который приблизительно соответствует построенномув частотной области решению, но значительно быстрее работает на компьютереили на каком-то специальном оборудовании, как указывалось в конце главы 4.Рассмотрение вопросов восстановления изображений по проекциям хотяи является вводным, представляет основы для различных аспектов обработ-Ссылки и литература для дальнейшего изучения453ки изображений в этой области.
Как отмечалось в разделе 5.11, компьютернаятомография (КТ) — главное направление приложений результатов восстановления изображений по проекциям. Несмотря на то, что наше рассмотрениебыло сфокусировано на рентгеновской томографии, основные принципы,сформулированные в разделе 5.11, применимы и к другим методам, таким какмагнитно-резонансная томография (МРТ), позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ), однофотонная эмиссионная компьютерная томография (ОФЭКТ),а также к методам формирования ультразвуковых изображений.Ññûëêè è ëèòåðàòóðà äëÿ äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿВ качестве дополнительного чтения по поводу представленной в разделе 5.1 линейной модели искажений рекомендуются [Castleman, 1996] и [Pratt, 1991].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
