Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Тогда (5.11-15) можно переписатьв видеπ ∞⎡⎤(5.11-16)f ( x, y ) = ∫ ⎢ ∫ ω G (ω, θ)ei 2 πωρd ω⎥dθ .⎦ρ= x cos θ+ y sin θ0 ⎣ −∞Выражение в квадратных скобках имеет форму одномерного обратного преобразования Фурье (см. (4.2-17)) с добавочным членом |ω|, который, основываясьна обсуждении в разделе 4.7, можно считать одномерной фильтр-функцией. Заметим, что |ω| является пилообразным26 фильтром27 (см.
рис. 5.42(а)). Эта функцияне интегрируема, поскольку ее амплитуда возрастает до +∞ в обоих направлениях, так что обратное Фурье-преобразование не определено. Теоретически этоможно преодолеть использованием обобщенных дельта-функций. Практическийподход заключается в использовании ограничивающей функции окна, так чтохарактеристика пилообразного фильтра становится равной нулю вне заданногочастотного интервала. Т. е. функция окна ограничивает полосу пилообразногофильтра.Простейший способ ограничить полосу частот функции состоит в использовании в частотной области прямоугольного спектрального окна.
Однако,как было видно на рис. 4.4, прямоугольная функция приводит к нежелательным явлениям «звона», поэтому вместо нее используют окно гладкой формы.На рис. 5.42(а) показан график пилообразного фильтра после ограничения егополосы прямоугольным окном, а на рисунке (б) — соответствующий результат в пространственной области, полученный при помощи обратного Фурьепреобразования. Как и следовало ожидать, после такого ограничения фильтрдает заметный звон в пространственной области. Из главы 4 известно, чтофильтрация в частотной области (произведение спектров) эквивалентна свертке в пространственной области, поэтому фильтрация с функцией, содержащейзвон, приведет к результату, в котором также будет присутствовать звон. Помочьв такой ситуации может использование в качестве спектрального окна гладкой26В оригинале ramp filter.
— Прим. перев.Пилообразный фильтр иногда называют Рам — Лак-фильтром по именам первыхпредложивших его авторов [Ramachandran, Lakshminarayanan, 1971].275.11. Реконструкция изображения по проекциям441а бв г дЧастотнаяобластьЧастотнаяобластьПространственнаяобластьЧастотнаяобластьПространственнаяобластьРис. 5.42. (а) График фильтра |ω| в частотной области после ограничения полосы функцией окна. (б) Представление фильтра в пространственнойобласти.
(в) Спектральное окно Хэмминга. (г) Ограниченный фильтркак произведение (а) на (в). (б) Представление полученного произведения в пространственной области (заметим уменьшение звона)функции. M-точечная дискретная функция окна, часто используемая при реализации одномерных ДПФ, дается формулой2πω⎧⎪ c + (c − 1)cosh(ω) = ⎨M −1⎪⎩ 00 ≤ ω ≤ M − 1,(5.11-17)в остальных случаях.При c = 0,54 эта функция называется окном Хэмминга (в честь Ричарда Хэмминга), а при c = 0,5 называется окном Ханна (в честь Ю. фон Ханна)28.
Основная разница между окнами Хэмминга и Ханна состоит в том, что в последнем случаекрайние точки оказываются равными нулю. Применительно к обработке изображений разница в результатах между ними обычно незначительна.На рис. 5.42(в) изображен график окна Хэмминга, а на (г) — результатпроизведения этого окна и пилообразного фильтра с ограниченной полосойна рис. (а). На рисунке (д) показано представление этого произведения в пространственной области, полученное вычислением обратного ДПФ.
Сравнение графиков (д) и (б) показывает, что звон в варианте (д) значительно уменьшен (соотношение высоты пика к глубине впадины на (б) и (д) составляет 2,5и 3,4 соответственно). С другой стороны, ширина центрального лепестка (д)несколько шире, чем (б), поэтому следует ожидать, что результаты обратногопроецирования, выполненного с использованием окна Хэмминга, будут иметьменьше звона, но несколько большее размывание. Как показано в примере 5.19,именно это имеет место.28Иногда окно Ханна называют окном Ханнинга по аналогии с окном Хэмминга, что неправильно. Подобная неточность терминологии является частым источникомошибок.442Глава 5.
Восстановление и реконструкция изображенийНапомним (см. (5.11-8)), что G(ω,θ) есть одномерное преобразование Фурьеот g(ρ,θ), которое является единственной проекцией, полученной при фиксированном угле θ. Выражение (5.11-16) означает, что для вычисления полного изображения обратной проекции f(x, y) необходимо выполнить следующие действия:1. Вычислить одномерное преобразование Фурье каждой проекции.2. Умножить каждое Фурье-преобразование на фильтр-функцию | ω|, которая, как объяснялось выше, должна быть предварительно умноженана подходящее окно (например Хэмминга).3. Выполнить обратное преобразование Фурье каждой полученной в результате фильтрованной функции.4.
Просуммировать все одномерные преобразования из шага 3.Поскольку используется фильтр-функция, такой метод реконструкции изображения естественно называть методом фильтрации и обратного проецирования. На практике данные являются дискретными, так что все вычисленияв частотной области выполняются при использовании одномерного алгоритмабыстрого преобразования Фурье (БПФ), а фильтрация выполняется использованием тех же основных процедур, объясненных в главе 4 для двумерныхфункций.
В качестве альтернативного варианта можно выполнять фильтрацию и в пространственной области, используя свертку, как объясняется позжев данном разделе.Предшествующее обсуждение относилось к аспектам ограничения фильтрованной обратной проекции. Как и в случае любой цифровой системы, необходимо уделить внимание вопросу частоты дискретизации. Из главы 4 известно,что выбор частоты дискретизации оказывает существенное влияние на результаты обработки изображений. При обсуждении данного вопроса дискретизации имеются два аспекта.
Первым является число используемых лучей, котороезадает число отсчетов в каждой проекции. Второй — число углов, под которыми берутся проекции, определяющее число восстанавливаемых изображений,суммирование которых дает в результате искомое изображение. Недостаточноеразрешение приводит к наложению спектров, что, как было показано в главе 4,может проявиться в виде артефактов, таких как полосы.
Более подробно вопросы дискретизации КТ будут рассмотрены в разделе 5.11.6.Пример 5.19. Реконструкция изображения методом фильтрации и обратного проецирования.■ Цель данного примера — показать реконструкцию с использованием обратных проекций, фильтрованных (а) пилообразным фильтром и (б) пилообразным фильтром, модифицированным окном Хэмминга. Эти фильтрованныеобратные проекции сравниваются с результатами «сырой» обратной проекциина рис. 5.40. Для того чтобы увидеть разницу, достигаемую только благодаряфильтрации, остальные параметры были выбраны теми же, что и при формировании рис.
5.40. Проекции генерировались с шагом 0,5°; расстояние между лучами — один пиксель; размеры изображений — 600×600 пикселей, так что длина диагонали составляла около 849 пикселей. Следовательно, чтобы обеспечитьполное покрытие области при ее повороте на 45° и 135°, достаточно 849 лучей.На рис. 5.43(а) показана реконструкция прямоугольника при использовании пилообразного фильтра.
Самой примечательной особенностью данного5.11. Реконструкция изображения по проекциям443результата является отсутствие какого-либо заметного размывания. Однако,как уже говорилось выше, присутствует звон, видимый как слабые линии, особенно вблизи углов прямоугольника. Эти линии лучше заметны на увеличенном участке рис. 5.43(в). Ограничение фильтра окном Хэмминга существеннопомогает с решением проблемы звона, однако ценой небольшого размывания,как это можно видеть на рис. 5.43(б) и (г).
По сравнению с рис. 5.40(а) улучшения очевидны (даже с использованием только пилообразного фильтра). Изображение фантома не имеет резких перепадов яркости и выступающих контуров, как у прямоугольника, поэтому звон незаметен даже при использованиитолько одного пилообразного фильтра, как это можно видеть на рис. 5.44(а).Добавление модификации его окном Хэмминга приводит к слегка размытому изображению, как это видно на рис. 5.44(б). Оба эти результата являютсязначительными улучшениями по сравнению с рис. 5.40(б), иллюстрирующими преимущества подхода с использованием фильтрованных обратных проекций.В большинстве приложений КТ (особенно в медицине) такие артефакты,как звон, являются серьезным недостатком, поэтому прилагаются значительные усилия к их уменьшению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
