Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 95
Текст из файла (страница 95)
5.32(б). Процесс обратного проецирования одномерногосигнала по двумерной области иногда называют обратным размыванием21 проекции по области. В терминах цифровой обработки изображений это означаеткопирование одного и того же одномерного сигнала во все сечения изображения, перпендикулярные направлению распространения пучка.
Так, изображение рис. 5.32(б) было построено копированием одномерного сигнала во все19Трактовка физики источников и детекторов рентгеновских лучей остаетсяза границами нашего рассмотрения, которое сконцентрировано на аспектах обработкиизображений в КТ. В качестве отличного введения в физику формирования рентгеновских изображений см. [Prince, Links, 2006].20В оригинале raysum.
— Прим. перев.21В оригинале smearing. — Прим. перев.426Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийПрофиль поглощенияа бв г дПучокЛучЛинейкадетекторовРис. 5.32. (а) Плоская область с простым объектом, входной параллельный пучоклучей и линейка детекторов. (б) Результат обратного проецированияполученных линейкой детекторов данных (т.
е. одномерный профильпоглощения). (в) Лучи и детекторы, повернутые на 90°. (г) Обратнаяпроекция. (д) Область, где перекрываются обратные проекции, имеетяркость вдвое выше яркости одной обратной проекциистолбцы изображения. По очевидным причинам такой процесс называется обратным проецированием.Далее, предположим, мы повернули пару излучатель-детектор на 90°, какпоказано на рис. 5.32(в).
Повторяя описанный выше процесс, получим изображение обратной проекции по вертикальному направлению (рис. 5.32(г)).Для продолжения реконструкции прибавим данный результат к предыдущейобратной проекции, как это показано на рис. 5.32(д). Теперь мы можем сказать,что интересующий объект расположен на пересечении светлых полос в квадрате, амплитуда которого вдвое превышает амплитуду каждой из обратных проекций. Небольшое размышление приводит к выводу, что добавив аналогичнымспособом дополнительное число проекций, мы узнаем больше о форме объекта.Фактически именно это и показано на рис. 5.33. С увеличением числа проекциймощность участков обратных проекций, где отсутствует пересечение, уменьшается по сравнению с мощностью области пересечения.
Общий эффект состоитв том, что светлые области будут доминировать на результате, а обратные проекции без пересечений или с малым их числом упадут в яркости до фона, кактолько изображение будет масштабировано по яркости для визуализации.Изображение рис. 5.33(е), сформированное по 32 проекциям, иллюстрируетэту концепцию. Однако заметим, что хотя полученная реконструкция являетсясравнительно неплохим приближением формы исходного объекта, изображе-5.11. Реконструкция изображения по проекциям427а б вг д еРис. 5.33. (а) То же изображение, что и рис.
5.32(а). (б)—(д) Реконструкция с использованием 1, 2, 3 и 4 обратных проекций, поворачиваемых на 45°.(е) Реконструкция по 32 обратным проекциям с углами поворота5,625°. (Обратите внимание на размывание)ние размыто эффектом «ореола», возникновение которого можно проследитьна последовательных стадиях рис. 5.33. Так, ореол на рис. 5.33(д) выглядит как«звезда», яркость которой ниже яркости объекта, однако выше, чем у фона.
Увеличение числа проекций делает форму ореола круглой, как на рис. 5.33(е). Размывание при КТ-реконструкции является важным вопросом, решение которогобудет рассматриваться в разделе 5.11.5. Заканчивая обсуждение рис. 5.32 и 5.33,отметим, что проекции, в которых направления распространения пучков составляют угол 180°, являются зеркально симметричными, поэтому для получения всех необходимых для реконструкции проекций достаточно сформироватьлишь проекции в диапазоне [0°, 180°].Пример 5.16. Обратные проекции простой плоской области, содержащейдва объекта.■ На рис. 5.34 иллюстрируется реконструкция на основе обратных проекцийнесколько более сложной области, содержащей два объекта с различными свойствами поглощения. Рис. 5.34(б) представляет результат одной из обратных проекций.
На нем можно отметить три различающихся области: тонкую горизонтальную серую полосу, соответствующую участку проекции, занятому однимлишь малым объектом, над ней яркую полосу (большее поглощение), соответствующую участку, который загораживается одновременно двумя объектами,и широкую верхнюю полосу — проекцию оставшейся части эллиптическогообъекта. Рис.
5.34(в) и (г) демонстрируют реконструкцию с помощью двух проекций (под углами 90°) и четырех проекций (под 45°) соответственно. Интерпретация этих изображений аналогична обсуждению рис. 5.33(в)—(д). Использова-428Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийа б вг д еРис. 5.34. (а) Область с двумя объектами. (б)—(г) Реконструкция с использованием 1, 2 и 4 обратных проекций, с шагом по углу 45°.
(д) Реконструкция по 32 обратным проекциям с угловым шагом 5,625°. (е) Реконструкция по 64 обратным проекциям с угловым шагом 2,8125°ние 32 и 64 обратных проекций на рис. 5.34(д) и (е) демонстрирует более точноевосстановление. Оба этих результата визуально весьма близки, и оба демонстрируют одну и ту же проблему, связанную с размыванием, которая уже отмечалась■раньше; решение ее будет рассматриваться в разделе 5.11.5.5.11.2. Принципы компьютерной томографии (КТ)Цель рентгеновской компьютерной томографии — получить трехмерное представление внутренней структуры объекта при помощи просвечивания егорентгеновскими лучами под многими различными направлениями. Представим обычную рентгенографию грудной клетки, получаемую путем помещенияпациента перед чувствительной к рентгеновским лучам пластиной и «просвечивания» его пучком рентгеновских лучей конической формы.
Рентгеновскаяпластина создает изображение, яркость которого в каждой точке пропорциональна22 энергии рентгеновских лучей, падающих на эту точку после прохождения сквозь объект. Данное изображение является двумерным эквивалентомпроекций, рассмотренных в предыдущем разделе. Можно выполнить обратноепроецирование всего полученного двумерного изображения и сформироватьтрехмерное объемное изображение-проекцию.
Повторяя этот процесс по многим углам и складывая обратные проекции, в результате получим трехмерное22В качестве рентгеновской пластины (в оригинале — X-ray sensitive plate), удовлетворяющей таким свойствам, может выступать, например, фосфоресцирующий экран. —Прим. перев.5.11.
Реконструкция изображения по проекциям429изображение структуры полости грудной клетки. Задача КТ — получить ту жеинформацию (или какие-то ограниченные ее части) путем формирования двумерных сечений по всему объему тела. Трехмерное представление может бытьзатем получено наложением слоев друг на друга. КТ-реализация много экономичнее, поскольку для получения одного слоя с высоким пространственнымразрешением требуется значительно меньшее число детекторов, чем для получения полной двумерной проекции того же разрешения.
Объемы вычисленийи дозы рентгеновских лучей также значительно снижаются, делая КТ, основанную на использовании одномерных проекций, более практичным подходом.Как и с преобразованием Фурье, которое обсуждалось в предыдущей главе, основные математические концепции, требуемые для КТ, были известныза годы до того, как цифровые вычислительные машины сделали их практически реализуемыми. Теоретическое обоснование КТ восходит к Иоганну Радону (Johann Radon), математику из Вены, который предложил в 1917 г.
методпроецирования двумерного объекта вдоль параллельных лучей в качестве частисвоей работы по линейным интегралам. Метод теперь известен как преобразование Радона, которое будет рассмотрено в следующем разделе. Через сорок пятьлет Аллан Кормак (Allan M. Cormack), физик из Университета Тафтса (TuftsUniversity), частично «переоткрыл» эти концепции и использовал их для КТ.Кормак опубликовал свои исходные результаты в 1963 и 1964 гг. и показал, какони могут быть использованы для реконструкции изображений поперечныхсечений тела по рентгеновским снимкам, сделанным под различными углами.Он дал математические формулы, необходимые для реконструкции, и построилпрототип КТ, чтобы показать практичность своих идей.
Работая независимо,инженер-электрик Гофри Хаунсфилд (Godfrey N. Hounsfield) со своими коллегами из EMI в Лондоне сформулировал похожее решение и построил первый медицинский аппарат КТ. Кормак и Хаунсфилд в 1979 г. разделили Нобелевскуюпремию по медицине за свой вклад в медицинскую томографию.Компьютерные томографы (КТ-сканеры) первого поколения (G1) используют узкий пучок рентгеновских лучей и единственный детектор, как показанона рис.
5.35(а). Для каждого угла поворота пара излучатель/детектор сдвигаются пошагово вдоль показанного линейного направления. Проекция (как те, чтопоказаны на рис. 5.32) формируется измерением значения на выходе детекторапри каждом пространственном шаге. По окончании линейного пространственного перемещения система излучатель—детектор поворачивается, и процедураповторяется для получения новой проекции под другим углом. Процедура повторяется для всех требуемых углов в диапазоне [0°, 180°], формируя тем самымполный набор проекций, из которого с помощью операции обратного проецирования формируется одно изображение, как объяснено в предыдущем разделе.Крестообразная метка на голове изображенного пациента (объекта) на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
