Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Подобно преобразованиюρФурье, синограмма содержит0rданные, необходимые для восстановления f(x, y). Как и в случае с изображениями Фурье-спектра, синограмма может быть легко истолкована в случае простых областей, но при усложнении области становится все болеетрудной для «чтения». Рис. 5.39(б) является синограммой прямоугольника слева. Вертикальная и горизонтальная оси соответствуют θ и ρ соответственно.Таким образом, нижняя строка является проекцией на горизонтальную ось(т. е. θ = 0°), а средняя — на вертикальную ось (θ = 90°).
Тот факт, что ненулевая часть нижней строки меньше, чем ненулевая часть средней строки, говорито том, что объект вытянут в вертикальном направлении. То, что относительносвоего центра синограмма симметрична и в вертикальном, и в горизонтальномнаправлениях, говорит о том, что объект также симметричен и параллелен осямx и y. Наконец, то, что синограмма гладкая, говорит о том, что объект однороден по яркости. Эти общие высказывания — все, что можно сказать об объектепо данной синограмме.Для построения массива, содержащего строки одинакового размера, минимальный размер синограммы по направлению ρ соответствует максимальному размеру проекции объекта. Так, минимальный размер синограммы квадрата размерами M×M, полученной с шагом 1°, будет 180×Q, где Q — минимальное целоебольшее, чем 2M .На рис. 5.39(в) представлено изображение фантома Шеппа — Логана — широко используемого искусственного объекта, созданного для имитации поглощения основными областями мозга, включая небольшие опухоли.
Синограммаэтого изображения значительно более сложна для интерпретации, как это видно на рис. 5.39(г). Некоторые свойства симметрии все еще можно подразумевать,но это все, что можно сказать. Визуальный анализ синограммы имеет весьмаограниченные возможности использования, но иногда он полезен при разработке алгоритмов.436Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийа бв г180135θ 90450180ρ135θ 90450Рис. 5.39.ρДва изображения и их синограммы (преобразования Радона). Каждый ряд синограммы представляет собой проекцию под углом относительно вертикальной оси.
Изображение (в) называется фантомШеппа — Логана. В оригинальном виде контраст фантома чрезвычайно мал; здесь он усилен для облегчения восприятияГлавной целью КТ является получение трехмерного представления объемного объекта по его проекциям. Как было наглядно показано в разделе 5.11.1,получение изображения слоя достигается формированием обратных проекцийпо каждому из проецируемых направлений и их последующим суммированием.Наложение всех полученных изображений слоев дает трехмерную копию сканируемого объекта.
Чтобы при помощи преобразования Радона получить формальные выражения для изображения, полученного обратным проецированием, рассмотрим сначала единственную точку g(ρj,θk) полной проекции g(ρ,θk) прификсированном значении угла поворота θk (см. рис. 5.37). Формирование частиизображения путем обратного проецирования этой единственной точки естьне что иное, как копирование линии L(ρj,θk) на изображение так, что значениекаждой точки, принадлежащей данной линии, будет равно g(ρj,θk).
Повторяяэтот процесс для всех значений ρj рассматриваемой проекции (но оставляя θравным θk), получим следующее выражение:fθk ( x, y ) = g (ρ, θk ) = g ( x cos θk + y sin θk , θk ) ,которое дает значения изображения обратной проекции, полученной при фиксированном угле θk, как это показано на рис. 5.32(б). Поскольку равенство справедливо для любого угла θk, в общем виде можно записать, что изображение,5.11.
Реконструкция изображения по проекциям437образованное одной обратной проекцией, полученной под углом θ, дается выражениемfθ ( x, y ) = g ( x cos θ + y sin θ, θ) .(5.11-5)Окончательное изображение получается интегрированием по всем изображениям обратных проекций:πf ( x, y ) = ∫ fθ ( x, y )d θ .(5.11-6)0В дискретном случае интеграл становится суммой изображений обратных проекций:πf ( x, y ) = ∑ f θ ( x, y ) ,(5.11-7)θ=0где x, y и θ являются теперь дискретными величинами. Напомним, что согласнообсуждению в разделе 5.11.1 проекции под углами 0° и 180° являются зеркальными по отношению друг к другу, поэтому суммирование выполняется до значения угла, непосредственно предшествующего углу 180°. Так, если шаг равен0,5°, то суммирование должно вестись до 179,5°.
Изображение, сформированноеописанным образом при помощи обратных проекций, называется ламинограммой. Очевидно, что ламинограмма является только приближением того изображения, по проекциям которого она была получена; это наглядно демонстрируетследующий пример.Пример 5.18. Получение изображений обратных проекций из синограмм.■ При формировании окончательных изображений обратных проекцийна рис. 5.32—5.34, являющихся результатом суммирования проекций, полученных при помощи (5.11-4), использовалась формула (5.11-7).
Аналогичным образом данные соотношения использовались для формирования изображенийрис. 5.40(а) и (б), которые являются изображениями обратных проекций, соответствующих синограммам рис. 5.39(б) и (г) соответственно. Как и на предыдущих изображениях, здесь имеется высокий уровень размывания, поэтому очевидно, что прямое использование соотношений (5.11-4) и (5.11-7) не приводитк желаемому результату. Экспериментальные КТ-системы ранее основывалисьна этих соотношениях; но как будет показано в разделе 5.11.5, возможны значиа бРис. 5.40. Обратные проекции синограмм на рис.
5.39438Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийтельные улучшения в реконструкции при помощи переформулировки подхода,основанного на обратных проекциях.■5.11.4. Теорема о центральном сечении24В этом разделе будут приведены фундаментальные результаты, связывающие одномерное Фурье-преобразование проекции и двумерное Фурье-преобразованиеизображения той области, по которой была сделана проекция. Это соотношение является основой методов реконструкции, способных справиться с толькочто рассмотренной проблемой размывания.Одномерное преобразование Фурье проекции g(ρ,θ) по переменной ρ призаданном угле θ дается формулой∞G (ω, θ) =∫ g (ρ, θ)e− i 2 πωρdρ ,(5.11-8)−∞где, как и в (4.2-16), ω — частотная переменная. Подставляя (5.11-3) вместо g(ρ,θ),получим выражение∞ ∞ ∞G (ω, θ) =∫ ∫ ∫ f ( x, y )δ( x cos θ + y sin θ − ρ)e− i 2 πωρdxdydρ =−∞ −∞ −∞∞ ∞=∫ ∫ f ( x, y ) ⎡⎢⎣∫−∞ −∞∞ ∞=∫ ∫ f ( x, y )e∞−∞δ( x cos θ + y sin θ − ρ)e −i 2 πωρdρ⎤⎥ dxdy =⎦(5.11-9)− i 2πω ( x cos θ+ y sin θ )dxdy ,−∞ −∞где последний шаг следует из свойств импульса, рассмотренных в главе 4.
Вводяновые переменные u = ω cos θ и v = ω sin θ и делая замену переменных в последнем интеграле формулы (5.11—9), получим:⎡∞ ∞⎤.(5.11-10)G (ω, θ) = ⎢ ∫ ∫ f ( x, y )e −i 2 π(ux +vy )dxdy ⎥⎣−∞ −∞⎦u =ω cos θ; v =ω sin θКак видно, полученное выражение есть преобразование Фурье f(x, y) (см. формулу (4.5-7)), вычисленное при указанных значениях переменных u и v. Такимобразом,G (ω, θ) = [F (u,v )]u =ω cos θ; v =ω sin θ = F (ω cos θ, ω sin θ) ,(5.11-11)где, как обычно, F(u,v) означает двумерное преобразование Фурье функцииf(x, y).Равенство (5.11-11) известно как теорема о центральном сечении (или теорема о проекциях).
Она утверждает, что Фурье-преобразование проекции естьсечение (сделанное под тем же углом) двумерного преобразования Фурье изображения той области, проекция которой была получена. Объяснение терминологии может быть сделано при помощи рис. 5.41. Как видно из рисунка,24В оригинале Fourier-slice theorem. В русскоязычной литературе она также называется теоремой о проекциях.
— Прим. перев.5.11. Реконструкция изображения по проекциям439Двумерное vпреобразованиеФурьеF (u, v)yПроекцияθf(x, y)θxuОдномерноепреобразованиеФурьеРис. 5.41.Иллюстрация теоремы о центральном сечении. Одномерное Фурьепреобразование проекции является сечением двумерного преобразования Фурье области, проекция которой была получена. Обратимвнимание на совпадение углов θпреобразование Фурье (одномерное) произвольной проекции получается выбором значений F(u,v), лежащих на прямой, проходящей под тем же углом, подкоторым была сделана проекция. В принципе, можно получить f(x, y) просто взятием обратного преобразования Фурье от F(u,v)25.
Однако это требуетопределенных вычислительных затрат на выполнение обратного двумерногопреобразования. Подход, рассматриваемый в следующем разделе, значительноболее эффективен.5.11.5. Реконструкция по проекциям в параллельных пучкахметодом фильтрации и обратного проецированияКак было показано в разделе 5.11.1 и в примере 5.18, непосредственное использование обратных проекций приводит к неприемлемо размытому результату.К счастью, существует простое решение этой проблемы, основанное на фильтрации проекций перед формированием обратных проекций. Согласно (4.5-8),двумерное обратное преобразование Фурье F(u,v) записывается в виде∞ ∞f ( x, y ) =∫ ∫ F (u,v )ei 2π( ux +vy )dudv .(5.11-12)−∞ −∞Если, как в (5.11-10) и (5.11-11), сделать замену u = ω cos θ и v = ω sin θ, то дифференциалы принимают вид du dv = ω dω dθ и (5.11-12) можно переписать в полярных координатах следующим образом:Соотношение du dv = ω dω dθ следует из основ интегрального исчисления, когдадля замены переменных в качестве базиса используется якобиан.25Следует помнить, что при взятии обратного преобразования Фурье по-прежнемубудет присутствовать размывание, поскольку данный результат эквивалентен тому, который был получен с использованием подхода, рассмотренного в предыдущем разделе.440Глава 5.
Восстановление и реконструкция изображений2π ∞f ( x, y ) =∫ ∫ F (ω cos θ, ω sin θ)ei 2 πω ( x cos θ+ y sin θ )ωd ω d θ .(5.11-13)0 0Тогда, используя теорему о центральном сечении, получаем2π ∞f ( x, y ) =∫ ∫G (ω, θ)ei 2 πω ( x cos θ+ y sin θ )ωd ω d θ .(5.11-14)0 0Разделив данный интеграл на два выражения — одно для θ в диапазоне от 0°до 180°, а второе — от 180° до 360°, и используя тот факт, что G(ω, θ+180°) = G(–ω,θ)(см. задачу 5.32), можно записать (5.11-14) в видеπ ∞f ( x, y ) = ∫∫ ω G (ω, θ)ei 2 πω ( x cos θ+ y sin θ )dωdθ.(5.11-15)0 −∞При интегрировании по ω выражение (x cos θ + y sin θ) можно считать константой, которая, согласно (5.11-1), равна ρ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
