Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Среди других решений помочь в уменьшенииэтих эффектов может подстройка алгоритмов фильтрации, а также увеличениечисла детекторов, как это объяснялось в разделе 5.11.2.■а бв гРис. 5.43.Реконструкция изображения прямоугольника с использованием обратных проекций, фильтрованных: (а) пилообразным фильтром;(б) пилообразным фильтром, модифицированным окном Хэмминга.Во втором ряду показаны увеличенные участки изображений первогоряда. Сравните с рис. 5.40(а)444Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийа бРис. 5.44.
Реконструкция изображения фантома головы с использованием:(а) пилообразного фильтра; (б) пилообразного фильтра, модифицированного окном Хэмминга. Сравните с рис. 5.40(б)Вышеприведенное рассмотрение базировалось на формировании фильтрованных обратных проекций в частотной области при использовании ДПФ.Однако из теоремы о свертке в главе 4 известно, что эквивалентный результатможно получить и при использовании пространственной свертки.
В частности заметим, что в формуле (5.11-16) член, находящийся в квадратных скобках,представляет собой обратное преобразование Фурье произведения частотныхпредставлений двух функций, которое, в соответствии с теоремой о свертке,эквивалентно свертке пространственных представлений (т. е. обратных Фурьепреобразований) этих двух функций. Другими словами, обозначив через s(ρ)обратное Фурье-преобразование29 от |ω|, можно переписать (5.11-16) в видеπ ∞⎡⎤f ( x, y ) = ∫ ⎢ ∫ ω G (ω, θ)ei 2 πωρd ω ⎥dθ =⎦ρ= x cos θ+ y sin θ0 ⎣ −∞π= ∫ [s (ρ)g (ρ, θ)]ρ= x cos θ+ y sin θ d θ =(5.11-18)0π ∞⎤⎡= ∫ ⎢ ∫ g (ρ, θ) s ( x cos θ + y sin θ − ρ)d ρ⎥ dθ,⎦0 ⎣ −∞где, как и в главе 4, «» обозначает свертку.
Вторая строка вытекает из первойпо причине, объясненной в предыдущем параграфе. Третья строка следуетиз фактического определения свертки, данного выражением (4.2-20).Две нижние строки в (5.11-18) говорят об одном и том же: отдельная обратнаяпроекция, сделанная под углом θ, может быть получена при помощи сверткисоответствующей проекции g(ρ,θ) и обратного Фурье-преобразования пилообразного фильтра s(ρ).
Как и ранее, полное изображение обратной проекцииполучается интегрированием (суммированием) всех изображений отдельных29Если используется модификация функции, например, окном Хэмминга, то обратное Фурье-преобразование выполняется над модифицированной пилообразнойфункцией. Также здесь опять игнорируется отмечавшийся выше вопрос существованиянепрерывного обратного преобразования Фурье, поскольку все операции выполняютсянад дискретными данными конечной длины.5.11. Реконструкция изображения по проекциям445обратных проекций.
С точностью до ошибок округления в вычислениях результаты, полученные при использовании свертки или ДПФ, будут идентичными. При практической реализации КТ обычно возвращаются к использованиюсвертки из-за ее большей вычислительной эффективности; так что большинство современных систем КТ использует именно такой подход. ПреобразованиеФурье играет центральную роль в теоретических формулировках и разработке алгоритмов (например, обработка КТ-изображений в MATLAB базируетсяна БПФ). Также следует заметить, что нет необходимости запоминать все изображения отдельных обратных проекций при реконструкции.
Вместо этогоформируется изображение, являющееся текущей суммой, обновляемое прибавлением очередного изображения каждой из отдельных обратных проекций.По окончании процедуры изображение с текущими суммами будет равно общей сумме всех обратных проекций.В заключение мы обращаем внимание на тот факт, что пилообразный фильтр(даже если он модифицирован ограничивающей функцией) обнуляет нулевойкоэффициент (постоянную составляющую) в частотной области, а значит, каждое из изображений обратных проекций будет иметь нулевое среднее значениеяркости (см.
рис. 4.20). Как следствие, эти изображения будут иметь как положительные, так и отрицательные значения пикселей. После суммирования всехобратных проекций и формирования финального изображения часть пикселейпо-прежнему будет иметь отрицательные значения.Существует несколько путей решения данной проблемы. Если неизвестно, чему должно равняться среднее значение яркости, простейший подход заключается в допущении отрицательных величин и масштабировании значений яркости, при использовании процедуры, описанной формулами (2.6-10)и (2.6-11).
Именно такой подход и применялся в данном разделе. Если имеютсясведения о том, чему должно быть равно «типичное» значение средней яркости, это значение может быть добавлено в фильтр в частотной области, смещаятем самым характеристику пилообразного фильтра и предотвращая обнулениенулевого коэффициента (см. рис. 4.31(в)). При работе в пространственной области со сверткой сама операция ограничения длины пространственного фильтра (обратного Фурье-преобразования пилообразного фильтра) предохраняетот появления нулевого среднего значения, тем самым вообще устраняя проблему обнуления.5.11.6.
Реконструкция на основе фильтрованных обратныхпроекций с веерным пучкомДо настоящего момента обсуждалась КТ в параллельных лучах. Благодаря своейпростоте и наглядности такая геометрия формирования изображения традиционно используется при введении в проблему компьютерной томографии. Однакосовременные системы КТ используют геометрию веерного пучка (см. рис. 5.35),что и является темой обсуждения в оставшейся части данного раздела.На рис.
5.45 показана основная геометрия веерного пучка, где детекторырасполагаются на дуге окружности, а угловые шаги источника предполагаются одинаковыми. Пусть p(α,β) обозначает проекцию веерного пучка, где α —угловое положение конкретного детектора по отношению к центральному лучу,446Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийyβИсточникDαρθxL (ρ, θ)Центральный лучРис. 5.45.Основная геометрия веерного пучка. Линия, проходящая от источника через начало координат (которое предполагается центром вращения источника), называется центральным лучома β — угол поворота источника по отношению к оси y, как показано на рисунке.На рис.
5.45 показано, что отдельный луч веерного пучка может быть представлен в форме с нормалью L(ρ,θ), что совпадает с представлением луча в геометрии параллельного пучка, рассмотренной в предыдущем разделе. Это позволяет использовать результаты параллельного пучка в качестве отправной точкидля вывода соответствующих уравнений для случая геометрии веерного пучка.Приступим к выводу формул метода реконструкции на базе алгоритма сверткии обратной проекции для случая проекций веерного пучка. Перейдем к этомупри помощи вывода фильтрованной обратной проекции с веерным пучком,основанной на свертке30.Как показано на рис. 5.45, параметры прямой L(ρ,θ) связаны с параметрамивеерного пучка соотношениямииθ=β+α(5.11-19)ρ = D sin α ,(5.11-20)где D — расстояние от центра источника до начала координат плоскости xy.30Теорема о центральном сечении была выведена для геометрии параллельногопучка и напрямую неприменима к веерному пучку.
Однако выражения (5.11 19) и (5.11 20)дают основу для сведения геометрии веерного пучка к геометрии параллельного пучка,позволяя тем самым использовать разработанный в предыдущем разделе метод фильтрации и обратного проецирования в ситуации, когда теорема о центральном сеченииприменима. Этот вопрос будет рассмотрен более подробно в конце данного раздела.5.11. Реконструкция изображения по проекциям447Формула свертки и обратной проекции для геометрии параллельного пучказадана выражением (5.11-18).
Без потери общности можно предполагать, что мырассматриваем объекты, расположенные только внутри круговой области радиуса T вокруг начала координат плоскости. Тогда g(ρ,θ) = 0 для |ρ| > T и формула(5.11-18) принимает вид2π Tf ( x, y ) =1g (ρ, θ) s ( x cos θ + y sin θ − ρ)d ρd θ ,2 ∫0 −∫T(5.11-21)где использовано то отмеченное в разделе 5.11.1 обстоятельство, что проекции,отвечающие углам, различающимся на 180°, являются зеркальными по отношению друг к другу.
По этой причине верхний предел внешнего интегралав (5.11-21) расширен до полного круга, как это требуется для перехода к геометрии веерного пучка, где детекторы расположены по кругу.Требуется перейти к интегрированию по переменным α и β. Чтобы сделать это, начнем с перехода к полярным координатам (r,ϕ).
Положим x = r cos ϕи y = r sin ϕ, откуда следуетx cos θ + y sin θ = r cos ϕ cos θ + r sin ϕ sin θ = r cos(θ − ϕ) .(5.11-22)Используя этот результат, можно выразить (5.11-21) в виде2π Tf ( x, y ) =1g (ρ, θ) s [r cos(θ − ϕ) − ρ]dρd θ .2 ∫0 −∫TДанное выражение есть не что иное, как формула реконструкции в параллельном пучке, записанная в полярных координатах. Однако интегрирование всееще ведется по переменным ρ и θ.
Для перехода к интегрированию по переменным α и β требуется преобразовать координаты в соответствии с формулами(5.11-19) и (5.11-20):f (r , ϕ) =122 π−α arc sin(T / D )∫∫− α arc sin( −T / D )g (D sin α,β + α) s [r cos(β + α − ϕ) − D sin α] D cos α d α dβ , (5.11-23)где использовано равенство dρdθ = Dcos(α)dαdβ (см. объяснение формулы(5.11-13)).Это выражение можно еще упростить. Прежде всего отметим, что пределыинтегрирования по β от –α до 2π – α охватывает полный диапазон в 360°. Поскольку все функции, зависящие от β, являются периодическими с периодом2π, пределы интегрирования внешнего интеграла могут быть заменены на 0и 2π.
Далее рассмотрим выражение αm = arcsin(T/D). Поскольку за пределамиобласти радиуса T (при |ρ| > T) функция g обращается в нуль, то g = 0 при |α| > αm(см. рис. 5.46). Поэтому можно изменить пределы внутреннего интеграла на –αmи αm соответственно.
Наконец, рассмотрим прямую L(ρ,θ) на рис. 5.45. Суммапо лучу из веерного пучка должна быть равна сумме по тому же лучу из параллельного пучка (сумма по лучу есть сумма значений всех пикселей вдольэтой прямой, так что результат должен быть одним и тем же для конкретноголуча, независимо от выбранной системы координат). Это выполняется для любого луча при взаимном соответствии значений (α,β) и (ρ,θ).
Обозначая черезp(α,β) проекцию в веерном пучке, можно записать, что p(α,β) = g(ρ,θ) и, соглас-448Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийyβИсточникαm–α mDTxРис. 5.46. Максимальное значение α, требуемое, чтобы захватить область интересано (5.11-19) и (5.11-20), что p(α,β) = g(D sin α, α+β). Подставляя эти наблюденияв (5.11-23), получим выражение2π αf (r , ϕ) =1 mp(α,β) s [r cos(β + α − ϕ) − D sin α] D cos α d α dβ .2 ∫0 −∫αm(5.11-24)Это фундаментальная формула реконструкции в веерном пучке, основаннаяна фильтрации и обратном проецировании.Формула (5.11-24) может быть преобразована и дальше, чтобы привести еев более удобную форму свертки. В соответствии с чертежом на рис. 5.47 можнопоказать (задача 5.33), чтоr cos(β + α − ϕ) − D sin α = R sin(α ′ − α) ,(5.11-25)где R — расстояние от источника до произвольной точки веерного луча, а α' —угол между этим лучом и центральным лучом. Заметим, что R и α' определяютсязначениями r, ϕ и β.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
