Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Как уже неоднократно упоминалось, следует помнить, чточисленные значения метрик совсем не обязательно отражают воспринимаемоекачество изображения.Когда мы имеем дело с белым шумом, спектр которого |N(u,v)|2 является постоянной функцией, происходят соответствующие упрощения. Однако спектрнеискаженного изображения редко бывает известен. В тех случаях, когда спектры шума и неискаженного изображения неизвестны и не могут быть оценены,часто используется подход, состоящий в аппроксимации выражения (5.8-2) выражением2ˆ⎛ 1H (u,v ) ⎞F (u,v ) = ⎜⎟G (u,v ) ,2⎝ H (u,v ) H (u,v ) + K ⎠(5.8-6)где K — определенная константа, прибавляемая ко всем значениям |H(u,v)|2.В приводимых ниже примерах фильтрации используется именно это последнеевыражение.Пример 5.12.
Сравнение инверсной фильтрации и винеровской фильтрации.■ Рис. 5.28 демонстрирует преимущества винеровской фильтрации по сравнению с инверсной фильтрацией. На рис. 5.28(а) воспроизведен представлена б вРис. 5.28. Сравнение инверсной фильтрации и винеровской фильтрации.(а) Результат восстановления с использованием полного инверсногофильтра.
(б) Результат восстановления с использованием обрезанного инверсного фильтра. (в) Результат винеровской фильтрации5.8. Фильтрация методом минимизации среднего квадрата отклонения(винеровская фильтрация)417ный на рис. 5.27(а) результат восстановления с использованием полного инверсного фильтра. Аналогично на рис. 5.28(б) воспроизведен представленныйна рис. 5.27(в) результат восстановления с использованием инверсного фильтра,обрезанного на высоких частотах. Эти результаты повторены здесь для удобства сравнения.
На рис. 5.28(в) представлен результат, полученный при помощивинеровской фильтрации на основе (5.8-3) с искажающей функцией из примера 5.11. Значение K было подобрано так, чтобы обеспечить наилучшее качествовосстановления. В этом примере очевидно преимущество винеровской фильтрации по сравнению с инверсной фильтрацией. Сравнивая рис.
5.25(а) и 5.28(в),мы видим, что винеровская фильтрация позволяет получить результат, оченьблизкий по виду к исходному изображению.■Пример 5.13. Дальнейшие сравнения винеровской фильтрации.■ В верхнем ряду на рис. 5.29 представлены слева направо следующие изображения: (1) смазанное изображение рис. 5.26(б), дополнительно сильно искаженноеаддитивным гауссовым шумом с нулевым средним и дисперсией 650; (2) результат его восстановления с помощью инверсной фильтрации; (3) результат восстановления с помощью винеровской фильтрации. Мы использовали винеровский фильтр из (5.8-3) с искажающей функцией примера 5.10 и со значением K,подобранным для получения возможно лучшего результата.
Отметим, что шумна изображении, которое получено методом инверсной фильтрации, очень велик и имеет ярко выраженную диагональную структуру в направлении смазывания. Результат фильтрации по Винеру никоим образом нельзя признать идеальным, но он дает некоторое представление о содержании изображения. Текстна изображении читается, хотя и не без труда.В среднем ряду на рис. 5.29 представлена та же последовательность изображений, но отвечающая шуму с дисперсией, уменьшенной на один порядок.Это уменьшение не дало заметного эффекта в случае инверсной фильтрации,но результат винеровской фильтрации заметно улучшился.
Читать текст теперь значительно легче. Для изображений нижнего ряда на рис. 5.29 дисперсияшума была уменьшена по величине более чем на пять порядков по сравнениюс изображениями верхнего ряда. На самом деле изображение на рис. 5.29(ж) ужене содержит заметного на глаз шума. В этом случае результат инверсной фильтрации представляет интерес. Шум все еще хорошо заметен, но текст можновидеть через шумовую «завесу». Это хорошая иллюстрация к тому, что былосказано при обсуждении формулы (5.7-2).
Другими словами, из рассмотренияизображения на рис. 5.29(з) ясно, что инверсный фильтр вполне в состояниисущественно уменьшить степень размывания. Шум, однако, по-прежнемупревалирует на изображении. Если бы мы могли «заглянуть за шумовую завесу» на рис.
5.29(б) и (д), то мы также обнаружили бы незначительную степеньразмывания. Результат винеровской фильтрации на рис. 5.29(и) превосходени весьма близок к исходному изображению на рис. 5.26(а). Результаты подобного рода показательны в плане того, чего можно достичь с помощью винеровской фильтрации в том случае, когда возможно построение хорошей оценкидля искажающей функции.■418Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийа б вг д еж з иРис. 5.29.(а) 8-битовое изображение, смазанное в результате движения и дополнительно искаженное аддитивным шумом.
(б) Результат инверснойфильтрации. (в) Результат винеровской фильтрации. (г)—(е) Те же изображения, но дисперсия шума на порядок меньше по величине. (ж)—(и) Те же изображения, но дисперсия шума уменьшена на пять порядковпо величине по отношению к (а). Обратите внимание на рисунок (з), гденесмазанное изображение проступает через «завесу» помехи5.9. Ôèëüòðàöèÿ ìåòîäîì ìèíèìèçàöèèñãëàæèâàþùåãî ôóíêöèîíàëà ñî ñâÿçüþПроблема, заключающаяся в необходимости иметь некоторую информацию относительно искажающей функции, является общей для всех рассматриваемыхв этой главе методов восстановления.
Применение винеровской фильтрациисвязано с дополнительной трудностью, состоящей в том, что энергетические5.9. Фильтрация методом минимизации сглаживающего функционала со связью419спектры неискаженного изображения и шума также должны быть известны.В предыдущем разделе было показано, что использование приближения (5.8-6)позволяет получать отличные результаты. Однако использование константыв качестве оценки для отношения энергетических спектров не всегда приводитк удовлетворительному решению задачи.Применение метода, рассматриваемого в этом разделе, требует только знания среднего значения и дисперсии шума. Это является важным преимуществом метода, поскольку, как показано в разделе 5.2.4, обычно можно оценитьуказанные величины на основе заданного искаженного изображения.
Другоеотличие состоит в том, что винеровская фильтрация основана на минимизации в смысле некоторого статистического критерия и, следовательно, являетсяоптимальной в некотором среднестатистическом смысле. Метод, рассматриваемый в настоящем разделе, обладает тем замечательным свойством, что позволяет получить оптимальный результат для каждого конкретного изображения, к которому он применяется. Конечно, важно понимать, что тот критерий,по отношению к которому результат является оптимальным с теоретическойточки зрения, не связан с механизмом зрительного восприятия. Поэтому выборв пользу того или иного метода почти всегда будет определяться (по крайнеймере частично) на основе визуальной оценки получаемых результатов.Используя определение свертки (4.6-23), как уже объяснялось в разделе 2.6.6,можно переписать уравнение (5.5-16) в матрично-векторном виде следующим образом:H = )G + η .(5.9-1)Для ознакомления с операциями над векторами и матрицами обратитеськ интернет-сайту книги.Пусть, например, изображение g(x,y) имеет размеры M×N.
Тогда мы можем сформировать вектор g таким образом, чтобы первые N его элементов были равнызначениям в первой строке изображения g(x,y), следующие N элементов былиравны значениям во второй строке и т. д. Полученный вектор будет иметь размер MN×1. Аналогично формируются векторы f и η, которые в результате имеютте же размеры. Далее матрица H имеет размеры MN×MN. Ее элементы задаютсязначениями h в свертке (4.6-23).Естественно предположить, что задача восстановления может быть такимспособом сведена к задаче линейной алгебры. К сожалению, дело обстоит не такпросто.
Предположим для примера, что мы работаем с изображениями среднихразмеров; пусть для определенности M = N = 512. Тогда векторы в формуле (5.9-1)будут иметь размеры 262144, а матрица H будет иметь размеры 262144×262144.Работа с векторами и матрицами подобных размеров представляет собой далеконе простую задачу. Дело дополнительно осложняется тем, что матрица H оченьчувствительна к шумам16 (что, учитывая опыт, приобретенный нами в преды16Матрица H является плохо определенной (т. е. ее определитель близок или дажеравен нулю), вследствие чего соответствующая линейная задача является в высшей степени некорректной.
Ее решение в обычном смысле может вообще не существовать, и дажеесли оно существует, то является очень неустойчивым по отношению к шуму η. Решениеподобных задач на практике является делом исключительной трудности. — Прим. перев.420Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийдущих двух параграфах при рассмотрении влияния шума на результаты восстановления, не должно показаться удивительным). Несмотря на это, формулировка задачи восстановления в матричном виде облегчает построение методоввосстановления.Корни метода восстановления, составляющего предмет настоящего раздела, лежат в области матричного анализа. Мы не будем полностью обосновыватьэтот метод, но приведем в конце главы ссылки на работы, в которых содержится детальный его вывод.
Главной проблемой является чувствительность задачипо отношению к шуму. Один из способов преодоления этой трудности состоитв регуляризации задачи, которая достигается заменой исходной задачи на задачу нахождения экстремума (минимума) некоторого сглаживающего функционала17 (фильтрация по Тихонову или тихоновская регуляризация). В качестве такого функционала C[ f ] можно использовать квадрат нормы уже знакомого намлапласианаВ разделе обучающих материалов на сайте книги в Интернете имеется целая глава,посвященная методам восстановления изображений на основе матричной алгебры.M −1 N −1C [ f ] = ∑ ∑ (∇2 f ( x, y ))2(5.9-2)x =0 y =0с дополнительным ограничением (связью) видаˆH − )G = η ,(5.9-3)ˆX5 X — евклидова норма вектора, а f — искомая оценка неискаженногогде Xизображения. Оператор Лапласа ∇2 определен выражением (3.6-3).
Напомним,что если w — n-компонентный вектор, тоnwT w = ∑ wk2 ,k =1где wk — k-я координата вектора.Решение оптимизационной задачи (5.9-2) с условием (5.9-3) в частотной области дается выражениемˆ⎛⎞H ∗ (u,v )F (u,v ) = ⎜G (u,v ) ,22⎟⎝ H (u,v ) + γ P (u,v ) ⎠(5.9-4)где параметр γ (параметр регуляризации) должен быть выбран таким образом,чтобы выполнялось условие (5.9-3), а функция P(u,v) есть Фурье-преобразованиефункции17Эта идея лежит в основе общего подхода к решению некорректных задач, который был предложен и развит школой А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
