Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Это изображение имеет размеры512×512 пикселей и параметры, определяющие размеры окрестности в процедуре оптимизации, были выбраны следующим образом: a = b = 15. На рис. 5.21представлен Фурье-спектр искаженного изображения. В этом конкретном случае спектр не подвергался процедуре центрирования, поэтому начало координатu = v = 0 находится в левом верхнем углу изображения на рис. 5.21.
На рис. 5.22(а)Рис. 5.21.Фурье-спектр (не центрированный) изображения, представленногона рис. 5.20(а). (Изображение предоставлено NASA)а бРис. 5.22. (а) Фурье-спектр N(u,v) и (б) соответствующее изображение помех (шумовой составляющей) η(x,y). (Изображение предоставленоNASA)5.5. Линейные трансляционно-инвариантные искажения403Рис.
5.23. Восстановленное изображение. (Изображение предоставлено NASA)представлен спектр шума N(u,v), т. е. на изображении присутствуют лишь тепики, которые связаны с шумовой составляющей. На рис. 5.22(б) представленоизображение помех η(x,y), которое получено вычислением обратного преобразования Фурье от функции N(u,v). Обратите внимание на сходство структурыэтого изображения и структуры шумовой составляющей на рис.
5.20(а). Наконец, на рис. 5.23 представлен результат восстановления, полученный с использованием выражения (5.4-13). Периодическая помеха практически устранена. ■5.5. Ëèíåéíûå òðàíñëÿöèîííî-èíâàðèàíòíûåèñêàæåíèÿИскажающее преобразование на рис. 5.1, которому подвергается функция f(x,y)на этапе, предшествующем восстановлению, может быть записано в видеg ( x, y ) = H [ f ( x, y )] + η( x, y ) .(5.5-1)Временно предположим, что η(x,y) = 0, так что g(x,y) = H[ f(x, y)]. Как было определено в разделе 2.6.2, оператор H является линейным, еслиH [af1 ( x, y ) + bf2 ( x, y )] = aH [ f1 ( x, y )] + bH [ f2 ( x, y )] ,(5.5-2)где a и b — любые скаляры, а f1(x, y) и f2(x, y) — две любые функции (два любыхизображения).
В случае a = b = 1, равенство (5.5-2) принимает видH [ f1 ( x, y ) + f2 ( x, y )] = H [ f1 ( x, y )] + H [ f2 ( x, y )] .(5.5-3)Выражаемое равенством (5.5-3) свойство называется свойством аддитивности.Это свойство просто означает, что если H — линейный оператор, то результатего действия на сумму двух функций равен сумме результатов его действияна каждую из этих функций.404Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийДля ознакомления с теорией линейных систем обратитесь к интернет-сайту книги.В случае f2(x, y) = 0 равенство (5.5-2) принимает видH [af1 ( x, y )] = aH [ f1 ( x, y )] .(5.5-4)Выражаемое равенством (5.5-4) свойство называется свойством однородности.
Это свойство означает, что результат действия оператора на произведениеконстанты на функцию равен произведению этой константы на результат действия оператора на функцию. Таким образом, линейный оператор обладает каксвойством аддитивности, так и свойством однородности.Оператор, действующий по правилу g(x, y) = H[ f(x, y)], называетсятрансляционно-инвариантным (или пространственно-инвариантным), если длялюбой функции f(x, y) и для любых чисел α и β выполняется равенствоH [ f ( x − α, y − β)] = g ( x − α, y − β).(5.5-5)В соответствии с данным определением действие оператора в точке зависитлишь от значения аргумента и не зависит от местоположения этой точки в пространстве.Небольшое видоизменение формы записи9 определения (4.5-3) дискретнойимпульсной функции дает возможность выразить функцию f(x, y) в терминахнепрерывной10 импульсной функции (δ-функции):+∞ +∞f ( x, y ) =∫ ∫ f (α,β) δ(x − α, y − β)d αdβ .(5.5-6)−∞ −∞Снова временно предположим, что η(x, y) = 0.
Тогда подстановка (5.5-6) в (5.5-1)дает⎡+∞ +∞⎤(5.5-7)g ( x, y ) = H [ f ( x, y )] = H ⎢ ∫ ∫ f (α,β) δ( x − α, y − β)d αd β ⎥ .⎣−∞ −∞⎦Пусть H — линейный оператор. Поскольку свойство аддитивности распространяется на интегралы, то+∞ +∞g ( x, y ) =∫ ∫ H [ f (α,β) δ(x − α, y − β)]d αdβ .(5.5-8)−∞ −∞Используя свойство однородности и учитывая, что f(α,β) не зависит от x и y, получаем+∞ +∞g ( x, y ) =∫ ∫ f (α,β) H [δ(x − α, y − β)]d αdβ .(5.5-9)−∞ −∞9Для того чтобы упростить изложение материала, автору удобно перейти к рассмотрению непрерывного случая, что не изменяет существа дела. Такой переход осуществляется заменой дискретных переменных на непрерывные, конечные суммызаменяются на соответствующие интегралы, а дискретная δ-функция (символ Кронекера) — на непрерывную δ-функцию.
Обратные замены позволяют вернуться к дискретному случаю. — Прим. перев.10Касательно непрерывных и дискретных переменных см. примечание 23 в данной главе.5.5. Линейные трансляционно-инвариантные искажения405Функция под знаком интеграла в правой части последнего равенстваh( x, α, y,β) = H [δ( x − α, y − β)](5.5-10)называется импульсным откликом (импульсной характеристикой) или ядромоператора H.
Таким образом, функция h(x,α,y,β) представляет собой результатдействия (отклик) оператора H на δ-функцию, локализованную в точке с координатами (x,y). В оптике, когда импульс соответствует светящейся точке,функцию h(x,α,y,β) обычно называют функцией рассеяния точки (ФРТ). Происхождение термина связано с тем обстоятельством, что любая реальная оптическая система до некоторой степени размывает (рассеивает) светящуюся точку,причем величина рассеивания определяется качеством оптической системы.Подставив (5.5-10) в (5.5-9), получим выражение+∞ +∞g ( x, y ) =∫ ∫ f (α,β)h(x, α, y,β)d αdβ ,(5.5-11)−∞ −∞которое называется интегралом Фредгольма первого рода. В последнем выражении заключен фундаментальный результат, лежащий в основе теории линейных систем.
Этот результат устанавливает, что если известен отклик системына импульсную функцию, то отклик системы на любую функцию f(α,β) можетбыть вычислен на основе (5.5-11). Другими словами, любая линейная система Hполностью характеризуется своим импульсным откликом (ядром соответствующего оператора).Если оператор H является трансляционно-инвариантным, то из (5.5-5)следует, чтоH [δ( x − α, y − β)] = h( x − α, y − β) .(5.5-12)Выражение (5.5-11) в этом случае принимает вид+∞ +∞g ( x, y ) =∫ ∫ f (α,β)h(x − α, y − β)d αdβ .(5.5-13)−∞ −∞Это выражение является интегралом свертки, введенным для одной переменной уравнением (4.2-20) и расширенным для двумерного случая в задаче 4.11.Выражение (5.5-13) показывает, что, зная ядро линейного оператора, можно вычислить результат g его действия на любую функцию f.
Этот результат простопредставляет собой свертку ядра с соответствующей функцией.При наличии аддитивного шума выражение, определяющее линейную модель искажений (см. (5.5-11)), принимает вид+∞ +∞g ( x, y ) =∫ ∫ f (α,β)h(x, α, y,β)d αdβ + η(x, y ) .(5.5-14)−∞ −∞Если оператор H трансляционно-инвариантный, то (5.5-14) записываетсяв виде+∞ +∞g ( x, y ) =∫ ∫ f (α,β)h(x − α, y − β)d αdβ + η(x, y ) .−∞ −∞(5.5-15)406Глава 5.
Восстановление и реконструкция изображенийЗначения описывающего шум слагаемого η(x,y) являются случайными величинами, которые предполагаются не зависящими от точки пространства. Используя привычные обозначения для свертки, можно переписать (5.5-15) какg ( x, y ) = h( x, y ) f ( x, y ) + η( x, y )(5.5-16)или, используя теорему о свертке (см. раздел 4.6.6), перейти в частотную область, что даетG (u,v ) = H (u,v )F (u,v ) + N (u,v ) .(5.5-17)Последние два выражения суть выражения (5.1-1) и (5.1-2). Напомним, что умножение понимается как поэлементное. Так, элемент произведения H(u,v)F(u,v)с номером ij есть произведение ij-того элемента H(u,v) на ij-тый элемент F(u,v).Итак, проведенное рассмотрение показывает, что воздействие линейнойтрансляционно-инвариантной искажающей системы с аддитивным шумом может быть смоделировано в пространственной области как свертка искажающейфункции (ядра искажающего оператора) с изображением и последующее прибавление аддитивного шума.
На основе теоремы о свертке то же воздействие можетбыть выражено в частотной области как произведение Фурье-преобразованийизображения и искажающей функции с последующим прибавлением Фурьепреобразования шума. Для перехода в частотную область мы используем рассмотренный в разделе 4.11 алгоритм БПФ. Будем иметь в виду также, что применение дискретного преобразования Фурье требует дополнения функцийнулями, как это объяснялось в разделе 4.6.6.Линейные трансляционно-инвариантные модели могут быть использованыдля приближенного описания многих типов искажений. Преимущество такогоподхода заключается в том, что огромное количество используемых в линейнойтеории методов и средств становятся применимы для решения задач восстановления изображений. Хотя нелинейные и трансляционно-неинвариантные методы являются более общими (и обычно более точными), но их использованиечасто приводит к непреодолимым или очень трудно решаемым численными методами проблемам.
Рассмотрения настоящей главы сосредоточены на линейных трансляционно-инвариантных методах. Поскольку искажение представляет собой результат свертки, то для восстановления необходимо найти такойфильтр, применение которого приводило бы к обратному процессу. Поэтому дляобозначения линейного процесса восстановления часто используется терминреконструкция (деконволюция11) изображений. Аналогично фильтры, используемые для восстановления, часто называются реконструирующими фильтрами.5.6. Îöåíêà èñêàæàþùåé ôóíêöèèСуществуют три основных способа оценки искажающей функции (ядра искажающего оператора) для последующего ее использования при восстановле11Процесс, обратный свертке («convolution»), по-английски называется «deconvolution» — «деконволюция».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
