Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Когда при помощи экспериментов в частотной области удается выбрать конкретный фильтр, действительная реализация методаобычно осуществляется в пространственной области. Одним из принципов является формирование небольших пространственных масок, способных вобратьв себя «основное содержание» полной фильтр-функции в частотной области,как это объяснялось в контексте рис.
4.37. Более формальный подход заключается в создании двумерного цифрового фильтра использованием приближений,базирующихся на математических или статистических критериях. Мы еще разкоснемся этого вопроса в разделе 4.11.4.318Глава 4. Фильтрация в частотной областиПример 4.15.
Получение частотного фильтра из небольшой пространственной маски.■ В данном примере мы начнем с пространственной маски и покажем, как создать соответствующий ей частотный фильтр. Затем мы сравним результатыфильтрации, полученные при помощи частотных и пространственных методов.Такой анализ полезен, когда возникает желание сравнить качества некоторойконкретной пространственной маски с одним или более «полноразмерными»фильтрами-кандидатами в частотной области или глубже понять действие выбранной маски.
Для упрощения материала выберем детектор Собела вертикальных контуров, имеющий маску 3×3 и показанный на рис. 3.41(д). На рис. 4.38(а)показано исходное изображение размерами 600×600, которое мы собираемсяфильтровать, а на рис. 4.38(б) — его спектр.На рис. 4.39(а) показана маска Собела h(x, y) и трехмерный график его частотного представления (объясняется ниже). Поскольку исходное изображение имеет размеры 600×600 пикселей, а фильтр — 3×3 точек, то для устраненияэффектов перехлеста мы расширим f и h до размеров 602×602 пикселей в соответствии с выражениями (4.6-29) и (4.6-30). Маска Собела имеет нечетнуюсимметрию при условии, что она вставлена в массив нулей четного размера(см. пример 4.10).
Чтобы соблюсти эту симметрию, разместим h(x, y) так, чтобыего центр совпадал с центром расширенного массива размерами 602×602 пикселя; это является важным аспектом построения фильтра. Если при формировании hp(x, y) сохраняется нечетная симметрия расширенного массива, тосогласно свойству 9 из табл. 4.1 H(u,v) будет чисто мнимой. Как будет показано в конце примера, это приведет к результатам, идентичным использованиюh(x, y) в пространственной области. Если симметрия не выполняется, то результаты уже не будут теми же самыми.Процедура получения H(u,v) состоит из следующих шагов: (1) умножитьhp(x, y) на (–1)x+y, чтобы центрировать частотный фильтр; (2) вычислить прямое ДПФ результата шага (1); (3) обнулить действительную часть результатаДПФ, в которой могут содержаться паразитные значения (как известно, H(u,v)должна быть чисто мнимой); и (4) умножить результат на (–1)u+v. Последнийа бРис.
4.38. (а) Изображение здания и (б) его спектр4.7. Основы фильтрации в частотной областиа бв г–101–202–101Рис. 4.39.319(а) Пространственная маска и трехмерный график ее частотногопредставления. (б) Фильтр, показанный в виде изображения. (в) Результат фильтрации изображения на рис. 4.38(а) частотным фильтром(б). (г) Результат фильтрации изображения на рис. 4.38(а) пространственным фильтром (а). Результаты идентичнышаг компенсирует скрытое умножение H(u,v) на (–1)u+v, которое по сути происходит при сдвиге h(x, y) в центр hp(x, y).
Функция H(u,v) показана на рис. 4.39(а)в виде трехмерного графика, а на рис. 4.39(б) — в виде полутонового изображения, в котором ноль отображается серым уровнем. Функция является нечетной, т. е. антисимметричной относительно центра, что хорошо видно на рисунках. Как и любой другой частотный фильтр, H(u,v) используется согласнопроцедуре, очерченной в разделе 4.7.3.На рис. 4.39(в) представлен результат преобразования изображенияна рис.
4.38(а) только что рассмотренным фильтром согласно процедуре, изложенной в разделе 4.7.3. Как и следовало ожидать от дифференцирующего фильтра, улучшены контуры, ориентированные близко к вертикали, а участки всехостальных интенсивностей, включая постоянные области и горизонтальныеконтуры, приближены к нулю (для удобства визуализации нулевые значениясдвинуты в область серого). На рис. 4.39(г) показан результат фильтрации того320Глава 4. Фильтрация в частотной областиже изображения соответствующим фильтром h(x, y) непосредственно в пространственной области согласно процедуре, изложенной в разделе 3.6.4.
Результаты идентичны.■4.8. ×àñòîòíûå ôèëüòðû ñãëàæèâàíèÿ èçîáðàæåíèÿОстаток данной главы посвящен различным методам частотной фильтрации.Начнем с низкочастотной фильтрации. Значительный вклад в высокие частотыФурье-преобразования изображения дают контуры и другие резкие яркостныепереходы, включая шумы. Следовательно, в частотной области сглаживание(размывание) достигается подавлением высоких частот, т. е.
при помощи низкочастотной фильтрации. В данном разделе будут рассмотрены три вида низкочастотных фильтров: идеальный фильтр, фильтр Баттерворта и гауссов фильтр.Эти три фильтра покрывают диапазон от очень резких фильтров (идеальный)до очень гладких фильтров (гауссов). Фильтр Баттерворта характеризуется параметром, который называется порядком фильтра.
При больших значениях этого параметра фильтр Баттерворта приближается по форме к идеальному фильтру. При малых значениях он имеет гладкую форму, похожую на форму гауссовафильтра. Таким образом, фильтр Баттерворта может рассматриваться как переходный между двумя «крайностями». Все методы фильтрации, рассматриваемые в настоящем разделе, следуют процедуре, изложенной в разделе 4.7.3,следовательно предполагается, что все фильтр-функции H(u,v) являются дискретными функциями размеров P×Q, т. е. дискретные частотные переменныенаходятся в диапазонах u = 0, 1, 2, ..., P – 1 и v = 0, 1, 2, ..., Q – 1.4.8.1. Идеальные фильтры низких частотДвумерный фильтр низких частот, который пропускает без затухания все частотные составляющие внутри круга радиусом D 0 от начала координат и «обрезает» все частотные составляющие вне этого круга, называется идеальным фильтром низких частот (идеальный ФНЧ); он определяется следующей функцией:⎧1H (u,v ) = ⎨⎩0при D (u,v ) ≤ D0при D (u,v ) > D0 ,(4.8-1)где D 0 — заданная положительная константа, а D(u,v) — расстояние от точки(u,v) частотной области до начала координат (центра частотного прямоугольника); т.
е.1/ 2D (u,v ) = ⎡⎣(u − P /2)2 + (v −Q/2)2 ⎤⎦ ,(4.8-2)где, как и ранее, P и Q — размеры расширенного изображения согласно выражениям (4.6-31) и (4.6-32). На рис. 4.40(а) фильтр H(u,v) представлен в видетрехмерного графика, а на рис. 4.40(б) — в виде изображения. Согласно разделу 4.3.3 название фильтра идеальный указывает, что все частоты внутрикруга радиуса D 0 проходят без изменения, а все частоты вне круга полностьюподавляются (отфильтровываются).
Идеальный низкочастотный фильтр яв-4.8. Частотные фильтры сглаживания изображенияа б вH (u, v)v321H (u, v)1uvD0uD (u, v)Рис. 4.40. (а) Трехмерный график передаточной функции идеального низкочастотного фильтра. (б) Представление фильтра в виде изображения. (в)Радиальный профиль фильтраляется радиально симметричным вокруг начала координат, а значит, он полностью задается своим радиальным сечением (профилем), которое показанона рис.
4.40(в). Вращение сечения вокруг начала координат на 360° дает в результате двумерный фильтр.Для профиля идеального ФНЧ точка, в которой происходит переход от значений H(u,v) = 1 к значениям H(u,v) = 0, называется частотой среза. В случае,показанном на рис.
4.40, например, частота среза равна D 0. Резкое обрезание частот, присущее идеальному ФНЧ, не может быть осуществлено в электронныхустройствах, однако может быть реализовано при компьютерных вычислениях.Эффекты, возникающие на цифровом изображении при использовании таких«нефизических» фильтров, обсуждаются ниже в данном разделе.Низкочастотные фильтры, представленные в этой главе, сравниваются исследованием их поведения как функций одинаковых частот среза.
Один из способов ввести эталонный набор положений частот среза состоит в том, чтобыопределить круги, в которых заключена заданная часть полной энергии изображения PT. Полная энергия определена как сумма компонент энергетического спектра расширенного изображения во всех точках (u,v), u = 0, 1, 2, …, P – 1и v = 0, 1, 2, …, Q – 1, т. е.P −1 Q −1PT = ∑ ∑ P (u,v ) ,(4.8-3)u =0 v =0где значения P(u,v) заданы формулой (4.6.-18).
Если ДПФ центрировано, то круградиусом D 0, расположенный в центре частотного прямоугольника, содержит αпроцентов энергии спектра, где⎡⎤α = 100 ⎢∑ ∑ P (u,v ) /PT ⎥ ,⎣u v⎦(4.8-4)причем суммирование в последней формуле идет по значениям (u,v), лежащимвнутри круга и на его границе.На рис. 4.41(а) и (б) показано модельное тестовое изображение и его спектр.Наложенные на спектр круги имеют радиусы 10, 30, 60, 160 и 460 пикселей.В этих кругах заключено α процентов энергии изображения, α = 87,0; 93,1; 95,7;97,8 и 99,2 % соответственно. Спектр убывает весьма быстро; 87 % полной энергии заключено в относительно малом круге радиуса 10.322Глава 4.
Фильтрация в частотной областиа бРис. 4.41. (а) Тестовое изображение размерами 688×688 пикселей и (б) его Фурьеспектр. Спектр вдвое больше размеров изображения из-за расширения, но показан в половинном размере, чтобы уместиться на странице.Наложенные на полноразмерный спектр изображения круги имеют радиусы 10, 30, 60, 160 и 460. Эти круги заключают в себе соответственно87,0; 93,1; 95,7; 97,8 и 99,2 % энергии расширенного изображенияПример 4.16. Сглаживание изображения при помощи идеального ФНЧ.■ На рис. 4.42 показаны результаты применения идеального ФНЧ с частотами среза, равными значениям радиусов на рис. 4.41(б). Результат на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
