Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 73
Текст из файла (страница 73)
4.42(б)практически совершенно бесполезен, если только задача сглаживания не состоит в устранении всех деталей изображения, за исключением пятен, представляющих большие объекты. Очень сильное размывание на этом изображенииясно указывает, что бόльшая часть информации о резких деталях на картинкесодержится в 13 % энергии, отсеченной фильтром. По мере увеличения радиусафильтра все меньшая и меньшая часть энергии подлежит отсечению, что выражается в уменьшении степени размывания. Отметим, что для изображенийна рис. 4.42(в)—(д) характерен «звон», структура которого становится тоньшепо мере уменьшения энергии, отсекаемой высокочастотной составляющей.Звон хорошо заметен даже на изображении (рис. 4.42(д)), из которого удаленолишь 2 % полной энергии.
Обсуждаемое явление, как будет вскоре объяснено,характерно для идеальных фильтров. Наконец, тщательное рассмотрение результата для α = 99,2 % (рис. 4.42(е)) демонстрирует сравнительно небольшоеразмывание контуров и областей, содержащих шум, при том что в остальномэто изображение весьма близко к оригиналу. Это показывает, что в рассматриваемом частном случае 0,8 % энергии верхней части спектра содержат не оченьбольшое количество контурной информации.Из приведенного примера понятно, что идеальные фильтры низких частотне слишком удобны.
Однако полезно изучить их поведение в качестве частиизложения концепций фильтрации. Кроме того, как показывает дальнейшееобсуждение, попытки объяснить в пространственной области свойство звонаидеального ФНЧ позволяют достичь некоторого дополнительного понимания■вопросов фильтрации.4.8. Частотные фильтры сглаживания изображения323а бв гд еРис. 4.42. (а) Исходное изображение. (б)—(е) Результаты фильтрации идеальными ФНЧ с частотой среза 10, 30, 60, 160 и 460, как показанона рис. 4.41(б).
Фильтры отсекают соответственно 13; 6,9; 4,3; 2,2и 0,8 % полной энергии спектра324Глава 4. Фильтрация в частотной областиа бРис. 4.43. (а) Представление идеального ФНЧ с частотой среза 5 и размерами1000×1000 в пространственной области. (б) Профиль яркости вдольгоризонтальной линии, проходящей через центр изображенияВозникающие при использовании идеального ФНЧ эффекты размыванияи звона могут быть объяснены при помощи теоремы о свертке. На рис.
4.43(а) показано пространственное представление h(x, y) идеального ФНЧ радиуса 5, а нарис. 4.43(б) — профиль яркости вдоль строки, проходящей через центр изображения (а). Поскольку сечение идеального ФНЧ в частотной области выглядит какпрямоугольный фильтр, нет ничего неожиданного в том, что профиль соответствующего пространственного фильтра выглядит как sinc-функция. Фильтрация в пространственной области производится сверткой h(x, y) с изображением.Представим каждый пиксель изображения как дискретный импульс, интенсивность которого пропорциональна яркости изображения в этой точке. Сверткаsinc-функции с импульсом копирует sinc в местоположение импульса.
Центральный лепесток sinc-функции в основном определяет размывание, а остальные,меньшие лепестки в основном вызывают звон. Свертка sinc с каждым пикселемизображения дает отличную модель для объяснения поведения идеального ФНЧ.Поскольку «рассеяние» sinc-функции обратно пропорционально радиусу H(u,v),то чем больше D 0 (см. рис. 4.40(в)), тем больше пространственный sinc приближается к импульсу, который в пределе совсем не вызывает размывания при сверткес изображением. К настоящему моменту такой тип взаимно-обратного поведения уже выглядит совершенно обычным. В последующих двух разделах будетпоказано, что можно достичь размывания при весьма малом или даже полномотсутствии звона, что является важной целью низкочастотной фильтрации.4.8.2.
Фильтры низких частот БаттервортаПередаточная функция низкочастотного фильтра Баттерворта (ФНЧ Баттерворта) порядка n с частотой среза на расстоянии D 0 от начала координат задается формулойH (u,v ) =11 + [D (u,v ) / D0 ]2n,(4.8-5)4.8. Частотные фильтры сглаживания изображенияа б в325H (u, v)v 1,0H (u, v)n=1n=2n=3n=40,5uvuD0D(u, v)Рис. 4.44. (а) Трехмерный график передаточной функции низкочастотногофильтра Баттерворта. (б) Полутоновое изображение фильтра. (в) Радиальные профили фильтров с порядками от 1 до 4где расстояние D(u,v) задано формулой (4.8-2).
Трехмерный график, полутоновое изображение и радиальные профили передаточной функции ФНЧ Баттерворта представлены на рис. 4.44.Передаточная функция ФНЧ Баттерворта обычно записывается как квадратныйкорень из выражения (4.8-5). Однако мы интересуемся здесь в основном формойфильтра и поэтому исключили квадратный корень для удобств вычислений.В отличие от идеального ФНЧ, передаточная функция ФНЧ Баттерворта не имеет разрыва, который задает точную границу между пропускаемымии обрезаемыми частотами. Для фильтров с гладкой передаточной функциейобычной практикой является определение местоположения частот среза какмножества точек, в которых значения функции H(u,v) становятся меньше определенной доли ее максимального значения.
В выражении (4.8-5) такой точкойявляется D(u,v) = D 0, когда H(u,v) становится меньше 50 % максимального значения, равного 1.Пример 4.17. Сглаживание изображения низкочастотным фильтром Баттерворта.■ На рис. 4.45 представлены результаты применения к рис. 4.45(а) ФНЧ Баттерворта, заданного формулой (4.8-5) с n = 2. Значения частоты среза D 0 при этомравны значениям радиусов кругов, показанных на рис. 4.41(б). В отличие от представленных на рис. 4.42 результатов, относящихся к случаю идеального ФНЧ, мывидим здесь плавное уменьшение степени размывания при увеличении частотысреза. Более того, ни на одном из обработанных изображений при помощи этогоконкретного ФНЧ Баттерворта звон не заметен, что объясняется свойственнымфильтру гладким переходом между низкими и высокими частотами.■При использовании ФНЧ Баттерворта порядка 1 в пространственной области звона не возникает.
Обычно звон является незаметным для фильтровпорядка 2, но может стать значительным при использовании фильтров болеевысокого порядка. Рис. 4.46 дает возможность провести интересное сравнениепространственных представлений ФНЧ Баттерворта различных порядков (с частотой среза, равной 5 во всех случаях). На рисунке представлены также про-326Глава 4. Фильтрация в частотной областиа бв гд еРис. 4.45. (а) Исходное изображение. (б)—(е) Результаты фильтрации с использованием ФНЧ Баттерворта порядка 2 с частотами среза, показанными на рис. 4.41(б).
Сравните с рис. 4.424.8. Частотные фильтры сглаживания изображения327а б в гРис. 4.46. (а)—(г) Представления ФНЧ Баттерворта порядка 1, 2, 5 и 20 в пространственной области и соответствующие профили яркости, проходящие через центр фильтров (размеры изображений составляют1000×1000, а частота среза всех фильтров равна 5). Обратите внимание, как возрастает звон с увеличением порядка фильтрафили яркости соответствующих фильтров вдоль горизонтальной прямой, проходящей через их центр. Для получения этих фильтров была использована та жепроцедура, что и для фильтра на рис.
4.43(б). Для того чтобы облегчить визуальное сравнение, изображения на рис. 4.46 были дополнительно улучшены с помощью гамма-коррекции (см. (3.2-3)). ФНЧ Баттерворта порядка 1 (рис. 4.46(а))не имеет ни концентрических колец, ни отрицательных значений.
Фильтр порядка 2 имеет слабые кольца и небольшие отрицательные значения, но они выражены заведомо менее отчетливо, чем в случае идеального ФНЧ. Как показывают оставшиеся изображения, для ФНЧ Баттерворта более высоких порядковзвон (кольца и отрицательные значения) становится значительным. ФильтрБаттерворта порядка 20 демонстрирует характеристики, подобные идеальнымФНЧ (в пределе оба фильтра становятся идентичными).
Вообще ФНЧ Баттерворта порядка 2 дает пример хорошего компромисса между эффективностьюнизкочастотной фильтрации и приемлемым уровнем звона.4.8.3. Гауссовы фильтры низких частотДля одномерного случая гауссовы фильтры низких частот (ФНЧ Гаусса) быливведены в разделе 4.7.4, где они использовались для того, чтобы установить некоторые важные взаимосвязи между пространственной и частотной областями.В двумерном случае эти фильтры задаются формулойH (u,v ) = e − D2( u ,v )/ 2σ2,(4.8-6)где, как и в (4.8-2), D(u,v) — расстояние от центра частотного прямоугольника.В отличие от раздела 4.7.4, мы опускаем константу перед выражением, задающим фильтр, чтобы сохранить единообразие с остальными фильтрами, рассматриваемыми в настоящем разделе, максимальное значение которых равно 1.328Глава 4.
Фильтрация в частотной областиа б вH(u, v)H(u, v)v1,00,607D0 = 10D0 = 20D0 = 40D0 = 100vuD(u, v)uРис. 4.47.(а) Трехмерный график передаточной функции ФНЧ Гаусса. (б) Полутоновое изображение фильтра. (в) Радиальные профили фильтровдля различных значений D 0Как и раньше, σ задает размах вокруг центра. Обозначив σ = D 0, мы можем переписать выражение для фильтра, используя форму записи остальных фильтровданного раздела:H (u,v ) = e − D2(u ,v )/ 2 D02,(4.8-7)где D 0 — частота среза.
Когда D(u,v) = D 0, значение передаточной функции ФНЧГаусса падает до 0,607 от своего максимального значения.Как показано в табл. 4.3, обратное Фурье-преобразование от ФНЧ Гаусса также есть гауссова функция. Это означает, что пространственный гауссов фильтр, полученный вычислением обратного ДПФ согласно выражениям(4.8-6) или (4.8-7), не будет создавать звона. Трехмерный график ФНЧ Гаусса,его полутоновое изображение и радиальные профили передаточной функцииФНЧ Гаусса представлены на рис. 4.47; вместе с табл. 4.4 они подводят итог обсуждению низкочастотных фильтров в данном разделе.Таблица 4.4. Низкочастотные фильтры.
D 0 есть частота среза, а n — порядокфильтра БаттервортаИдеальный⎧1 при D (u,v ) ≤ D0H (u,v ) = ⎨⎩0 при D (u,v ) > D0БаттервортаH (u,v ) =Гауссов11 + [D (u,v ) / D0 ]2n22H (u,v ) = e − D (u,v )/2D0Пример 4.18. Сглаживание изображения низкочастотным гауссовым фильтром.■ На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
