Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 76
Текст из файла (страница 76)
4.58(б) и 3.38(д)показывает, что результаты, полученные в частотной и пространственной областях, визуально идентичны. Обратим внимание, что оба приведенных результата соответствуют маске лапласиана на рис. 3.37(б), имеющей в центре коэффициент –8 (задача 4.26).■4.9.5. Нерезкое маскирование, высокочастотная фильтрацияс подъемом частотной характеристики, фильтрацияс усилением высоких частотВ этом разделе будут рассматриваться способы реализации в частотной областиметодов нерезкого маскирования и повышения резкости, использующих филь-340Глава 4.
Фильтрация в частотной областиа бРис. 4.58. (а) Исходное размытое изображение. (б) Улучшение изображения использованием лапласиана в частотной области. Сравнитес рис. 3.38(д)трацию с подъемом высоких частот, пространственная реализация которыхобсуждалась в разделе 3.6.3.
Маска, задаваемая выражением (3.6-8), с помощьюсредств частотной области записывается в видесg mask ( x, y ) = f ( x, y ) − fLP ( x, y )(4.9-10)fLP ( x, y ) = F −1[H LP (u,v )F (u,v )] ,(4.9-11)где HLP(u,v) является фильтром низких частот, а F(u,v) — Фурье-преобразованиемот f(x, y). Здесь fLP(x, y) является сглаженным изображением, аналогом f ( x, y )в (3.6-8). Тогда, как и в (3.6-9),g ( x, y ) = f ( x, y ) + kg mask ( x, y ) .(4.9-12)При k = 1 данное выражение задает нерезкое маскирование, а при k > 1 —фильтрацию с усилением высоких частот.
Используя предыдущие результаты,(4.9-12) можно выразить полностью в терминах частотной области, используяфильтр низких частот:g ( x, y ) = F −1 {[1 + k [1 − H LP (u,v )]] F (u,v )} .(4.9-13)Используя (4.9-1), можно выразить результат в терминах фильтра высоких частот:g ( x, y ) = F −1 {[1 + kH HP (u,v )] F (u,v )} .(4.9-14)В данном выражении внутри квадратных скобок содержится так называемыйфильтр усиления высоких частот.
Фильтр высоких частот, как отмечалось ранее,устанавливает постоянную составляющую в ноль, тем самым снижая среднююяркость фильтрованного изображения до 0. Фильтр усиления высоких частотлишен этого недостатка, поскольку в нем к значению фильтра высоких частот4.9. Повышения резкости изображений частотными фильтрами341прибавляется 1. Константа k управляет пропорцией вклада высоких частотв финальный результат. Несколько более общей формулировкой фильтра усиления высоких частот является следующее выражение:g ( x, y ) = F −1 {[k1 + k2 ∗ H HP (u, v )] F (u,v )} ,(4.9-15)где k1 ≥ 0 задает общую яркость (смещение относительно начала координат,см.
рис. 4.31(в)), а k2 ≥ 0 управляет вкладом высоких частот.Пример 4.21. Улучшение изображения при помощи фильтрации с усилением высоких частот.■ На рис 4.59(а) представлен рентгеновский снимок грудной клетки размерами416×596 пикселей с узким диапазоном изменения яркости. Целью данного примера является улучшение изображения при помощи фильтрации с усилением высоких частот. Поскольку рентгеновские лучи не могут быть сфокусированы аналогично фокусировке световых лучей при помощи линз, то рентгеновские снимки,как правило, выглядят слегка расплывчато.
Поскольку в нашем конкретном случае яркость изображения в целом сдвинута в темную область, мы также используем связанную с этим возможность и приведем пример того, как обработка в пространственной области может дополнять обработку в частотную области.Рис. 4.59(б) отображает результат высокочастотной фильтрации с использованием гауссова фильтра с частотой среза D 0 = 40 (приблизительно равной 5 %размера короткой стороны расширенного изображения.
Как и можно было ожидать, полученное после фильтрации изображение маловыразительно, на немлишь едва видны основные контуры оригинала. Изображение на рис. 4.59(в)демонстрирует преимущества фильтрации с усилением высоких частот, гдеиспользовалось выражение (4.9-14) с k1 = 0,5 и k2 = 0,75.
Хотя изображение попрежнему темное, общий яркостной тон, обусловленный низкочастотными составляющими, сохранен.Возникновение артефактов, таких как звон, на медицинских изображениях недопустимо. Поэтому правильным будет не допускать использования фильтров,имеющих потенциальные возможности появления артефактов на обработанномизображении. Поскольку гауссовы фильтры в пространственной и частотной областях являются Фурье-парой, эти фильтры дают результаты сглаживания, свободные от артефактов.Как обсуждалось в разделе 3.3.1, изображение, характеризующееся узкимдиапазоном яркости, является идеальным кандидатом для обработки с помощью метода эквализации гистограммы.
Как показывает рис. 4.59(г), применение этого метода оказалось целесообразным для дальнейшего улучшениянашего изображения. Обратите внимание на проявление костной структурыи других деталей, которые просто не видны на других трех изображениях. Шумна результирующем изображении немного увеличился, но это типично длярентгеновских изображений при растяжении диапазона их яркостей. Результат,полученный при совместном использовании фильтрации с усилением высокихчастот и эквализации гистограммы, превосходит по качеству тот, который может быть получен при использовании каждого из методов по отдельности.■342Глава 4.
Фильтрация в частотной областиа бв гРис. 4.59.(а) Рентгеновский снимок грудной клетки. (б) Результат высокочастотной фильтрации с использованием гауссова фильтра. (в) Результатфильтрации с усилением высоких частот при использовании того жефильтра. (г) Результат применения метода эквализации гистограммык (в). (Исходное изображение предоставил д-р Томас Р. Гест, отделениеанатомии медицинского факультета университета шт. Мичиган)4.9.6.
Гомоморфная фильтрацияМодель формирования изображения, основанная на освещении—отражении,с которой мы познакомились в разделе 2.3.4, может быть использована дляразвития еще одного метода обработки в частотной области, направленногона улучшение изображения путем одновременного сжатия яркостного диапазона и усиления контраста. Согласно приводимому там обсуждению, изображение f(x, y) может быть представлено в виде произведения его освещенности i(x, y)и коэффициента отражения r(x, y):f ( x, y ) = i ( x, y )r ( x, y ) .(4.9-16)Данное равенство не дает непосредственной возможности работать с частотными составляющими освещенности и коэффициента отражения по отдельности,поскольку преобразование Фурье произведения не равно произведению преобразований Фурье сомножителей; другими словами,F { f ( x, y )} ≠ F {i ( x, y )} F {r ( x, y )} .(4.9-17)Рассмотрим, однако, величинуz ( x, y ) = ln f ( x, y ) = ln i ( x, y ) + ln r ( x, y ) .(4.9-18)4.9.
Повышения резкости изображений частотными фильтрами343Если изображение f(x, y) с яркостями в диапазоне [0, L – 1] имеет нулевые значения, то к значению каждого элемента следует добавить 1, чтобы предотвратитьпоявление ln(0). По окончании процесса фильтрации данную единицу следуетвычесть из результата.ТогдаF {z ( x, y )} = F {ln f ( x, y )} = F {ln i ( x, y )} + F {ln r ( x, y )}(4.9-19)Z (u,v ) = Fi (u,v ) + Fr (u,v ) ,(4.9-20)илигде Fi(u,v) и Fr(u,v) — Фурье-образы функций ln i(x,y) и ln r(x,y) соответственно.Функцию Z(u,v) можно подвергнуть процедуре фильтрации с помощьюфильтра H(u,v), что даст Фурье-образ результата S(u,v):S (u,v ) = H (u,v )Z (u,v ) = H (u,v )Fi (u,v ) + H (u,v )Fr (u,v ) .(4.9-21)В пространственной области получим фильтрованное изображение:s ( x, y ) = F −1 {S (u,v )} = F −1 {H (u,v )Fi (u,v )} + F −1 {H (u,v )Fr (u,v )} .(4.9-22)Если обозначитьиi ′( x, y ) = F −1 {H (u,v )Fi (u,v )}(4.9-23)r ′( x, y ) = F −1 {H (u,v )Fr (u,v )} ,(4.9-24)то равенство (4.9-22) можно выразить в видеs ( x, y ) = i ′( x, y ) + r ′( x, y ) .(4.9-25)Наконец, поскольку функция z(x,y) была сформирована как натуральный логарифм исходного изображения f(x,y), то обратная операция (потенцирование)результата фильтрации позволяет получить искомое обработанное изображение, обозначаемое g(x,y):g ( x, y ) = e s ( x ,y ) = ei ′( x ,y ) ⋅ e r ′( x ,y ) = i0 ( x, y )r0 ( x, y ) ,(4.9-26)i0 ( x, y ) = ei ′( x ,y )(4.9-27)r0 ( x, y ) = e r ′( x ,y )(4.9-28))гдеипредставляют собой освещенность и коэффициент отражения результирующего (обработанного) изображения.Только что описанный подход к фильтрации схематически представленна рис.
4.60. Данный метод является частным случаем класса систем, называемых гомоморфными системами. В нашем случае ключевым моментом рассматриваемого подхода является разложение изображения на составляющие, связанные с освещенностью и коэффициентом отражения, в виде (4.9-20). После этого344Глава 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
