Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Как и ранее, мы видим, что фильтр Баттервортазанимает промежуточное положение между резкостью идеального фильтраи сильной сглаженностью гауссова фильтра. Рис. 4.53, обсуждаемый в следующем разделе, дает представление о поведении этих фильтров в пространственной области. Пространственные фильтры были получены и отображены тем жеспособом, что и рис. 4.43 и 4.46.4.9.1. Идеальные фильтры высоких частотДвумерный идеальный фильтр высоких частот (идеальный ФВЧ) определяетсяформулой⎧0 при D (u,v ) ≤ D0 ;H (u,v ) = ⎨⎩1 при D (u,v ) > D0 ,(4.9-2)где D 0 — частота среза, а величина D(u,v) задается формулой (4.8-2). Это прямо следует из (4.8-1) и (4.9-1). Как и подразумевалось, действие идеального ФВЧпротивоположно действию идеального ФНЧ в том смысле, что он обнуляет все4.9.
Повышения резкости изображений частотными фильтрами335частоты, попадающие внутрь круга радиуса D 0, одновременно пропуская безослабления все частоты, лежащие вне круга. Как и идеальный низкочастотныйфильтр, идеальный ФВЧ не может быть реализован при помощи электронныхустройств. Однако мы рассмотрим его для полноты, а также поскольку его свойства могут быть использованы для объяснений различных явлений, таких какзвон в пространственной области. Наше обсуждение будет кратким.Исходя из соотношения (4.9-1), связывающего фильтры высоких и низкихчастот, мы вправе ожидать, что идеальные ФВЧ обладают такими же свойствами в отношении звона, как и идеальные ФНЧ.
Это ясно демонстрирует рис. 4.54,который состоит из результатов обработки исходного изображения, представленного на рис. 4.41(а), при помощи различных идеальных ФВЧ со значениямичастоты среза D 0 = 30, 60 и 160 пикселей соответственно. Звон на рис. 4.54(а) настолько велик, что он привел к деформированию и утолщению границ объектов(посмотрите, например, на большую букву «а»). Границы трех верхних круговпочти не видны, поскольку их контраст мал по сравнению с контрастами другихобъектов на изображении (яркость этих трех объектов гораздо ближе к яркостифона, что приводит к меньшей величине разрывов). Если посмотреть на размер «пятна» на изображении идеального ФВЧ (см.
рис. 4.53(а)) и вспомнить,что фильтрация в пространственной области есть свертка пространственногофильтра с изображением, то это поможет объяснить, почему маленькие объекты и линии выглядят как почти целиком белые. Посмотрите, в частности,на три маленьких квадрата в верхнем ряду и на тонкие вертикальные полосына рис. 4.54(а). Ситуация до некоторой степени улучшается в случае D 0 = 60.Деформация контуров все еще достаточно очевидна, но теперь мы начинаемвидеть фильтрацию на маленьких объектах.
Уже хорошо знакомое обратное отношение между шириной фильтра в частотной и пространственной области говорит о том, что размер пятна этого фильтра меньше, чем размер пятна фильтрас D 0 = 30. Результат для D 0 = 160 близок к тому, как должен выглядеть результатвысокочастотной фильтрации. Контуры здесь гораздо более ровные и меньшеискажены, и маленькие объекты отфильтрованы надлежащим образом. Постоянный фон на всех изображениях, обработанных высокочастотными фильтрами, конечно, равен нулю, поскольку высокочастотная фильтрация аналогичнадифференцированию в пространственной области.а б вРис. 4.54. Результаты высокочастотной фильтрации изображения на рис.
4.41(а);использовался идеальный ФВЧ с D 0 = 30, 60 и 160336Глава 4. Фильтрация в частотной области4.9.2. Фильтры высоких частот БаттервортаПередаточная функция двумерного высокочастотного фильтра Баттерворта(ФВЧ Баттерворта) порядка n с частотой среза D 0 задается формулойH (u,v ) =11 + [D0 /D (u,v )]2n,(4.9-3)где расстояние D(u,v) вычисляется согласно (4.8-2). Это выражение прямо следует из (4.8-5) и (4.9-1). На рис.
4.52 в среднем ряду представлено изображениеи профиль передаточной функции ФВЧ Баттерворта.Как и в случае низкочастотных фильтров, мы вправе ожидать от высокочастотных фильтров Баттерворта более гладкого поведения по сравнению с идеальными ФВЧ. На рис. 4.55 показаны результаты применения ФНЧ Баттерворта порядка 2 с частотами среза D 0, принимающими те же значения, что и нарис. 4.54. Искажения границ объектов существенно меньше, чем на рис. 4.54,даже для наименьшего значения частоты среза. Поскольку размеры центрального пятна для идеального ФВЧ и ФВЧ Баттерворта близки (см. рис.
4.53(а)и (б)), результаты фильтрации малых объектов обоими фильтрами приводитк сопоставимым результатам. Переход к более высоким значениям частоты среза для ФВЧ Баттерворта совершается гораздо более плавно.4.9.3. Гауссовы фильтры высоких частотПередаточная функция гауссова фильтра высоких частот (ФВЧ Гаусса) с частотой среза, расположенной на расстоянии D 0 от центра частотного прямоугольника, задается формулой22H (u,v ) = 1 − e − D (u,v )/2 D0 ,(4.9-4)где расстояние D(u,v) вычисляется согласно (4.8-2).
Это выражение прямо следует из (4.8-7) и (4.9-1). На рис. 4.52 в нижнем ряду представлены трехмерныйграфик, изображение и профиль передаточной функции ФНЧ Гаусса. Придера б вРис. 4.55. Результаты высокочастотной фильтрации изображения на рис. 4.41(а)с использованием ФВЧ Баттерворта порядка 2 с D 0 = 30, 60 и 160, чтосоответствует кругам на рис. 4.41(б).
Данные результаты существенноболее гладкие, чем полученные с применением идеального ФВЧ4.9. Повышения резкости изображений частотными фильтрами337а б вРис. 4.56. Результаты высокочастотной фильтрации изображения на рис. 4.41(а)с использованием ФВЧ Гаусса с D 0 = 30, 60 и 160, что соответствуеткругам на рис. 4.41(б). Сравните с рис.
4.54 и 4.55живаясь того же формата, как при обсуждении ФНЧ Баттерворта, мы приводимна рис. 4.56 заслуживающие сравнения результаты, посчитанные с использованием ФНЧ Гаусса. Как и следовало ожидать, полученные изображения являются более гладкими, чем при использовании предыдущих двух фильтров. Гауссовфильтр дает хорошее качество фильтрации даже для маленьких объектов и тонких полос. В табл.
4.5 приведена краткая сводка высокочастотных фильтров,рассмотренных в настоящем разделе.Таблица 4.5. Высокочастотные фильтры. D 0 есть частота среза, а n — порядокфильтра БаттервортаИдеальный⎧0 при D (u,v ) ≤ D0H (u,v ) = ⎨⎩1 при D (u,v ) > D0БаттервортаH (u,v ) =Гауссов11 + [D0 /D (u,v )]2n22H (u,v ) = 1 − e − D (u,v )/2D0Пример 4.19. Применение высокочастотной фильтрации и срезки для повышения контраста изображений.■ На рис. 4.57(а) представлено изображение отпечатка большого пальца размерами 1026×962 пикселей с хорошо заметными пятнами грязи (обычная проблема). Важным шагом процесса автоматического распознавания отпечатковявляется улучшение отпечатков линий папиллярного узора и устранение загрязнения.
Улучшение полезно и для визуальной интерпретации отпечаткаэкспертом. В данном примере рассматривается применение высокочастотнойфильтрации для улучшения отпечатков линий и уменьшения эффекта загрязнения. Улучшение отпечатков линий достигается использованием того факта,что они в основном содержат высокие частоты, которые остаются неизменными в результате высокочастотной фильтрации. С другой стороны, ФВЧ снижаетнизкочастотные компоненты, которые отвечают за медленные изменения яркости, такие как фон и грязь.
Тем самым улучшение достигается за счет снижениявлияния всех особенностей, кроме тех, которые передаются высокими частотами и представляют интерес в данном случае.338Глава 4. Фильтрация в частотной областиа б вРис. 4.57.(а) Изображение отпечатка большого пальца. (б) Результат высокочастотной фильтрации (а). (в) Результат порогового разделения (б).(Исходное изображение предоставлено Национальным институтомстандартов и технологий США)Изображение на рис.
4.57(б) — результат применения фильтра высоких частот Баттерворта порядка 4 с частотой среза равной 50. Как и следовало ожидать, в результате высокочастотной фильтрации яркость изображения упала,поскольку постоянная составляющая яркости была уменьшена до 0. Можносделать вывод, что после высокочастотной фильтрации на изображении доминируют темные тона, что требует дополнительной обработки для улучшенияинтересующих деталей. Простым приемом может являться пороговая срезкафильтрованного изображения. Результат присвоения элементам с отрицательными величинами значения черного, а элементам с положительными величинами — белого цвета представлен на рис.
4.57(в). Отметим, насколько ясно сталивидны папиллярные линии и значительно уменьшился эффект загрязнения.Фактически линии, которые в верхней правой части изображения рис. 4.57(а)■были едва заметны, на рис. 4.57(в) стали прекрасно видны.Значение D 0 = 50 составляет приблизительно 2,5 % размера короткой сторонырасширенного изображения. Рекомендуется выбирать D 0 близко к началу координат, чтобы низкие частоты подавлялись, но не убирались полностью.
Диапазон от 2 % до 5 % размера короткой стороны изображения можно считать хорошейотправной точкой.4.9.4. Лапласиан в частотной областиВ разделе 3.6.2 лапласиан в пространственной области уже применялся дляулучшения изображения. Здесь мы вернемся к лапласиану еще раз и покажем,что при использовании частотных методов он дает эквивалентные результаты.Можно показать (задача 4.26), что лапласиан может быть реализован в частотной области при помощи фильтраH (u,v ) = −4 π2 (u 2 + v 2 ) .(4.9-5)Используя функцию расстояния от центра частотной области D(u,v), определенную выражением (4.8-2), можно переписать (4.9-5) в видеH (u,v ) = −4 π2 [(u − P /2)2 + (v −Q/2)2 ] = −4 π2 D 2 (u,v ) .(4.9-6)4.9. Повышения резкости изображений частотными фильтрами339Тогда лапласиан изображения будет выглядеть как∇2 f ( x, y ) = F −1 {H (u,v )F (u,v )} ,(4.9-7)где F(u,v) есть ДПФ от f(x, y).
Как объяснялось в разделе 3.6.2, улучшение изображения достигается использованием следующего выражения:g ( x, y ) = f ( x, y ) + c∇2 f ( x, y ) .(4.9-8)Здесь c = –1, поскольку H(u,v) отрицательно. В главе 3 f(x, y) и ∇2 f(x, y) имелисравнимые по величине значения. Однако вычисление ∇2 f(x, y) согласно выражению (4.9-7) вносит масштабный коэффициент обратного ДПФ, которыйможет на несколько порядков превышать максимальное значение f.
Значит,необходимо вернуть разницу между f и ее лапласианом в сравнимые диапазоны. Простейший путь решения этой проблемы состоит в нормировке значенийf(x, y) в диапазон [0, 1] перед вычислением ДПФ и делением лапласиана ∇2 f(x, y)на свое максимальное значение, что приведет его в приблизительный диапазон[–1, 1] (напомним, что лапласиан имеет также и отрицательные значения). После этого уже можно применять выражение (4.9-8).В частотной области выражение (4.9-8) записывается в видеg ( x, y ) = F −1 {F (u,v ) − H (u,v )F (u,v )} == F −1 {[1 − H (u,v )]F (u,v )} =−1(4.9-9)= F {[1 + 4 π D (u,v )]F (u,v )}.22Хотя этот результат выглядит элегантно, тем не менее ему присущи такие жесамые трудности с масштабом, как были только что рассмотрены, осложняющиеся тем, что нормировочный коэффициент не так легко вычислить. По этимпричинам выражение (4.9-8) является предпочтительным способом реализациив частотной области при вычислении ∇2 f(x, y) согласно (4.9-7) и масштабировании с помощью подхода, изложенного в предыдущем параграфе.Пример 4.20.
Повышение резкости изображения с помощью лапласианав частотной области.■ Изображение на рис. 4.58(а) является тем же, что и на рис. 3.38(а), рис. 4.58(б)демонстрирует результат применения выражения (4.9-8), в котором лапласианвычислялся в частотной области по формуле (4.9-7). Масштабирование было таким, как описано в контексте этого выражения. Сравнение рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
