Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В интерактивном случае преимущества работы с действительными координатами ДПФ (в отличиеот необходимости «транслировать» расширенные значения в действительные)перевешивает все ошибки наложения (перехлеста), которые могут возникнутьиз-за отсутствия расширения в процессе фильтрации. Более того, как будет показано в разделе 5.4.4, даже более мощные методы узкополосной фильтрации,чем рассмотренные здесь, основаны на нерасширенном ДПФ. Касательно вопроса изменения ДПФ в зависимости от параметров расширения см. задачу 4.22.Пример 4.23.
Подавление картины муара при помощи узкополосной фильтрации.■ На рис. 4.64(а) представлено изображение сканированного газетного снимка, содержащее заметный муар, выглядящий как картина двумерного синуса; на рис. 4.64(б) показан его спектр. Из табл. 4.3 известно, что Фурьепреобразованием чистого синуса, являющегося периодической функцией,будет пара симметрично сопряженных импульсов.
Симметричные «импульсоподобные» всплески на рис. 4.64(б) являются результатом почти периодичностикартины муара. Эти всплески можно подавить использованием узкополоснойфильтрации.На рис. 4.64(б) представлен результат умножения ДПФ (рис. 4.64(а)) на узкополосный режекторный фильтр Баттерворта с D 0 = 3 и n = 4 для всех пар вырезов.Значение радиуса было выбрано (на основе визуального анализа спектра) так,чтобы полностью закрыть всплески энергии, а значение n выбиралось таким,чтобы обеспечить вырезам умеренно резкие переходы. Координаты центров вырезов находились интерактивно по спектру. На рис. 4.64(г) показан окончательный результат, полученный с подготовленным таким способом фильтром и выполненный согласно процедуре, изложенной в разделе 4.7.3.
Улучшение заметно,учитывая при этом невысокое разрешение и незначительное ухудшение деталей■исходного изображения.Пример 4.24. Применение узкополосной фильтрации для улучшения изображения колец Сатурна, полученного зондом «Кассини».■ На рис. 4.65(а) представлен снимок части колец, окружающих планету Сатурн.Изображение было получено зондом «Кассини» — первым космическим аппаратом, достигшим орбиты планеты. Вертикальная синусоидальная картина4.10. Избирательная фильтрация349а бв гРис.
4.64. (а) Изображение сканированного газетного снимка с муаром.(б) Спектр. (в) Фурье-преобразование, умноженное на узкополосныйрежекторный фильтр Баттерворта. (г) Фильтрованное изображениевозникла из-за помехи переменного тока, которая наложилась на видеосигналс камеры непосредственно перед его оцифровкой. Это явилось неожиданнойпроблемой, испортившей несколько изображений программы полета.
К счастью, этот тип помехи сравнительно легко скорректировать во время постобработки. Одним из подходов является использование узкополосной фильтрации.350Глава 4. Фильтрация в частотной областиа бв гРис. 4.65.(а) Изображение (674×674 пикселя) колец Сатурна с почти периодической помехой. (б) Спектр. Всплески энергии на вертикальной осивблизи начала координат соответствуют картине помехи. (в) Вертикальный узкополосный режекторный фильтр. (г) Результат фильтрации. Тонкая черная граница на рисунке (в) добавлена для ясности;она не является частью данных. (Исходное изображение предоставилд-р Р.
А. Уэст, NASA/JPLНа рис. 4.65(б) показан Фурье-спектр. Тщательный анализ вертикальноголуча показал, что имеется серия маленьких всплесков энергии, которые соответствуют почти синусоидальной помехе. Простой подход состоит в использовании фильтра в виде узкого прямоугольного выреза от низшего по частотевсплеска и до конца вертикального луча. Такой фильтр показан на рис. 4.65(в);белый цвет представляет 1, а черный — 0. Рис.
4.65(б) отображает результатфильтрации искаженного изображения при помощи такого фильтра. Данныйрезультат демонстрирует значительное улучшение по сравнению с исходнымизображением.Используя обратную версию того же фильтра — узкополосный пропускающий фильтр (рис. 4.66(а)), были выделены частоты в вертикальном луче. Затем4.11. Вопросы реализации351а бРис. 4.66. (а) Результат (спектр), полученный применением узкополосного пропускающего фильтра к ДПФ изображения рис. 4.65(а). (б) Пространственная картина, полученная вычислением обратного ДПФ от (а)обратным ДПФ выделенных таким способом частот была получена сама пространственная картина искажений (рис.
4.66(б)).■4.11. Âîïðîñû ðåàëèçàöèèДо сих пор внимание было сосредоточено на теоретических концепциях и примерах фильтрации в частотной области. К этому моменту уже должно бытьясно одно: вычислительные процедуры в этой области обработки изображенийне являются тривиальными. Таким образом, важно получить хотя бы начальное представление о методах, с помощью которых вычисление преобразованияФурье может быть упрощено и ускорено. Настоящий раздел касается именнотаких вопросов.4.11.1. Разделимость двумерного ДПФКак отмечалось в табл. 4.2, двумерное ДПФ является разделимым на два одномерных преобразования. Можно записать выражение (4.5-15) в видеM −1N −1M −1x =0y =0x =0F (u,v ) = ∑ e −i 2 πux/M ∑ f ( x, y )e −i 2 πvy/N = ∑ F ( x,v )e −i 2 πux/M ,(4.11-1)гдеN −1F ( x,v ) = ∑ f ( x, y )e −i 2 πvy/N .(4.11-2)y =0Видно, что для каждого значения x функция F(x,v) (v = 0, 1, 2, …, N – 1) являетсяпросто одномерным ДПФ соответствующей строки двумерной функции f(x, y),(y = 0, 1, 2, …, N – 1).
Варьируя в (4.11-2) x от 0 до M – 1, мы получаем набор ДПФ352Глава 4. Фильтрация в частотной областидля всех строк f(x, y). Вычисления согласно (4.11-1) аналогично представляютсяодномерными ДПФ столбцов F(x, v).Таким образом, можно сделать вывод, что двумерное ДПФ от f(x, y) можетбыть получено вычислением одномерных преобразований по каждой строкеf(x, y), а затем вычислением одномерных преобразований по каждому столбцуполученного промежуточного результата. Это является важным упрощением, поскольку в каждый момент времени нам нужно иметь дело всего толькос одной переменной. Аналогичный подход применим и к вычислению двумерного обратного ДПФ при помощи одномерного обратного ДПФ.
Более того, какбудет показано в следующем разделе, одномерное обратное ДПФ может бытьвычислено по алгоритму прямого ДПФ.Можно также выразить (4.11-1) и (4.11-2) в виде одномерного преобразованияпо столбцам, за которым следует преобразование по строкам. Конечный результат будет тем же самым.4.11.2.
Вычисление обратного ДПФ при помощи алгоритмапрямого ДПФВзяв операцию комплексного сопряжения от обеих частей равенства (4.5-16)и умножив результат на MN, получимM −1 N −1MNf *( x, y ) = ∑ ∑ F *(u,v )e −i 2 π(ux/M +vy/N ) .(4.11-3)u =0 v =0Умножение на MN обусловлено выбранной формой выражений (4.5-15) и (4.5-16).В случае иного распределения констант между прямым и обратным преобразованиями потребуется другая схема умножения на константу.Правая часть этого преобразования есть не что иное, как ДПФ от F *(u,v). Таким образом, (4.11-3) показывает, что подставив F *(u,v) в алгоритм вычислениядвумерного прямого преобразования Фурье, на выходе будем иметь MN f *(x, y).Вычислив комплексно сопряженные значения и разделив их на MN, получимв результате f(x, y), что является обратным ДПФ от F(u,v).Вычисление двумерного обратного преобразования при помощи алгоритма двумерного прямого ДПФ, основанного на последовательности одномерных преобразований (как в предыдущем разделе) является источником частыхошибок, поскольку требуются операции комплексного сопряжения и умножения на константу, ни одна их которых не применяется в алгоритме вычисления прямого преобразования.
Необходимо помнить тот основной принцип, чтоF *(u,v) просто подается на вход любого имеющегося алгоритма прямого ДПФ,результатом которого будет MN f *(x, y). Все, что остается сделать с этим результатом, чтобы получить f(x, y), — взять комплексно сопряженные значения и разделить их на константу MN. Конечно, в случае если f(x, y) — действительная, тоf *(x, y) = f(x, y).4.11. Вопросы реализации3534.11.3. Быстрое преобразование ФурьеРабота в частотной области будет не слишком удобной, если вычислять операции (4.5-15) и (4.5-16) прямым образом.
На выполнение этих преобразований«в лоб» требуется порядка (MN)2 операций умножения и сложения. Для изображений среднего размера (скажем, 1024×1024 пикселя) это означает необходимость выполнения около 1012 умножений и сложений только для вычисления ДПФ, что не учитывает необходимости вычисления экспоненты, котораяможет быть вычислена один раз и помещена в таблицу. Такой объем вычислений затруднителен даже для суперкомпьютера. Без быстрого преобразованияФурье (БПФ), которое сокращает число необходимых вычислений до порядкаMN log2 MN операций умножения и сложения, можно с уверенностью сказать,что материал, изложенный в настоящей главе, мало пригоден к практическому использованию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
