Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 81
Текст из файла (страница 81)
следующее изображение слева). Как Вы думаете, изменится ли результат,если вместо этого мы окружим изображение состоящим из нулей бордюром(см. изображение справа), не изменив общего числа нулей? Ответ объясните.4.22 Два представленных Фурье-спектра являются спектрами одногои того же изображения. Спектр слева соответствует исходному изображению,а спектр справа получен после расширения изображения нулями.
Объяснитезначительный рост уровня сигнала вдоль вертикальной и горизонтальной осейв правом спектре.4.23 Как указано в табл. 4.2, F(0,0) — постоянная составляющая ДПФ —пропорциональна величине средней яркости соответствующего пространственного изображения. Пусть изображение имеет размеры M×N и оно расши-362Глава 4. Фильтрация в частотной областирено нулями до размера P×Q, где P и Q заданы выражениями (4.6-31) и (4.6-32).Пусть Fp(0,0) — постоянная составляющая ДПФ расширенного изображения. (а) Каково соотношение средних яркостей исходного и расширенногоизображений?(б) Верно ли равенство Fp(0,0) = F(0,0)? Подтвердите свой ответ математически.4.24 Докажите свойства периодичности (строка 8 в табл.
4.2).4.25 Следующие задачи связаны с табл. 4.3. (а) Докажите справедливость дискретной теоремы о свертке (строка 6)для одномерного случая.(б) Повторите (а) для двумерного случая.(в) Докажите страведливость выражения в строке 9.(г) Докажите справедливость выражения в строке 13.(Замечание: задачи 4.18, 4.19 и 4.31 также связаны с табл. 4.3.)4.26 (а) Покажите, что лапласиан непрерывной функции f(t,z) непрерывных переменных t и z удовлетворяет следующему выражению Фурьепары (см.
уравнение (3.6-3) для определения лапласиана):∇2 f (t , z ) ⇔ −4 π2 (μ2 + v 2 )F (μ,v ) .(Совет: проанализируйте строку 12 табл. 4.3 и см. задачу 4.25(г).) (б) Предыдущее аналитическое выражение справедливо лишь длянепрерывных переменных. Однако оно может являться основой дляреализации лапласиана в дискретной частотной области при использовании фильтра M×NH (u,v ) = −4 π2 (u 2 + v 2 )для u = 0, 1, 2, …, M – 1 и v = 0, 1, 2, …, N – 1. Объясните, как следуетреализовывать такой фильтр.(в) Как видно из примера 4.20, результат действия лапласиана в частотной области аналогичен результату действия пространственной маски с центральным коэффициентом, равным –8. Объясните,по какой причине результат лапласиана в частотной области не похожна результат действия пространственной маски с центральным коэффициентом –4. См.
раздел 3.6.2 касательно лапласиана в пространственной области.4.27 Рассмотрите пространственную маску размерами 5×5, которая усредняет 12 ближайших соседей точки (x, y), но саму центральную точку не включает.(а) Найдите эквивалентный фильтр H(u,v) в частотной области.(б) Покажите, что результатом является низкочастотный фильтр.4.28 Основываясь на выражении (3.6-4), один из подходов вычисления производных второго порядка для двумерного дискретного случая заключается в вычислении разностей вида f(x+1, y) + f(x–1, y) – 2f(x, y) и f(x, y+1) + f(x, y–1) – 2f(x, y).(а) Найдите эквивалентный фильтр H(u,v) в частотной области.(б) Покажите, что результатом является высокочастотный фильтр.4.29 Найдите эквивалентный фильтр H(u,v), который реализует в частотной области пространственную операцию, выполняемую маской лапласианана рис. 3.37(б).Задачи3634.30 Подумайте о возможности применения Фурье-преобразования в вычислении (или частичном вычислении) модуля градиента (выражение (3.6-11))для дифференцирования изображения.
Если это возможно, предложите метод.Если нет, объясните почему.4.31 Непрерывный гауссов низкочастотный фильтр в непрерывной частотной области имеет передаточную функцию22H (μ,v ) = e −( μ +v ) .Покажите, что соответствующим фильтром в пространственной области являетсяh(t , z ) = πe − π(t2+z 2 ).4.32 Согласно (4.9-1) можно получить передаточную функцию высокочастотного фильтра HHP из передаточной функции низкочастотного фильтра припомощи выраженияH HP = 1 − H LP .Используя условия задачи 4.31, определите форму пространственной маски гауссового фильтра высоких частот.4.33 Рассмотрим представленные изображения. Изображение справа получено следующим образом. (а) Изображение слева умножено на (–1) x + y; (б)вычислено ДПФ; (в) взято комплексное сопряжение Фурье-образа; (г) вычислено обратное ДПФ; (д) вещественная часть полученного результата умноженана (–1) x + y.
Объясните (математически), почему полученное изображение выглядит так, как на рисунке справа.4.34 В чем причина возникновения почти периодических ярких точекна горизонтальной оси рис. 4.41(б)?4.35 Каждый из фильтров на рис. 4.53 имеет сильный пик в центре. Объясните причину этих пиков.4.36 Рассмотрим представленные изображения. Изображение справа получено в результате низкочастотной фильтрации с помощью гауссова фильтра низких частот и последующего применения к результату высокочастотнойфильтрации с помощью гауссова фильтра высоких частот. Размер изображений420×344, и D 0 = 25 для каждого из фильтров.(а) Объясните, почему центральная часть кольца выглядит как сплошная яркая область, в то время как превалирующая часть изображенияпосле фильтрации состоит из контуров вдоль внешней границы объектов (например костей пальцев и запястья) с темными областями364Глава 4. Фильтрация в частотной областипосередине.
Другими словами, разве не следует ожидать потемненияобласти постоянной яркости внутри кольца в результате высокочастотной фильтрации, коль скоро высокочастотные фильтры уничтожают постоянную составляющую изображения?(б) Как Вы думаете, изменится ли результат, если поменять порядокприменения фильтров на противоположный?(Исходное изображение предоставил д-р Томас Р. Гест, отделение анатомии медицинской школы университета шт.
Мичиган.)4.37 Пусть дано изображение размером M×N и проводится эксперимент,состоящий в последовательном применении к изображению процедур низкочастотной фильтрации с использованием одного и того же гауссова фильтранизких частот с заданной частотой среза D 0. Ошибкой округления можно пренебречь. Пусть kmin — наименьшее положительное число, представимое в вычислительной машине, на которой проводится эксперимент.
(а) Обозначим через K число произведенных в эксперименте процедурфильтрации. Можете ли Вы предсказать без проведения эксперимента, каков будет его результат (изображение) при достаточно большомзначении K?(б) Получите выражение для минимального значения K, гарантирующего получение предсказанного результата.4.38 Рассмотрим представленную последовательность изображений. Изображение слева представляет собой фрагмент рентгеновского снимка промышленной печатной платы.
Следующие за ним изображения суть результаты1-кратного, 10-кратного и 100-кратного повторения процедуры фильтрациис использованием гауссова высокочастотного фильтра с D 0 = 30. Размер изображений — 330×334, диапазон яркости — 8 бит на элемент. Перед воспроизведением изображения были подвергнуты масштабированию, но это не сказываетсяна постановке задачи.(а) Вид изображений наводит на мысль, что после некоторого количества повторений результаты перестают меняться. Установите, имеетли в действительности это место в рассматриваемом случае.
Ошибкойокругления можно пренебречь. Пусть kmin обозначает наименьшее положительное число, представимое в вычислительной машине, на которой проводится предлагаемый эксперимент.(б) Если при решении части (а) задачи установлено, что измененияпрекратятся после некоторого числа итераций, то найдите минимальное значение этого числа.Задачи365(Исходное изображение предоставил Джозеф Е. Пассенте, Lixi, Inc.)4.39 Как показано на рис. 4.59, комбинирование фильтрации с усилениемвысоких частот и эквализации гистограммы является эффективным способомдля повышения резкости и улучшения контраста.(а) Покажите, имеет ли значение очередность применения этих двухпроцессов.(б) Если имеет, дайте обоснование применения первым одного илидругого процесса.4.40 Используйте гауссов высокочастотный фильтр для построения гомоморфного фильтра, который имел бы ту же общую форму, что и фильтрна рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
