Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Фильтрация в частотной областиВ качестве дополнительных основ по материалу разделов 4.7—4.11 см.[Castleman, 1996], [Pratt, 2001] и [Hall, 1979]. Для более глубокого знакомствас датчиками изображений на зонде «Кассини» (раздел 4.10.2) см. [Porco, Westet al. 2004]. По-прежнему представляет интерес вопрос о том, как эффективно управлять возникающими в результате фильтрации артефактами (такимикак звон); по этому поводу см. [Baker, Reeves, 2000].
По вопросам нерезкого маскирования и высокочастотной фильтрации с подъемом частотной характеристики см. [Schowengerdt, 1983]. При изложении материала, относящегося к гомоморфной фильтрации (раздел 4.9.5), мы основываемся на работе [Stockham,1972]; см. также книги [Oppenheim, Schafer, 1975] и [Pitas, Venetsanopoulos, 1990].В работе [Brinkman et al., 1998] методы нерезкого маскирования и гомоморфнойфильтрации скомбинированы для улучшения магнитно-резонансных изображений. Вопросы конструирования цифровых фильтров (раздел 4.6.7) на основепредставленного в этой главе частотного подхода рассмотрены в [Lu, Antoniou,1992] и [Petrou, Bosdogianni, 1999].Как указано в разделе 4.1.1, открытие быстрого преобразование Фурье(раздел 4.11.3) стало тем краеугольным камнем, на котором держится популярность ДПФ как главного инструмента для обработки сигналов.
Наше изложение БПФ в разделе 4.11.3 основано на работе [Cooley, Tuckey, 1965] и на книге[Brigham, 1988], которая также содержит обсуждение ряда вопросов реализации БПФ, включая рассмотрение других оснований степени, отличных от 2.Честь открытия быстрого преобразование Фурье24 часто приписывают Кулии Тьюки [Cooley, Tuckey, 1965]. Однако с открытием БПФ связана интереснаяистория, достойная того, чтобы упомянуть здесь о ней. В ответ на статью Кулии Тьюки Радник опубликовал работу [Rudnick, 1966], в которой утверждал,что он использует аналогичную технику с числом операций, также пропорциональным M log 2 M, которая основана на методе, изложенном в работе Даниэльсона и Ланцоша [Danielson, Lanczos, 1942]. Эти авторы в свою очередьссылались на Рунге [Runge, 1903, 1904] как на первоисточник.
Две последниеработы вместе с лекциями Рунге и Кёнига [Runge, König, 1924] содержат изложение всех существенных вопросов, относящихся к вычислению БПФ. Похожие методы рассматривались также в работах [Yates, 1937], [Stumpff, 1939],[Good, 1958] и [Thomas, 1963]. В работе [Cooley, Lewis, Welch, 1967а] приведеныисторический обзор и интересное сравнение результатов, предшествующихработе Кули и Тьюки 1965 г.Алгоритм БПФ, изложенный в разделе 4.11.3, взят из оригинальной статьиКули и Тьюки [Cooley, Tuckey, 1965].
Для дополнительного чтения см. [Brigham,1988] и [Smith, 2003]. Касательно вопросов построения цифровых фильтров,основанных на терминах частотной области, рассматривавшихся в настоящейглаве (раздел 4.11.4), см. [Lu, Antoniou, 1992] и [Petrou, Bosdogianni, 1999]. По поводу программной реализации многих приложений, рассмотренных в разделах 4.7—4.11, см.
[Gonzalez, Woods, Eddins, 2004].24Имеются сведения, что метод БПФ был предложен в 1805 году Гауссом и переоткрыт в 1965 г. — Прим. перев.Задачи359Çàäà÷èДетальное рассмотрение задач, помеченных звездочкой, можно найтина интернет-сайте книги. Также там содержатся примерные проекты, базирующиеся на материалах данной главы.4.1 Повторите пример 4.1, используя функцию f(t) = 2A для –W/4 ≤ t ≤ W/4и f(t) = 0 для остальных значений t. Объясните причину всех различий междуВашими результатами и результатами примера.4.2 Покажите, что F¦(μ) в выражении (4.4-2) является периодическойв обоих направлениях с периодом 1/ΔT.4.3 Можно показать ([Bracewell, 2000]), что 1 ⇔ δ(μ) и δ(t) ⇔ 1.
Используйте первое из этих свойств, а также свойство сдвига из табл. 4.3, чтобы показать,что преобразование Фурье непрерывной функции f(t) = cos(2πnt), где n — действительное число, будет F(μ) = (1/2)[δ(μ+n) + δ(μ–n)].4.4 Рассмотрите непрерывную функцию f(t) = cos(2πnt). (а) Чему равен период f(t)? (б) Чему равна частота f(t)?Фурье-преобразование F(μ) от f(t) является действительным (задача 4.3), и поскольку преобразование дискретизованных данных состоит из периодическихкопий F(μ), то преобразование от дискретизованной функции F% (μ) также будет действительным. Нарисуйте диаграмму, аналогичную рис.
4.6, и ответьтена следующие вопросы, основываясь на диаграмме (предположите, что дискретизация начинается с точки t = 0). (в) Как в общих чертах будут выглядеть дискретизованная функцияи ее Фурье-преобразование, если f(t) дискретизована с частотой, превышающей частоту Найквиста?(г) Как в общих чертах будут выглядеть дискретизованная функцияи ее Фурье-преобразование, если f(t) дискретизована с частотой,меньшей частоты Найквиста?(д) Как в общих чертах будут выглядеть дискретизованная функция,если f(t) дискретизована с частотой Найквиста с отсчетами, взятымив точках t = 0, ΔT, 2ΔT, ...?4.5 Докажите справедливость одномерной теоремы о свертке непрерывных переменных, сформулированной в виде соотношений (4.2-21) и (4.2-22).4.6 Дополните последовательность действий, приводящих от (4.3-11)к (4.3-12).4.7 Как показано на рисунке ниже, Фурье-преобразованием треугольнойфункции (слева) является квадрат sinc-функции (справа).
Приведите довод, который докажет, что Фурье-преобразование треугольной функции может бытьполучено из Фурье-преобразования прямоугольной функции. (Подсказка: треугольная функция может быть получена как свертка двух одинаковых прямоугольных функций.)3604.8Глава 4. Фильтрация в частотной области(а) Покажите, что выражения (4.4-4) и (4.4-5) составляют пару преобразований Фурье. (б) Повторите вычисления для формул (4.4-6) и (4.4-7). Вам потребуется следующее свойство ортогональности для экспонент в обеих частяхданной задачи:M −1∑ex =0i 2 πrx / M⎧Me −i 2 πux /M = ⎨⎩0если r = u;в противном случае.4.9 Докажите справедливость равенств (4.4-8) и (4.4-9).4.10 Докажите теорему о свертке для одной дискретной переменной(см.
соотношения (4.2-21), (4.2-22) и (4.4-10)). Вам потребуется воспользоватьсясвойством сдвига f ( x )ei 2 πu0 x /M ⇔F (u − u0 ) и, наоборот, f ( x − x0 ) ⇔F (u )e −i 2 πu0 x /M .4.11 Напишите выражение для двумерной дискретной свертки.4.12 Рассмотрите изображение шахматной доски, на котором каждаяклетка имеет размеры 0,5×0,5 мм. Предположим, что изображение простирается в бесконечность по обеим координатам.
Чему будет равна минимальная частота дискретизации (в отсчетах/мм), необходимая, чтобы избежать наложенияспектров?4.13 Из обсуждений в разделе 4.5.6 известно, что уменьшение изображенияможет привести к наложению спектров. Справедливо ли подобное утверждениедля увеличения? Объясните.4.14 Докажите, что одномерные непрерывное и дискретное преобразования Фурье являются линейными операциями (см. раздел 2.6.2 касательно определения линейности).4.15 Имеется программа вычисления пары двумерных преобразованийФурье. Однако из ее описания неизвестно, в какое из двух преобразований(прямое или обратное) включен член 1/MN, или же он разделен на две константы 1/ MN перед каждым из преобразований.
Как можно определить, в котороеиз преобразований (или в оба) включен этот член?4.16 Докажите, что спектры непрерывного и дискретного двумерных преобразований Фурье инвариантны к сдвигу, а при повороте исходного изображения поворачиваются на тот же угол.4.17 Из задачи 4.3 можно предположить, что 1 ⇔ δ(μ,v) и δ(t,z) ⇔ 1. Воспользуйтесь первым из этих свойств, а также свойством сдвига из табл. 4.3,чтобы показать, что преобразованием Фурье непрерывной функцииf(t,z) = Acos(2πμ0t + 2πv0z) будет1F (μ,v ) = [δ(μ + μ0 ,v + v0) + δ(μ − μ0 ,v − v0)].24.18 Покажите, что ДПФ дискретной функции f(x, y) = 1 равно⎧MNF{1} = δ(u,v ) = ⎨⎩04.19будетесли u = v = 0,в остальных случаяях.Покажите, что ДПФ дискретной функции f(x, y) = cos(2πu0 x + 2πv0y)1F (μ,v ) = [δ(u + Mu0 ,v + Nv0) + δ(u − Mu0 ,v − Nv0)] ,2где u и v являются целыми кратными M и N соответственно.Задачи3614.20Следующие задачи связаны со свойствами, приведенными в табл.
4.1. (а) Докажите справедливость свойства 1. (б) Докажите справедливость свойства 3.(в) Докажите справедливость свойства 6. (г) Докажите справедливость свойства 7.(д) Докажите справедливость свойства 9.(е) Докажите справедливость свойства 10. (ж) Докажите справедливость свойства 11.(з) Докажите справедливость свойства 12.(и) Докажите справедливость свойства 13.4.21 Необходимость дополнения нулями изображения при фильтрациив частотной области детально обсуждалась в разделе 4.6.6. В разделе указывалось, что нули должны быть добавлены в конец строк и столбцов изображения(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
