Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 83
Текст из файла (страница 83)
е. между значениями элементов изображения и значениями шумовой составляющей нет корреляции). Хотя в рядеслучаев такие предположения по меньшей мере не вполне справедливы (примером чего могут служить изображения, полученные в ситуации с небольшимчислом квантов, например рентгеновские и ЯМР-изображения), трудности,возникающие при рассмотрении пространственно-зависимого и коррелированного шума, лежат за пределами нашего обсуждения.5.2.2.
Функции плотности распределения вероятностей длянекоторых важных типов шумаВ рамках сделанных в предыдущем параграфе предположений мы будем иметьдело с описанием поведения шума в пространственной области, которое основано на статистических свойствах значений интенсивности компоненты шумав модели на рис. 5.1. Эти значения яркости могут рассматриваться как случайные величины, характеризующиеся функцией плотности распределения вероятностей. Ниже даны примеры функций плотности распределения вероятностей (probability density function, PDF), которые наиболее часто встречаютсяв приложениях, связанных с обработкой изображений.По вопросам основ теории вероятности обратитесь к интернет-сайту книги.Гауссов шумМатематическая простота, характерная для работы с моделями гауссова шума(также называемого нормальным шумом) как в пространственной, так и в частотной области, обусловила широкое распространение этих моделей на практике.
На самом деле эта простота оказывается столь привлекательной, что зачастую гауссовы модели используются даже в тех ситуациях, когда их применениеоправдано в лучшем случае лишь частично.Функция плотности распределения вероятностей гауссовой случайной величины z задается выражением221(5.2-1)p(z ) =e − ( z −z ) /2σ ,2πσ370Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийгде z представляет собой значение яркости, z — среднее2 значение случайной величины z, σ — ее среднеквадратическое отклонение. Квадрат среднеквадратического отклонения σ2 называется дисперсией величины z.
Графикэтой функции представлен на рис. 5.2(а). Когда плотность распределения случайной величины z описывается функцией (5.2-1), то приблизительно 70 %ее значений попадают в диапазон(z − σ, z + σ) и примерно 95 % — в диапазон(z − 2σ, z + 2σ) .Шум РэлеяФункция плотности распределения вероятностей шума Рэлея задается выражением⎧2− ( z −a )2 /bпри z ≥ a⎪ (z − a)ep(z ) = ⎨b⎪⎩0при z < a.(5.2-2)Среднее и дисперсия для этого распределения имеют видz = a + πb / 4 ,(5.2-3)b(4 − π).(5.2-4)4График плотности распределения вероятностей шума Рэлея представленна рис.
5.2(б). Обратите внимание на местоположение начала координат и наσ2 =иp(z)p(z)12πσ0,6072πσ2b0,607а б вг д еp(z)KРаспределениеГауссаГамма-распределениеРаспределениеРэлеяK=a(b – 1)b–1e–(b–1)(b – 1)!__ _z –σ z z +σza+p(z)aap(z)z(b – 1)/ap(z)Равномерноераспределение1Экспоненциальноераспределениеzb2ИмпульсноераспределениеPbb–aPazabzabzРис. 5.2. Некоторые важные функции плотности распределения вероятностейДалее для обозначения среднего используется символ z вместо m, чтобы устранить возможную путаницу с размерами окрестности m и n.25.2. Модели шума371то обстоятельство, что график имеет асимметричную (перекошенную вправо)форму.
Распределение Рэлея бывает полезно для приближения асимметричныхгистограмм.Шум Эрланга (гамма-шум)Функция плотности распределения вероятностей шума Эрланга задается выражением⎧ ab z b−1 − azпри z ≥ 0e⎪p(z ) = ⎨(b − 1)!⎪0при z < 0.⎩(5.2-5)где a > 0, b — положительное целое число и символ «!» обозначает факториал.Среднее и дисперсия для этого распределения имеют видz=иσ2 =ba(5.2-6)b.a2(5.2-7)На рис. 5.2(в) представлен график плотности этого распределения.
Выражение(5.2-5) часто называют гамма-распределением, хотя, строго говоря, это название относится к распределению более общего вида, когда b не является целым,а в знаменателе стоит гамма-функция Γ(b). Рассматриваемый частный случайправильнее называть распределением Эрланга.Экспоненциальный шумФункция плотности распределения вероятностей экспоненциального шума задается выражением⎧ae − az при z ≥ 0p(z ) = ⎨при z < 0.⎩0где a > 0. Среднее и дисперсия для этого распределения имеют видz=иσ2 =1a1.a2(5.2-8)(5.2-9)(5.2-10)Заметим, что это распределение является частным случаем распределения Эрланга с b = 1.
На рис. 5.2(г) представлен график плотности этого распределения.Равномерный шумФункция плотности распределения вероятностей равномерного шума задаетсявыражением⎧ 1при a ≤ z ≤ b ;⎪p(z ) = ⎨b − a⎪⎩0в остальных случаях .(5.2-11)372Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийСреднее значение для этого распределения равноa +b,z=2а дисперсия(b − a)2.σ2 =12На рис. 5.2(д) представлен график плотности этого распределения.(5.2-12)(5.2-13)Импульсный шумФункция плотности распределения вероятностей (биполярного) импульсногошума задается выражением3при z = a ;⎧Pa⎪при z = b ;p(z ) = ⎨Pb⎪1 − P − P в остальных случаях .⎩ad(5.2-14)Если b > a, то пиксель с яркостью b выглядит как светлая точка на изображении.Пиксель с яркостью a выглядит, наоборот, как темная точка. Если одно из значений вероятности (Pa или Pb) равно нулю, то импульсный шум называется униполярным.
Если ни одна из вероятностей не равна нулю и в особенности еслиони приблизительно равны по величине, импульсный шум походит на крупицы соли и перца, случайно рассыпанные по изображению. По этой причине импульсный шум называют также шумом типа «соль и перец». Мы будем использовать оба названия как взаимозаменяемые4. Также для обозначения этого типашумов используются термины шум выпадения и пиковый шум.Значения импульсов шума могут быть как положительные, так и отрицательные. При оцифровке изображения обычно происходит масштабирование(и ограничение) значений яркости. Поскольку величина связанных с импульсным шумом искажений, как правило, велика по сравнению с величиной полезного сигнала, импульсный шум после оцифровки принимает экстремальные значения, что соответствует появлению абсолютно черных и белых точекна изображении.
Поэтому обычно предполагается, что значения a и b являются«интенсивными» в том смысле, что они равны минимальному и максимальному значениям, которые в принципе могут присутствовать в оцифрованном изображении. В результате отрицательные импульсы выглядят как черные точкина изображении (перец). По тем же причинам положительные импульсы выглядят как белые точки (соль). Для 8-битовых изображений это обычно означает,что a = 0 (черное) и b = 255 (белое).
На рис. 5.2(е) представлен график функцииплотности вероятностей значений импульсного шума.3Это выражение для самой вероятности P(z). Плотность распределения вероятностей может быть записана в виде Paδ(z – a) + Pbδ(z – b), где δ(⋅) — δ-функция. Как правило, процесс добавления импульсного шума к изображению состоит в том, что значение яркости каждой точки изображения с вероятностью Ps = Pa + Pb ≤ 1 заменяетсяна случайное значение шума. Поэтому для биполярного импульсного шума, например,яркость изображения с вероятностью Pa заменяется на значение a, с вероятностью Pb —на значение b и с вероятностью (1 – Ps) остается неизменной. — Прим. перев.4Английский термин «соль и перец» (salt-and-pepper) практически не употребляется в русскоязычной литературе.
— Прим. перев.5.2. Модели шума373Рассмотренные распределения в совокупности представляют собой наборсредств, которые позволяют моделировать искажения, связанные с широкимдиапазоном встречающихся на практике шумов. Так например, гауссов шумвозникает на изображении в результате воздействия таких факторов, как шумв электронных цепях, а шум сенсоров — из-за недостатка освещения и/или высокой температуры. Распределение Рэлея полезно при моделировании шума,который возникает на снимках, снятых с большого расстояния. Экспоненциальное и гамма-распределения отвечают шуму на изображениях, получаемыхс использованием лазеров. С импульсным шумом мы сталкиваемся в ситуациях, когда во время оцифровки изображения из-за помех в сети питания возникают переходные процессы, приводящие к появлению экстремальных значений,о которых говорилось в предыдущем абзаце.
Равномерное распределение, пожалуй, в наименьшей степени подходит для описания встречающихся на практике явлений. Однако это распределение весьма полезно как основа для созданияразличных генераторов случайных чисел, используемых при моделировании[Peebles, 1993] и [Gonzalez, Woods, Eddins, 2004].Пример 5.1. Изображения с шумом и их гистограммы.■ На рис. 5.3 представлено тестовое изображение, весьма подходящее для иллюстрации только что рассмотренных моделей шума. Изображение удобно тем,что оно состоит из простых областей постоянной яркости, которая принимаетвсего три значения и при этом охватывает весь диапазон от черного до почтибелого.
Это упрощает визуальный анализ свойств различных шумовых составляющих, добавляемых к изображению.На рис. 5.4 представлены изображения, полученные в результате добавленияк тестовому изображению шумов тех шести типов, которые обсуждались выше.Под каждым изображением приведена гистограмма, посчитанная по этому изображению.
Параметры шума были подобраны в каждом отдельном случае такимобразом, чтобы части гистограммы, соответствующие трем уровням яркостина тестовом изображении, начали сливаться. При этом шум хорошо заметен,но не затеняет основную структуру тестового изображения.Рис. 5.3. Тестовое изображение, используемое при иллюстрации свойств шумов, распределенных в соответствии с функциями на рис. 5.2374Глава 5. Восстановление и реконструкция изображенийПри сравнении гистограмм на рис. 5.4 с функциями плотности распределениявероятностей на рис.
5.2 мы убеждаемся в том, что они соответствуют друг другу.В примере с импульсным шумом на гистограмме имеется дополнительный пикв «белом» конце диапазона яркостей, поскольку составляющие шума принимаютзначения, соответствующие абсолютно черным и абсолютно белым точкам, а наиболее яркая часть тестового изображения (внутри круга) является светло-серой.За исключением небольшого различия в общем уровне яркости, первые пять изображений на рис. 5.4 визуально мало различимы, хотя их гистограммы существенно отличаются друг от друга. Только внешний вид изображения, искаженного им■пульсным шумом, указывает на тип шума, который привел к искажению.5.2.3.
Периодический шумПричиной появления периодического шума обычно являются электрические илиэлектромеханические помехи во время получения изображения. Периодическийшум является тем единственным видом пространственно-зависимого шума, который мы будем рассматривать в этой главе. Как обсуждается в разделе 5.4, такойшум может быть существенно уменьшен при помощи частотной фильтрации.Рассмотрим, например, изображение на рис. 5.5(а).
Это изображение сильно искажено пространственным синусоидальным шумом различных частот. Преоба б вг д еГауссов шумРэлеевский шумГамма-шумРис. 5.4. Изображения и гистограммы, полученные в результате добавления гауссова, рэлеевского и гамма-шума к изображению на рис. 5.35.2. Модели шума375ж з ик л мЭкспоненциальный шумРавномерный шумИмпульсный шумРис. 5.4. (Продолжение.) Изображения и гистограммы, полученные в результате добавления экспоненциального, равномерного и импульсного шумак изображению на рис. 5.3разование Фурье синусоиды в чистом виде представляет собой пару сопряженных импульсов5, расположенных в центрально-симметричных точках частотнойобласти, которые отвечают частотам синусоидальной волны (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
