Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 70
Текст из файла (страница 70)
4.33. Двумерная периодичность, присущая ДПФ. (а) Периодичность безрасширения изображения. (б) Периодичность после расширениянулями (черные области). Обведенные пунктиром области в центресоответствуют изображению на рис. 4.32(а). (Тонкие белые линиина обоих изображениях нанесены для наглядности; они не являютсячастью данных)уссовым низкочастотным фильтром, форма которого показана на рис. 4.31(а).Как и следовало ожидать, изображение размыто. Однако это размываниене одинаково; верхний светлый (и нижний темный) контуры размыты, тогда как боковые контуры — нет.
Расширение исходного изображения нулямив соответствии с выражениями (4.6-31) и (4.6-32) до применения фильтрации(4.7-1) приводит к результату, показанному на рис. 4.32(в). Результат таков, каки следовало ожидать.На рис. 4.33 объясняется причина различий между изображениямина рис.
4.32(б) и (в). Область, обведенная пунктиром на рис. 4.33, соответствуетизображению на рис. 4.32(а). Оставшаяся область на рис. 4.33(а) демонстрирует эффект периодичности, присущий использованию ДПФ, как объяснялось в разделе 4.6.3. Представим свертку этого изображения пространственным аналогом размывающего фильтра. Когда фильтр проходит через верхнийкрай обведенного пунктиром прямоугольника, он будет захватывать как частьверха изображения, так и часть его низа, который вследствие периодичностирасполагается непосредственно сверху. Когда под окном фильтра оказываетсяграница темной и светлой областей, результатом будет размытый серый тон.При пересечении верхней половины правой вертикальной границы картинадругая: фильтр будет захватывать только светлые области — самого изображения и его соседа справа.
Среднее значение константы равно самой константе, поэтому эффекта фильтрации не будет, что и видно на рис. 4.32(б). Расширение изображения нулями создает однородный бордюр вокруг исходногоизображения17, как это видно на рис. 4.33(б). Свертка размывающей функциис расширенной «мозаикой» на рис. 4.33(б) дает правильный результат, пока17А также увеличивает значения вертикального и горизонтального периодов. —Прим. перев.310Глава 4.
Фильтрация в частотной областизанный на рис. 4.32(в). Из данного примера видно, что отсутствие расширения изображения может привести к ошибочным результатам. Зачастую, когдацелью фильтрации является лишь грубый визуальный анализ, расширениене осуществляется.До настоящего момента обсуждение касалось расширения исходного изображения, но выражение (4.7-1) распространяется также и на фильтр, которыйможет задаваться либо в пространственной, либо в частотной области. Расширение, однако, выполняется в пространственной области, что вызывает важныйвопрос о взаимосвязи между пространственным расширением и фильтрами,задаваемыми непосредственно в частотной области.На первый взгляд, для выполнения расширения в частотной областиможно предложить следующий вариант: создать фильтр того же размера, чтои изображение, выполнить обратное ДПФ фильтра, чтобы получить соответствующий пространственный фильтр, расширить его в пространствен1,2а вб г0,0410,030,80,60,020,40,010,200–0,20128255–0,01012825638451101282563845111,20,0410,030,80,020,60,40,010,200–0,010128255–0,2Рис.
4.34. (а) Исходный частотный фильтр (центрирован). (б) Пространственное представление, полученное вычислением обратного ДПФ. (в) Результат расширения нулями (б) до удвоенной длины (заметны разрывы). (г) Соответствующий фильтр в частотной области, полученныйвычислением прямого ДПФ от (в). Обратите внимание на «звон»,вызванный разрывами в (в). (Кривые выглядят непрерывными, поскольку точки были соединены для упрощения визуального анализа)4.7. Основы фильтрации в частотной области311ной области, после чего выполнить прямое ДПФ для получения частотногофильтра.
Одномерный пример на рис. 4.34 иллюстрирует подводные камнитакого подхода. На рис. 4.34(а) изображен одномерный идеальный частотный фильтр. Фильтр является действительным и имеет четную симметрию,так что из свойства 8 в табл. 4.1 известно, что его обратное ДПФ также будетдействительным и симметричным. На рис.
4.34(б) показан соответствующийпространственный фильтр, полученный умножением элементов исходногочастотного фильтра на (–1) u и вычислением обратного ДПФ. Значения фильтра на краях не равны нулю, поэтому, как видно на рис. 4.34(в), расширениефункции фильтра нулями приводит к появлению двух разрывов (посколькуфункция периодична, то расширение функции на двух концах эквивалентнорасширению только на одном конце при условии, что число нулевых элементов одинаково).Чтобы вернуться в частотную область, выполняется прямое ДПФ пространственного расширенного фильтра.
Результат представлен на рис. 4.34(г). Разрывы в пространственной области вызывают появление «звона»18 в частотномэквиваленте, аналогично тому, как это было в примере 4.1. Из того примераизвестно, что Фурье-преобразование прямоугольной функции является функцией sinc с частотными компонентами, продолжающимися в бесконечность;следует ожидать аналогичного поведения и от обратного преобразования прямоугольной функции.
То есть пространственное представление идеального(прямоугольного) частотного фильтра продолжается в бесконечность. Такимобразом, любое пространственное усечение фильтра для расширения его нулями вообще говоря приведет к разрывам, которые затем вызовут появление звонав частотной области (разрывов можно избежать, если делать усечение в точкеперехода функции через ноль; но нас интересует общий случай, тем более чтоне все функции имеют переход через ноль).См. окончание раздела 4.3.3 касательно определения идеального фильтра.Последние результаты показывают, что поскольку отсутствует возможность работать с бесконечным набором компонент, то невозможно одновременно использовать идеальный частотный фильтр (как на рис.
4.34(а)) и расширение нулями для устранения ошибок перехлеста. Требуется решение,которое из ограничений принять. Наша цель — работать с частотными фильтрами определенной формы (включая идеальные фильтры), не очень беспокоясь по поводу возможных эффектов урезания. Одним из вариантов являетсярасширение нулями изображения и затем создание частотных фильтров такогоже размера, что и полученное расширенное изображение (при использованииДПФ, как мы помним, изображения и фильтры должны быть одного размера).Конечно, это будет приводить к ошибкам перехлеста, поскольку для фильтране используется расширение, но на практике эти ошибки значительно смягчаются раздвижкой сигналов копий изображений, происходящей благодаря18Термин «звон» происходит из электро- и радиотехники, где им обозначают весьма близкое явление.
Рассматриваемое явление соответствует тому, что в математике называется «явлением Гиббса». Последний термин также используется в обработке изображений. — Прим. перев.312Глава 4. Фильтрация в частотной областиа бРис. 4.35. (а) Изображение получено умножением значений фазовых угловв (4.6-15) на 0,5 и последующим вычислением обратного ДПФ. (б) Результат умножения массива фаз на 0,25. В обоих случаях значенияспектра не менялисьрасширению, и это предпочтительно по сравнению с возможным возникновением «звона». Сглаживающие фильтры (как на рис. 4.31) приносят даже ещеменьше проблем. В настоящей главе, чтобы работать с фильтрами заданнойформы непосредственно в частотной области, мы будем придерживаться подхода, при котором изображения расширяются до размера P×Q и фильтры создаются того же размера.
Как объяснялось ранее, P и Q задаются выражениями(4.6-29) и (4.6-30).Мы завершаем раздел рассмотрением фазы фильтрованного преобразования Фурье. Поскольку ДПФ является комплексным массивом, его можно выразить в виде суммы действительной и мнимой частей:F (u,v ) = R (u,v ) + iI (u,v ) .(4.7-2)Тогда выражение (4.7-1) примет видg ( x, y ) = F −1[H (u,v )R (u,v ) + iH (u,v )I (u,v )] .(4.7-3)Описанный способ фильтрации не меняет фазы, поскольку H(u,v) сокращаетсяв выражении угла фазы, как отношения мнимой и действительной частей сигнала (4.6-17). Такие фильтры, которые равно воздействуют на действительнуюи мнимую части сигнала и тем самым не изменяют фазу, соответственно называются фильтрами с нулевым сдвигом фазы. В настоящей главе рассматриваютсялишь такие фильтры.Даже малые изменения фазы могут привести к значительным (обычно нежелательным) изменениям результата фильтрации.
Эффект простого скалярного изменения фазы проиллюстрирован на рис. 4.35. На рис. 4.35(а) показанрезультат умножения массива фазовых углов в (4.6-15) на 0,5 без изменения значений амплитуд |F(u,v)| и последующего вычисления обратного ДПФ19. Основные контуры остались на месте, но распределение яркостей совершенно ис19Очевидно, исходными данными для применения указанного преобразованияслужит ДПФ фрагмента изображения на рис. 4.29(а). — Прим. перев.4.7.
Основы фильтрации в частотной области313кажено. На рис. 4.35(а) представлен результат умножения массива фаз на 0,25.Изображение стало почти неузнаваемым 20.4.7.3. Последовательность шагов частотной фильтрацииМатериал двух предшествующих разделов может быть кратко суммирован следующим образом:1. Для заданного изображения f(x, y) размерами M×N при помощи выражений (4.6-31) и (4.6-32) вычислить значения параметров расширения Pи Q.
Как правило, мы выбираем P = 2M и Q = 2N.2. Сформировать расширенное изображение fp(x, y) размерами P×Q добавлением к f(x, y) необходимого числа нулей.3. Умножить fp(x, y) на (–1)x+y чтобы центрировать его Фурье-образ.Как отмечалось ранее, центрирование упрощает построение фильтр-функцийи улучшает визуализацию процесса фильтрации, но не является существеннымтребованием.4.5.6.Вычислить F(u,v) — прямое ДПФ изображения, полученного на шаге 3.Сформировать действительную симметричную фильтр-функцию H(u, v)размерами P×Q с центром в точке (P/2, Q/2).21 Вычислить произведениеG(u,v) = H(u,v)F(u,v), используя поэлементное произведение массивов,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
