Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 66
Текст из файла (страница 66)
4.1 приведен список симметрий и связанных с этим свойств ДПФ,которые полезны в цифровой обработке изображений. Напомним, что двойнаястрелка означает Фурье-пару; т. е. в любой строке таблицы свойства для выражения справа справедливы для Фурье-преобразования функции, свойствакоторой указаны слева, и наоборот.
Например, строчку 5 следует читать: ДПФдействительной функции f(x, y), в которой (x, y) заменено на (–x, –y), будет равноF *(u, v), где F(u, v) — ДПФ функции f(x, y) — является комплексной функцией,и наоборот.Пример 4.11. Одномерная иллюстрация свойств из табл. 4.1.■ В отношении концепций четности и нечетности, рассмотренных вышеи иллюстрированных примером 4.10, следующие одномерные последовательности и их преобразования являются короткими примерами свойств,приведенных в табл.
4.1. Числа в круглых скобках справа — значения отдельных элементов F(u), а в нижних двух строчках также и значения f(x) в левомстолбце.Свойствоf(x)F(u)3{1 2 3 4}⇔{(10) (–2 + 2i) (–2) (–2 – 2i)}4i{1 2 3 4}⇔{(2,5i) (0,5 – 0,5i) (–0,5i) (–0,5 – 0,5i)}8{2 1 1 1}⇔{(5) (1) (1) (1)}9{0 –1 0 1}⇔{(0) (2i) (0) (–2i)}10i{2 1 1 1}⇔{(5i) (i) (i) (i)}11i{0 –1 0 1}⇔{(0) (–2) (0) (2)}12{(4 + 4i) (3 + 2i) (0 + 2i) (3 + 2i)}⇔{(10 + 10i) (4 + 2i) (–2 + 2i) (4 + 2i)}13{(0 + 0i) (1 + 1i) (0 + 0i) (–1 – i)}⇔{(0 + 0i) (2 – 2i) (0 + 0i) (–2 + 1i)}Например, из свойства 3 видно, что Фурье-преобразование действительнойфункции с элементами {1 2 3 4} будет иметь действительную часть {10 –2 –2 –2},которая является четной, и мнимую {0 2 0 –2}, которая нечетная. Свойство 8 говорит, что Фурье-преобразование действительной четной функции также будетдействительным и четным.
Свойство 12 показывает, что Фурье-преобразованиекомплексной четной функции также будет комплексным и четным. Примерыостальных свойств анализируются аналогичным образом.■Пример 4.12. Доказательства некоторых свойств симметрии ДПФиз табл. 4.1.■ В данном примере будут доказаны некоторые из важных свойств табл.
4.1, чтобы продолжить ознакомление с ними, а также создать основу для решения некоторых из задач в конце данной главы. Мы будем доказывать только свойства292Глава 4. Фильтрация в частотной областив правой части на основе свойств, заданных в левой части. Доказательства в обратную сторону осуществляются аналогичными способами.Рассмотрим свойство 3, которое означает: если f(x, y) является действительной функцией, то действительная часть ДПФ будет четной, а мнимая —нечетной.
И наоборот, если действительная и мнимая части ДПФ являютсясоответственно четной и нечетной, то обратное ДПФ будет действительнойфункцией. Докажем это свойство формально следующим образом. F(u, v),вообще говоря, является комплексной, значит, она может быть выраженав виде суммы действительной и мнимой частей: F(u, v) = R(u, v) + iI(u, v).
ТогдаF *(u, v) = R(u, v) – iI(u, v), а F(–u, –v) = R(–u, –v) + iI(–u, –v). Но как было доказано ранее, если f(x, y) — действительная, то F *(u, v) = F(–u, –v), что с учетомпредыдущих двух формул означает, что R(u, v) = R(–u, –v) и I(u, v) = –I(–u, –v).Учитывая выражения (4.6-11a) и (4.6-11б), это доказывает, что R является четной, а I — нечетной функцией.Теперь докажем свойство 8. Если f(x, y) — действительная, то из свойства3 известно, что действительная часть F(u, v) является четной. Таким образом,остается доказать, что если f(x, y) — действительная и четная, то мнимая частьF(u, v) равна 0 (что и будет означать, что F — действительная). Действия состоятв следующем:M −1 N −1F (u,v ) = ∑ ∑ f ( x, y )e −i 2 π(ux/M +vy/N ) ,x =0 y =0что можно записать какM −1 N −1M −1 N −1x =0 y =0x =0 y =0F (u,v ) = ∑ ∑[ fr ( x, y )]e −i 2 π(ux/M +vy/N ) = ∑ ∑[ fr ( x, y )]e −i 2 π(ux/M )e −i 2 π(vy/N ) =M −1 N −1= ∑ ∑[четная][четная − i нечеттная][четная − i нечетная] =x =0 y =0M −1 N −1= ∑ ∑[четная][четная ⋅ четная − 2i четная ⋅ нечетная − нечетная ⋅ нечетная] =x =0 y =0M −1 N −1M −1 N −1M −1 N −1x =0 y =0x =0 y =0x =0 y =0= ∑ ∑[четная ⋅ четная] − 2i ∑ ∑[четная ⋅ нечетная] −∑ ∑[четная ⋅ четная] == действительная.Третий шаг следует из формулы Эйлера и того факта, что косинус и синус являются четной и нечетной функциями.
Из свойства 8 также известно, что функцияf, кроме того, что она действительная, также является четной. В предпоследнейстроке единственным мнимым является второй член, который согласно (4.6-13)равен нулю. Таким образом, если f является действительной и четной, то F —действительная. Что и требовалось доказать.В заключение докажем справедливость свойства 6. Согласно определениюДПФ,M −1 N −1F{ f (− x, − y )} = ∑ ∑ f (− x, − y )e −i 2 π(ux/M +vy/N ) .x =0 y =04.6. Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье293Заметим, что здесь мы не делаем замену переменных.
Мы выражаем ДПФ функции f(–x, –y), поэтому просто подставляем ее в формулу, как поступили бы с любой другой функцией.Вследствие периодичности f(–x, –y) = f(M – x, N – y). Если сделать заменуm = M – x и n = N – y, то тогдаM −1 N −1F{ f (− x, − y )} = ∑ ∑ f (m,n)e −i 2 π(u[M −m ]/M +v[N −n ]/N ) .m =0 n =0(Чтобы удостовериться, что суммирования корректны, выполните одномерноепреобразование и раскройте несколько первых членов вручную.) Посколькуexp{–i2π(целое)} = 1, следовательно?M −1 N −1F{ f (− x, − y )} = ∑ ∑ f (m,n)ei 2 π(um/M +vn/N ) = F (−u, −v ) .m =0 n =0Этим завершается доказательство.■4.6.5.
Фурье-спектр и фазаПоскольку двумерное ДПФ является, вообще говоря, комплексным, оно можетбыть выражено в полярных координатахF (u,v ) = F (u,v ) eiφ(u,v) ,(4.6-15)где амплитудаF (u,v ) = ⎡⎣R 2 (u,v ) + I 2 (u,v )⎤⎦1/ 2(4.6-16)называется Фурье-спектром (или частотным спектром), а⎡ I (u,v ) ⎤φ(u,v ) = arctg ⎢⎥⎣ R (u,v )⎦(4.6-17)называется фазовым углом или просто фазой.
Из раздела 4.2.1 напомним, что вычисление арктангенса должно учитывать все четыре квадранта, как, например,функция MATLAB atan2(Imag, Real).Наконец, энергетический спектр определяется как2P (u,v ) = F (u,v ) = R 2 (u,v ) + I 2 (u,v ) .(4.6-18)Как и ранее, R и I — действительная и мнимая части F(u, v), и все вычислениявыполняются для дискретных переменных u = 0, 1, 2, ..., M – 1 и v = 0, 1, 2, ...,N – 1. Таким образом, |F(u, v)|, ϕ(u, v) и P(u, v) являются массивами размерамиM×N.Фурье-преобразование действительной функции является симметричносопряженным (см.
выражение (4.6-14)); это означает, что ее спектр имеет центральную симметрию:F (u,v ) = F (−u, −v ) .(4.6-19)294Глава 4. Фильтрация в частотной областиФаза демонстрирует центральную антисимметрию:φ(u,v ) = −φ(−u, −v ) .(4.6-20)Из (4.5-15) следует, чтоM −1 N −1F (0, 0) = ∑ ∑ f ( x, y ) ;x =0 y =0это показывает, что член, соответствующий нулевой частоте, пропорционаленсреднему значению функции f(x, y). То есть1 M −1 N −1(4.6-21)F (0, 0) = MN∑ ∑ f ( x, y ) = MN f ( x, y ) ,MN x =0 y =0где f означает среднее значение f. ТогдаF (0, 0) = MN f ( x, y ) .(4.6-22)Коэффициент пропорциональности MN, как правило, достаточно велик,поэтому |F(0, 0)| обычно является самой большой компонентой спектра, на несколько порядков превышая амплитуды остальных составляющих. Посколькув начале координат частотные компоненты u и v равны нулю, F(0, 0) часто называют постоянной составляющей преобразования (в оригинале dc component, где«dc» означает direct current (англ.), т.
е. постоянный ток, или ток нулевой частоты) — терминология, идущая из электротехники.Пример 4.13. Двумерный Фурье-спектр прямоугольной функции.■ На рис. 4.24(а) показано изображение простой прямоугольной функции, а нарис. 4.24(б) — ее спектр, значения которого масштабированы в диапазон [0, 255]и представлены в виде изображения. Начала координат как пространственной,так и частотной областей находятся в верхнем левом углу.
Как и должно быть,область вокруг начала координат Фурье-образа содержит самые большие значения (и поэтому выглядит на изображении ярче). Заметим однако, что всечетыре угла спектра содержат аналогичные высокие значения. Причина этого — свойство периодичности, которое обсуждалось в предыдущем разделе.Как следует из уравнения (4.6-8), для центрирования спектра достаточно передвычислением ДПФ умножить исходное изображение (а) на (–1)x+y.
Результатпредставлен на рис. 4.24(в), который много удобнее для визуализации (обратимвнимание на симметрию относительно центральной точки). Поскольку компонента F(0, 0) доминирует в спектре, динамический диапазон всех остальных составляющих на изображении сжат. Чтобы отобразить остальные детали, былоиспользовано логарифмическое преобразование, как описано в разделе 3.2.2.На рис. 4.24(г) показан результат преобразования по формуле log(1 + |F(u, v)|).Налицо существенное увеличение заметности деталей.
Большинство спектров,представленных в данном и последующих разделах, масштабированы именнотаким способом.Из уравнений (4.6-4) и (4.6-5) следует, что спектр нечувствителен к сдвигуизображения (абсолютная величина экспоненциального члена равна 1), но привращении изображения он поворачивается на тот же угол. Рис. 4.25 иллюстрирует эти свойства. Спектр на рис. 4.25(б) идентичен спектру на рис. 4.24(г).Поскольку изображения на рис. 4.24(а) и 4.25(а) различны, ясно, что если ихФурье-спектры совпадают, то, значит, согласно выражению (4.6-15) должны4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
