Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 64
Текст из файла (страница 64)
4.20 показан эффектмуара, возникающий на штриховых рисунках,которые не были дискретизованы, тем не менееналожение одного рисунка на другой создаеткартину биения с частотами, отсутствующимина обоих исходных рисунках. Обратим такжевнимание на муар-эффект, вызываемый двумя рисунками из точек, поскольку он являетсяпредметом нижеследующего обсуждения.Газеты и другие печатные материалы используют так называемые растровые элементы,являющиеся черными точками или эллипсами;4.5. Расширение на функции двух переменных283Рис. 4.22.
Газетное изображение и его увеличенныйфрагмент, показывающий, как выглядят и располагаются точки растра для воспроизведения полутонов серогодля воспроизведения полутонов используются различные схемы изменения ихразмеров и местоположения. Как правило, в полиграфии применяют следующие цифры разрешений печати: в газетах используется 75 точек на дюйм (dotsper inch, dpi), журналы печатаются при 133 dpi, а высококачественные издания — при 175 dpi. На рис.
4.21 показано, что получается, когда газетная иллюстрация сканируется с разрешением 75 dpi. Решетка дискретизации (котораяориентирована по горизонтали и вертикали) и рисунки точек газетного изображения (ориентированные под углами ±45°) взаимодействуют и создают картину однородного муара, в результате чего изображение выглядит пятнистым.(Методы подавления интерференционной картины муара рассматриваютсяв разделе 4.10.2.)В цветной печати для создания ощущения цвета используются красные, зеленыеи синие точки14.В качестве связанного вопроса на рис. 4.22 представлено газетное изображение, дискретизованное с разрешением 400 dpi для устранения эффектамуара. Увеличение области, окружающей правый глаз модели, показывает,как изменение размеров точек используется для создания полутонов серого.Размеры точек обратно пропорциональны яркости изображения.
На светлыхобластях точки маленькие и почти отсутствуют (см., например, область белка глаза). На светло-серых участках точки больше, как видно на области нижеглаза. В более темных областях, когда размер точки превышает некоторый выбранный размер (обычно 50 %), точки могут сливаться вдоль двух выбранныхнаправлений, образуя связанную сетку (см., например, левый уголок глаза).В некоторых случаях точки сливаются только вдоль одного направления, каквидно справа вверху, ниже брови.14На самом деле в цветной печати используются точки голубого, пурпурногои желтого цветов, являющихся дополнительными к красному, зеленому и синему цветам (см.
главу 6). — Прим. перев.284Глава 4. Фильтрация в частотной области4.5.5. Двумерное дискретное преобразование Фурье и егообращениеВыкладки, подобные изложенным в разделах 4.3 и 4.4, приводят к следующемудвумерному дискретному преобразованию Фурье (ДПФ):M −1 N −1F (u,v ) = ∑ ∑ f ( x, y )e −i 2 π(ux/M +vy/N ) ,(4.5-15)x =0 y =0где f(x, y) — цифровое изображение размерами M×N.
Как и в одномерном случае, выражение (4.5-15) должно быть вычислено для всех значений дискретныхпеременных u и v в диапазонах u = 0, 1, 2, ..., M – 1 и v = 0, 1, 2, ..., N – 115.Иногда постоянный множитель 1/MN вместо формулы обратного преобразования ставят в формулу прямого преобразования Фурье; иногда эту константу выражают как 1/ MN и включают в формулы как прямого, так и обратногопреобразований, что создает более симметричный вид дискретной пары преобразований Фурье. Любая из указанных формулировок корректна при условии,что все выкладки единообразны по стилю.Если имеется преобразование F(u, v), можно получить f(x, y) при помощи обратного дискретного преобразования Фурье (обратного ДПФ)f ( x, y ) =1MNM −1 N −1∑ ∑ F (u,v )ei 2 π( ux /M +vy/N )(4.5-16)u =0 v =0для x = 0, 1, 2, ..., M – 1 и y = 0, 1, 2, ..., N – 1.
Выражения (4.5-15) и (4.5-16) составляют пару двумерных дискретных преобразований Фурье. Оставшаяся частьданной главы базируется на свойствах этих двух выражений и использованииих для фильтрации изображений в частотной области.4.6. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà äâóìåðíîãî äèñêðåòíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ ÔóðüåВ данном разделе мы познакомимся с несколькими свойствами прямого и обратного двумерного преобразования Фурье.4.6.1. Взаимосвязи пространственных и частотных интерваловВзаимосвязи между шагом дискретизации и соответствующими интерваламичастотной области были рассмотрены в разделе 4.4.2. Предположим, что непрерывная функция f(t, z) дискретизована в виде цифрового изображения f(x, y),состоящего из M×N отсчетов, взятых, соответственно, вдоль направлений t и z.15Как уже отмечалось в разделе 4.4.1, следует помнить, что в данной главе мы используем (t, z) и (μ, v) для обозначения непрерывных переменных пространственной и частотной областей. Для двумерного дискретного случая используются (x, y) для пространственных переменных и (u, v) для переменных частотной области.4.6.
Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье285Пусть ΔT и ΔZ обозначают шаги между отсчетами (см. рис. 4.14). Тогда соответствующие дискретные интервалы в частотной области составятΔu =1M ΔT(4.6-1)1(4.6-2)N ΔZсоответственно. Заметим, что интервалы между отсчетами в частотной областиобратно пропорциональны как шагам пространственной дискретизации, таки общему числу отсчетов.Δv =и4.6.2. Сдвиг и поворотПрямой подстановкой в выражения (4.5-15) и (4.5-16) можно показать, чтоФурье-пара удовлетворяет следующим свойствам сдвига (задача 4.16):иf ( x, y )ei 2 π(u0 x/M +v0 y/N ) ⇔ F (u − u0 ,v − v0)(4.6-3)f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u,v)e −i 2 π( x0u/M + y0v/N ) .(4.6-4)То есть умножение f(x, y) на экспоненциальную функцию означает сдвиг началакоординат ДПФ в точку (u0,v0), и наоборот, умножение F(u,v) на ту же экспоненциальную функцию, но с отрицательным значением аргумента сдвигает началокоординат f(x, y) в точку (x0, y0).
Как иллюстрирует пример 4.13, сдвиг не оказывает влияния на амплитуду спектра F(u, v).Использование полярных координатx = r cos θ y = r sin θ u = ω cos ϕ v = ω sin ϕприводит к следующей паре:f (r , θ + θ0 ) ⇔ F (ω, ϕ + θ0 ) ,(4.6-5)которая показывает, что поворот f(x, y) на угол θ0 приводит к повороту F(u,v)на тот же угол. И наоборот, поворот F(u, v) означает поворот на тот же уголи f(x, y).4.6.3. ПериодичностьАналогично одномерному случаю прямое и обратное двумерные преобразования Фурье являются периодическими по направлениям u и v; т.
е.иF (u,v ) = F (u + k1M ,v ) = F (u,v + k2 N ) = F (u + k1M ,v + k2 N )(4.6-6)f ( x, y ) = f ( x + k1M , y ) = f ( x, y + k2 N ) = f ( x + k1M , y + k2 N ) ,(4.6-7)где k1 и k2 — целые.Периодичность прямого и обратного преобразований Фурье является важным фактом в реализации алгоритмов, основанных на ДПФ. Рассмотрим одномерный спектр, показанный на рис. 4.23(а).
Как объяснялось в разделе 4.4.1,286Глава 4. Фильтрация в частотной областиавF(u)д гДва соседних периодасоприкасаются здесьu–M/20M/2 – 1M/2M–1MF (u)Два соседних периодасоприкасаются здесьu0M/ 2Один период (M отсчетов)M–1(0, 0)F (u, v)N/ 2N–1vM/ 2Четыре соседнихпериода соприкасаются здесьF (u, v)M–1uЧетыре соседних периодасоприкасаются здесь= Периоды ДПФ= Массив F(u, v) размерами M × NРис. 4.23. Центрирование Фурье-преобразования.
(а) Одномерное ДПФ, демонстрирующее бесконечное число периодов. (б) Сдвинутое ДПФ,полученное умножением f(x) на (–1)x до вычисления F(u). (в) Двумерное ДПФ, демонстрирующее бесконечное число периодов. Прямоугольник из непрерывных линий — массив данных F(u, v), полученныйпри помощи выражения (4.5-15). Этот массив состоит из четырех четвертей периода. (г) Сдвинутое ДПФ, полученное умножением f(x, y)на (–1)x+y до вычисления F(u, v). Теперь данные содержат один полныйцентрированный период, как и на рисунке (б)данные преобразования в интервале от 0 до M – 1 состоят из двух половинок соседних периодов, соприкасающихся в точке M/2.
Для отображения и фильтрации более удобно иметь на этом интервале полный период, на котором данныенепрерывны, как на рис. 4.23(б). Из уравнения (4.6-3) следует, чтоf ( x )ei 2 π(u0 x/M ) ⇔ F (u − u0) .4.6. Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье287Другими словами, умножение f(x) на экспоненциальный член приводитк сдвигу данных, так что начало координат F(0) оказывается в точке u0.
Если положить u0 = M/2, то экспоненциальный член будет eiπx = (–1)x, поскольку x —целое. В таком случаеf ( x )(−1)x ⇔ F (u − M /2) .Т. е. умножение f(x) на (–1)x приводит к сдвигу данных, и в результате F(0) оказывается в центре интервала [0, M – 1], что соответствует рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
