Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Интервал между копиямизадается значением 1/ΔT. Заметим, что хотя f¦(t) есть дискретизованная функция, ее Фурье-образ F¦(μ) будет непрерывным, поскольку состоит из копий F(μ),которая является непрерывной функцией.Графическое объединение полученных результатов5 показано на рис. 4.6.Рис. 4.6(а) представляет собой эскиз F(μ), Фурье-образа функции f(t), а нарис.
4.6(б) показана F¦(μ) — Фурье-образ дискретизованной функции. Как упо5Для ясности иллюстраций схемы преобразований Фурье на рис. 4.6, а также другие аналогичные рисунки в настоящей главе игнорируют тот факт, что Фурье-образ, какправило, является комплексной функцией.4.3. Дискретизация и преобразование Фурье дискретных функций261миналось в предыдущем разделе, значение 1/ΔT является частотой дискретизации, используемой для получения дискретизованной функции. Как видно,на рис. 4.6(б) частота дискретизации выбрана достаточно высокой, что позволяет обеспечить уверенное разделение периодов и тем самым сохранить правильность F(μ). На рис.
4.6(в) частота дискретизации является минимально возможной для сохранения F(μ), но на рис. 4.6(г) частота дискретизации выбрана нижеминимума, необходимого для сохранения точных копий F(μ), и тем самымне позволяет сохранить оригинальный Фурье-образ. Рис. 4.6(б) — результаттак называемой передискретизации или избыточной дискретизации, а рис. 4.6(в)и (г) — результаты критической дискретизации и субдискретизации сигнала соответственно. Эти понятия являются основой материала следующих разделов.4.3.3.
Теорема отсчетовИдея дискретизации была наглядно представлена в разделе 2.4. Сейчас рассмотрим процесс дискретизации формально и установим условия, при которых непрерывная функция может быть однозначно восстановлена по множеству своихотсчетов.Функция f(t), Фурье-образ которой равняется нулю на частотах вне некоторого конечного интервала (полосы) [–μmax, μmax] вокруг начала координат, называется функцией с ограниченной полосой частот. Рис.
4.7(а), который являетсяувеличенной центральной частью рис. 4.6(а), представляет Фурье-образ такойфункции. Аналогично на рис. 4.7(б) более детально показана центральная частьФурье-образа функции с точной дискретизацией, показанного на рис. 4.6(в).Более низкие значения 1/ΔT приведут к наложению точек F¦(μ), а более высокиезначения — к появлению пустых промежутков между копиями F(μ).абF(μ)–μ max0μμ max~F(μ)...μ max–μ max...μ–1–––2ΔT01–––2ΔT1––ΔTРис. 4.7. (а) Фурье-образ непрерывной функции с ограниченной полосой частот. (б) Фурье-образ той же функции, дискретизованной с частотойточной дискретизации262Глава 4. Фильтрация в частотной областиНепрерывная функция f(t) может быть восстановлена из своей дискретизованной версии, если можно выделить копию F(μ) из периодической последовательности копий этой функции, содержащейся в F¦(μ) — Фурье-образе дискретизованной функции f¦(t).
Напомним из обсуждения в предыдущем разделе,что F¦(μ) является непрерывной периодической функцией с периодом 1/ΔT. Такимобразом, для описания полного преобразования достаточно знать один полныйпериод. Из этого следует, что обратным преобразованием Фурье можно восстановить f(t) из единственного периода.Выделение из F¦(μ) единственного периода, эквивалентного F(μ), возможно в случае, если удается удовлетворительно провести границы между копиями(см. рис.
4.6). Согласно рис. 4.6(б), удовлетворительное разделение обеспечивается при 1/2 ΔT > 2μmax или1> 2μmax .ΔT(4.3-6)Это неравенство показывает, что непрерывная функция с ограниченной полосой частот может быть точно восстановлена по множеству своих отсчетов, еслиэти отсчеты сделаны с частотой, превышающей удвоенную верхнюю (максимальную) частоту сигнала функции.
Этот результат известен как теорема отсчетов 6. Основываясь на данном результате, можно утверждать, что если непрерывная функция с ограниченной полосой частот представляется наборомотсчетов, взятых с частотой, превышающей удвоенную верхнюю частоту сигнала функции, то потери информации не происходит7. И наоборот, можно утверждать, что максимальная частота, которая может быть «зафиксирована» придискретизации сигнала с частотой дискретизации 1/ΔT, составляет μmax = ΔT/2.Дискретизация с частотой Найквиста иногда является достаточной для точноговосстановления сигнала, однако имеются случаи, когда это приводит к трудностям, что иллюстрируется ниже в примере 4.3. Таким образом, теорема отсчетовопределяет, что дискретизация должна превышать частоту Найквиста.Чтобы увидеть, как в принципе возможно восстановление F(μ) из F¦(μ), рассмотрим рис.
4.8, показывающий преобразование Фурье функции, дискретизованной с частотой немного выше частоты Найквиста. Функция на рис. 4.8(б)задана формулой:⎧ΔTH ( μ) = ⎨⎩06−μmax ≤ μ ≤ μmax ,в остальных случаях.(4.3-7)Теорема отсчетов является краеугольным камнем теории цифровой обработкисигналов. Она была впервые сформулирована в 1928 г. Гарри Найквистом, ученым и инженером Bell Laboratories. Формально теорему доказал в 1949 г. Клод Шеннон, такжеиз Bell Laboratories.
Возобновление интереса к теореме отсчетов в конце 1940-х годовбыло вызвано появлением первых цифровых вычислительных систем и современныхсистем связи, что вызвало необходимость появления методов, оперирующих цифровыми данными (отсчетами). — Прим. авт.В русскоязычной литературе теорема отсчетов хорошо известна как теорема Котельникова. Теорема была предложена и доказана В. А. Котельниковым в 1933 году в работе«О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи». — Прим.
перев.7Частота отсчетов, равная удвоенной величине максимальной частоты сигнала,называется частотой Найквиста.4.3. Дискретизация и преобразование Фурье дискретных функцийабв263~F(μ)μ max–μ max......μ–2/ΔT–1/ΔT1/ΔT02/ΔTH(μ)ΔTμ0~F (μ) = H(μ)F (μ)–μ max0μμ maxРис. 4.8. Выделение одного периода Фурье-образа функции с ограниченной полосой частот при помощи идеального низкочастотного фильтраПри ΔT в (4.3-7) происходит сокращение 1/ΔT в выражении (4.3-5).При умножении на периодическую последовательность на рис. 4.8(а) этафункция выделяет период с центром в начале координат.
Т. е., как показанона рис. 4.8(в), при умножении F¦(μ) на H(μ) в результате мы получаем F(μ):F (μ) = H (μ)F% (μ) .(4.3-8)Получив F(μ), можно восстановить f(t) при помощи обратного преобразованияФурье:∞f (t ) =∫ F (μ)ei 2 πμtdμ .(4.3-9)−∞Формулы (4.3-7)—(4.3-9) доказывают, что теоретически возможно точно восстановить функцию с ограниченной полосой частот из отсчетов, взятых с частотой дискретизации, превышающей удвоенную верхнюю частоту функции.Как будет обсуждаться в следующем разделе, требование, чтобы f(t) являласьфункцией с ограниченной полосой частот, вообще говоря, означает, что f(t)должна продолжаться от –∞ до ∞ — условие, которое невозможно выполнитьна практике. Как скоро будет показано, ограничение длительности функциипрепятствует точному восстановлению функции, за исключением некоторыхособых случаев.264Глава 4.
Фильтрация в частотной областиФункция H(μ) называется низкочастотным фильтром, поскольку она пропускает частоты нижней части диапазона частот и задерживает (отфильтровывает) все высокие частоты. Она также называется идеальным низкочастотнымфильтром, поскольку содержит бесконечно крутые переходы по амплитуде (от 0до ΔT в точке –μmax и обратно в точке μmax), — характеристика, недостижимаяфизическими электронными компонентами. Идеальный фильтр можно создатьпрограммно, но даже в этом случае возникают ограничения, как это объясняется в разделе 4.7.2.
Позже в настоящей главе можно будет сказать о фильтрациизначительно больше. Фильтры, используемые для только что рассмотренныхцелей восстановления (реконструкции) исходной функции по своим отсчетам,называются фильтрами реконструкции, и их можно считать базовым инструментарием для этих задач.4.3.4. Наложение спектровВ этот момент логично задаться вопросом: «Что произойдет, если функцияс ограниченной полосой частот дискретизована с частотой, которая нижеудвоенной верхней частоты сигнала?» Это соответствует случаю субдискретизации, рассмотренному в предыдущем разделе. Иллюстрирующий этуситуацию рис.
4.9(а) повторяет рис. 4.6(г). В случае снижения частоты дискретизации ниже частоты Найквиста эффект состоит в том, что периоды перекрываются, и выделить единственный период становится невозможным независимо от используемого фильтра. Например, применение даже идеальногонизкочастотного фильтра на рис. 4.9(б) приведет к выделению Фурье-образа,который будет искажен на частотах, оказавшихся занятыми соседними периодами, как это видно на рис.
4.9(в). Обратное преобразование затем приведетк восстановлению искаженной функции от t. Этот эффект, вызываемый субдискретизацией финкции, известен как наложение диапазонов частот (спектров) или просто наложение 8 (aliasing). Образно говоря, наложение спектровесть процесс, в котором высокочастотные компоненты непрерывной функциив дискретизованной функции «притворяются» низкочастотными. Это согласуется с общим употреблением английского слова alias в значении «вымышленная личность, псевдоним».К сожалению, за исключением некоторых особых случаев, о которых речьниже, наложение спектров присутствует в дискретизованных сигналах всегда,8Термин наложение или совмещение (aliasing), чаще употребляемый в русскоязычных текстах в виде транслитерации элайсинг (с некоторыми вариациями написания),объединяет достаточно большой диапазон искажений изображений, на первый взгляд,не связанных друг с другом, таких как периодические структуры и муар, ступенчатостьгладких линий, «эффект колеса» — нарушение видимой скорости вращения объектовв видеопоследовательностях (вплоть до обратного) и другие.
Несмотря на явные различия в проявлении, корень у всех этих искажений один — неправильная дискретизацияисходного сигнала (или передискретизация при воспроизведении), когда нарушаетсяусловие теоремы Котельникова и в спектре сигнала (пространственном или временнóм)остаются частоты выше частоты Найквиста, что в результате приводит к наложениюспектров (отсюда и название). Более подробно этот вопрос рассматривается в разделе4.5.4. — Прим. перев.4.3. Дискретизация и преобразование Фурье дискретных функцийабв265~F( μ)μ max–μ max......μ–3/ΔT–2/ΔT –1/ΔT01/ΔT2/ΔT3/ΔTH(μ)ΔTμ0~F(μ) = H(μ) F(μ)–μ max0μ maxμРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
