Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Последние два выражения являются эквивалентными представлениями единичной окружности с центром в начале координаткомплексной плоскости.В разделе 4.3 нам потребуется воспользоваться Фурье-преобразованиемпериодической последовательности импульсов. Выполнение этого преобразования не настолько очевидно, как только что было показано для одиночныхимпульсов. Однако понимание того, как осуществить преобразование последовательности импульсов, является весьма важным, поэтому мы потратим сейчасвремя на детальное рассмотрение этой процедуры.Заметим, что единственная разница в форме выражений (4.2-16) и (4.2-17)состоит в знаке показателя экспоненты. Тем самым, если функция f(t) имеетпреобразование Фурье F(μ), то, значит, выразив последнюю относительно t, т. е.в виде F(t), получим, что ее преобразование Фурье будет равно f(–μ).
Из данного свойства симметрии, а также (как было показано выше) того, что Фурьепреобразование импульса δ(t – t0) равно e −i 2 πμt0 , вытекает, что функция e −i 2 πt0tимеет преобразование δ(–μ – t0). Делая замену –t0 = a, получим, что Фурьепреобразование от ei 2πat будет δ(–μ + a) = δ(a – μ).
Последнее действие справедливо, поскольку δ(t) — функция симметричная, т. е. δ(t) = δ(–t).Последовательность импульсов sΔT (t) в выражении (4.2-14) является периодической с периодом ΔT; как уже известно из раздела 4.2.2, она может быть выражена рядом Фурье:sΔT (t ) =где∞∑ cnei2πntΔT,n =−∞ΔT / 2cn =2 πn−it1ΔTs(t)edt .ΔT∫T −ΔT /2Взглянув на рис.
4.3, видно, что в интервал [–ΔT/2, ΔT/2], по которому беретсяинтеграл, попадает лишь один импульс sΔT (t), находящийся в начале координат.Таким образом, предыдущее выражение равноΔT / 2cn =2 πn−it11 01.sΔT (t )e ΔT dt =e =∫T −ΔT /2ΔTΔTРазложение в ряд Фурье тогда принимает вид256Глава 4. Фильтрация в частотной областиsΔT (t ) =1ΔT∞∑ei2πntΔT.n =−∞Цель состоит в получении Фурье-преобразования этого выражения. Посколькусуммирование есть линейный процесс, то Фурье-преобразование суммы равносумме преобразований отдельных слагаемых. Эти слагаемые являются экспоненциальными функциями, и ранее было показано, чтоF{ei2πntΔTn ⎞⎛} = δ ⎜μ −⎟.⎝ΔT ⎠Таким образом S(μ), Фурье-преобразование периодической последовательности импульсов sΔT (t) будет равно⎧ 1S (μ) = F{sΔT (t )} = F ⎨⎩ ΔT∞∑en =−∞i2 πntΔT⎫ 1 ⎧ ∞ i 2ΔπTnt ⎫ 1F⎨ ∑ e⎬=⎬=⎭ ΔT ⎩n=−∞⎭ ΔT∞⎛n ⎞∑ δ ⎜⎝μ − ΔT ⎟⎠ .n =−∞Этот фундаментальный результат показывает, что Фурье-преобразование последовательности импульсов с периодом ΔT также является последовательностью импульсов, период которой 1/ΔT.
Эта обратная пропорциональностьмежду периодами sΔT(t) и S(μ) аналогична тому, что было показано на рис. 4.4в связи с прямоугольной функцией и ее преобразованием. Данное свойство■играет фундаментальную роль в оставшейся части настоящей главы.4.2.5. СверткаДля дальнейшего построения нужен еще один блок. Общее представлениео свертке было дано в разделе 3.4.2, где мы показали, что при свертке двух функций одна из них переворачивается (поворотом на 180° относительно ее началакоординат) и затем скользит (постепенно смещается) по другой.
Для каждогозначения смещения выполняются вычисления, которые в случае, рассматриваемом в главе 3, являлись суммой произведений двух функций. В данный моментнас интересует свертка двух непрерывных функций f(t) и h(t) одной непрерывнойпеременной t, поэтому вместо суммирования необходимо использовать интегрирование. Свертка двух таких функций, обозначаемая, как и ранее, оператором , определяется следующим образом:∞f (t )h(t ) =∫ f (τ)h(t − τ)d τ ,(4.2-20)−∞где знак минус обеспечивает только что упомянутый переворот, t есть параметрсмещения, необходимый для определения положения одной функции относительно другой, а τ — переменная интегрирования. Пока здесь предполагается,что функции определены на интервале от –∞ до ∞.Механизм выполнения свертки излагался в разделе 3.4.2, пояснения будут продолжены позже в настоящей главе, а также в главе 5.
В данный моментнас интересует нахождение преобразования Фурье уравнения (4.2-20). Начнемс формулы (4.2-15):4.3. Дискретизация и преобразование Фурье дискретных функций257∞∞⎡∞⎤⎡∞⎤ −i 2 πμt− i 2πμtf(τ)h(t−τ)dτedt=f(τ)dt ⎥ d τ .⎢ ∫ h(t − τ)e⎢⎥∫−∞ ⎣−∞∫∫⎣−∞⎦⎦−∞Член в квадратных скобках — Фурье-преобразование от h(t – τ). Ниже в настоящей главе будет показано, что F{h(t – τ)} = H(μ)e–i2πμτ, где H(μ) — Фурьепреобразование от h(t). Используя этот факт, последнее выражение может бытьпреобразовано:F{ f (t )h(t )} =∞F{ f (t )h(t )} =∫−∞∞f (τ) ⎡⎣H (μ)e −i 2 πμτ ⎤⎦ d τ = H (μ) ∫ f (τ)e −i 2 πμτ d τ = H (μ)F (μ) .−∞Тот же самый результат можно получить, если изменить порядок f(t) и h(t) на обратный; т.
е. свертка является коммутативной операцией.В разделе 4.2.4 мы назвали область определения t пространственной областью,а область определения μ — частотной областью. Тем самым последнее выражение говорит, что Фурье-образ свертки двух функций в пространственной области эквивалентен произведению в частотной области Фурье-образов этих двухфункций. И наоборот, если имеется произведение двух Фурье-образов, можнополучить свертку в пространственной области путем вычисления обратногопреобразования Фурье. Другими словами, f(t)h(t) и H(μ)F(μ) образуют Фурьепару. Этот результат составляет первую половину теоремы о свертке и записывается в видеf (t )h(t ) ⇔ H (μ)F (μ) .(4.2-21)Двойная стрелка используется для указания, что выражение в правой части получается Фурье-преобразованием выражения в левой, и наоборот, выражениев левой части получается обратным Фурье-преобразованием выражения в правой части.Выполняя аналогичные преобразования, можно получить вторую половину теоремы о свертке:f (t )h(t ) ⇔ H (μ)F (μ) ,(4.2-22)которая утверждает, что свертка в частотной области аналогична умножениюв пространственной области; обе части связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье соответственно.
Как будет показано ниже в данной главе,теорема о свертке является основой для изучения вопросов фильтрации в частотной области.4.3. Äèñêðåòèçàöèÿ è ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüåäèñêðåòíûõ ôóíêöèéЧтобы сформулировать основу для математического выражения дискретизации, в данном разделе будет использоваться концепция из раздела 4.2. Начиная258Глава 4. Фильтрация в частотной областис основных принципов, это приведет нас к преобразованию Фурье дискретныхфункций.4.3.1.
ДискретизацияДля обработки на компьютере непрерывные функции должны быть преобразованы в последовательность дискретных значений. Как пояснялось в разделе 2.4,это осуществляется при помощи операций дискретизации и квантования. В последующем обсуждении дискретизация будет рассмотрена более подробно.Взятие отсчетов на расстоянии ΔT друг от друга задает частоту дискретизацииравной 1/ΔT. Если ΔT определяется в секундах, то частота дискретизации будетизмеряться в числе отсчетов в секунду. Если ΔT определяется в метрах, то частотадискретизации будет измеряться в метрах в секунду и т.
д.Используя рис. 4.5 в качестве иллюстрации, рассмотрим непрерывнуюфункцию f(t), которую требуется дискретизовать по непрерывной переменной tс интервалом (шагом) дискретизации ΔT. Предполагается, что функции определены для аргумента t от –∞ до ∞. Одним из способов осуществить дискретизацию является умножение f(t) на функцию дискретизации, являющуюся последовательностью отдельных импульсов (4.2-14), отстоящих друг от друга на ΔT, какэто обсуждалось в разделе 4.2.3, т. е.f% (t ) = f (t )sΔT (t ) =∞∑ f (t )δ(t − nΔT ),(4.3-1)n =−∞где f¦(t) означает уже дискретизованную функцию.
Каждый компонент суммирования является импульсом с весовым вкладом, равным значению f(t) в точкеимпульса, как это показано на рис. 4.5(в). Значение каждого отсчета определяется «весом» импульса, который получается при интегрировании. Таким образом, значение f k произвольного отсчета в последовательности дается формулой∞fk =∫ f (t )δ(t − k ΔT )dt = f (k ΔT ) ,(4.3-2)−∞где использовалось отсеивающее свойство δ в равенстве (4.2-10).
Выражение(4.3-2) справедливо для всех допустимых целых значений k = ..., –2, –1, 0, 1, 2,... .На рис. 4.5(г) показан результат, состоящий из множества равноотстоящих отсчетов исходной функции.4.3.2. Преобразование Фурье дискретизованных функцийПусть F(μ) означает Фурье-преобразование непрерывной функции f(t). Как обсуждалось в предыдущем разделе, соответствующая дискретизованная функция f¦(t) есть произведение f(t) и последовательности импульсов.
Из теоремыо свертке (раздел 4.2.5) известно, что Фурье-преобразование произведения двухфункций в пространственной области есть свертка Фурье-образов обеих функций в частотной области. Таким образом, Фурье-преобразованием F¦(μ) дискретизованной функции f¦(t) является выражение:4.3. Дискретизация и преобразование Фурье дискретных функцийабвг259f(t)......t0sΔT (t)......tΔT 2ΔT . . .. .
. –2ΔT –ΔT 0f(t)sΔT (t)......t. . . –2ΔT –ΔT 0 ΔT 2ΔT . . .f k = f(kΔT)....... . . –2 –1021k...Рис. 4.5. (а) Непрерывная функция. (б) Последовательность импульсов, используемая для моделирования процесса дискретизации. (в) Дискретизованная функция, полученная как произведение (а) на (б). (г) Дискретизованные значения, полученные интегрированием и использованиемотсеивающего свойства импульса. (Пунктирная линия на (в) приведена для иллюстрации; она не является частью данных)F% (μ) = F{ f% (t )} = F{ f (t )sΔT (t )} = F (μ)S (μ) ,(4.3-3)где из примера 4.2n ⎞1 ∞ ⎛(4.3-4)δ ⎜μ −⎟∑⎝ΔT n=−∞ΔT ⎠является Фурье-преобразованием последовательности импульсов sΔT (t). Свертку F(μ) и S(μ) получим непосредственно из определения свертки (4.2-20):S ( μ) =F% (μ) = F (μ)S (μ) =∞1−∞1=ΔT∞∞∞∞−∞n = −∞⎛n ⎞∫ F (τ)S (μ − τ)d τ = ΔT ∫ F (τ) ∑ δ ⎜⎝μ − τ − ΔT ⎟⎠ d τ =1n ⎞⎛F (τ)δ ⎜ μ − τ −⎟⎠ d τ =∑∫⎝ΔΔTTn =−∞ −∞∞n ⎞⎛F ⎜μ −⎟,∑⎝ΔT⎠n =−∞(4.3-5)260Глава 4. Фильтрация в частотной областиабвгF(μ)μ0~F(μ)......μ–1/ΔT–2/ΔT1/ΔT02/ΔT~F (μ)......μ–2/ΔT–1/ΔT01/ΔT2/ΔT~F (μ)......μ–3/ΔT–2/ΔT–1/ΔT01/ΔT2/ΔT3/ΔTРис.
4.6. (а) Фурье-преобразование непрерывной функции с ограниченной полосой частот. (б)—(г) Преобразования соответствующих дискретизованных функций при условии избыточной дискретизации, точной дискретизации и субдискретизации соответственногде последний шаг следует из отсеивающего свойства импульса, как это показано равенством (4.2-10).Суммирование в последнем шаге выражения (4.3-5) показывает, что Фурьеобраз F¦(μ) дискретизованной функции f¦(t) представляет собой бесконечнуюпериодическую последовательностью копий функции F(μ), которая являетсяФурье-образом исходной, непрерывной функции f(t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
