Главная » Просмотр файлов » Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012)

Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 57

Файл №1246138 Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012)) 57 страницаГонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138) страница 572021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Так, комплексная250Глава 4. Фильтрация в частотной областифункция F(u) переменной u может быть выражена как сумма F(u) = R(u) + iI(u),где R(u) и I(u) — действительная и мнимая компоненты функции. Как и ранее,комплексно сопряженной функцией будет F(u) = R(u) – iI(u), амплитуда равнаF (u ) = R(u )2 + I (u )2 , а угол θ(u) = arctg(I(u)/R(u)).

Мы вернемся несколько разк комплексным числам на протяжении этой и следующей глав.4.2.2. Ряды ФурьеКак отмечено в разделе 4.1.1, функция f(t) непрерывной переменной t, имеющаяпериод T, может быть выражена в виде суммы синусов и косинусов, умноженных на соответствующие коэффициенты. Данная сумма, известная как ряд Фурье, имеет видf (t ) =∞∑ cnei2πntT,(4.2-6)n =−∞где коэффициенты cn равны2 πn−it1Tf(t)edt для n = 0, ±1, ±2,....∫T −T /2T /2c(n) =(4.2-7)Тот факт, что выражение (4.2-6) есть разложение на синусы и косинусы, следуетиз формулы Эйлера (4.2-4).

Мы еще вернемся к ряду Фурье позже в данном разделе.4.2.3. Импульсы и их свойство отсеиванияКонцепция импульса и его свойств отсеивания является центральной в изучении линейных систем и преобразования Фурье. Единичный импульс непрерывной переменной t, локализованный в точке t = 0 и обозначаемый δ(t), определяется как⎧ ∞ если t = 0,(4.2-8a)δ(t ) = ⎨⎩0 если t ≠ 0,Импульс не является функцией в обычном смысле. Более точным названиемдля него является распределение или обобщенная функция. Однако часто можно встретить в литературе названия «импульсная функция», «дельта-функция»и «дельта-функция Дирака», несмотря на неправильное употребление.удовлетворяющий также тождеству∞∫ δ(t )dt =1.(4.2-8б)−∞Физически, если интерпретировать t как время, импульс может быть представлен как всплеск бесконечной амплитуды и нулевой длительности, имеющийединичную площадь.

В связи с интегрированием импульс имеет так называемое свойство отсеивания:«Отсеивать» буквально означает «разделять или выделять путем пропусканиячерез сито».4.2. Предварительные понятия251∞∫ f (t )δ(t )dt = f (0) ,(4.2-9)−∞при условии, что f(t) непрерывна в точке t = 0, — условии, обычно удовлетворяемом на практике. Отсеивание просто дает на выходе значение функции f(t)в точке локализации импульса (например в начале координат, согласно предыдущему равенству). Более общее выражение свойства отсеивания касается импульса, локализованного в произвольной точке t0, обозначаемого δ(t – t0). В этомслучае свойство отсеивания приобретает вид∞∫ f (t )δ(t − t )dt = f (t ) ,00(4.2-10)−∞что дает на выходе значение функции в точке локализации импульса t0.

Например, если f(t) = cos(t), используя импульс δ(t – π), получим результат:f(π) = cos(π) = –1. Сила концепции отсеивания скоро станет совершенно очевидной.Пусть x представляет собой дискретную переменную. Единичный дискретныйимпульс δ(t) в контексте дискретных систем служит достижению тех же целей,что и импульс f(t) при работе с непрерывными переменными. δ(t) определяетсяследующим образом:⎧1 если x = 0,δ( x ) = ⎨⎩0 если x ≠ 0.(4.2-11a)Очевидно, это определение также удовлетворяет дискретному аналогу выражения (4.2-8б):∞∑ δ( x ) =1.(4.2-11б)x=−∞Свойство отсеивания для дискретной переменной имеет вид∞∑ f ( x )δ( x ) = f (0) ,(4.2-12)x =−∞или в более общем виде, с использованием дискретного импульса, локализованного в точке x = x0:∞∑ f ( x )δ( x − x ) = f ( x ).00(4.2-13)x =−∞Как и ранее, видно, что в дискретном случае свойство отсеивания просто возвращает значение функции в точке импульса.

На рис. 4.2 представлена диаграмма дискретного единичного импульса. В отличие от своего непрерывногоаналога, дискретный импульс является обычной функцией.Особенный интерес представляет последовательность импульсов sΔT (t), определяемая как сумма бесконечно большого числа периодически расположенныхимпульсов, отстоящих друг от друга на ΔT:sΔT (t ) =∞∑ δ(t − nΔT ).n =−∞(4.2-14)252Глава 4. Фильтрация в частотной областиδ(x – x0)1xx00Рис.

4.2. Единичный дискретный импульс, локализованный в точке x = x0. Переменная x является дискретной и δ равна 0 везде, кроме x = x0sΔT (t).... . . –3ΔT...–2ΔT–ΔTΔT02ΔT3ΔT . . .tРис. 4.3. Последовательность импульсовПоследовательность импульсов представлена на рис. 4.3. Импульсы могут бытькак непрерывными, так и дискретными.4.2.4. Преобразование Фурье функции одной непрерывнойпеременнойПреобразование Фурье (Фурье-образ) непрерывной функции f(t) одной непрерывной переменной t, обозначаемое F, определяется выражением3∞F{ f (t )} =∫ f (t )e− i 2πμtdt ,(4.2-15)−∞где μ также является непрерывной переменной. Поскольку при интегрированиипеременная t исключается, F{f(t)} оказывается функцией только от μ. Мы явноуказываем на этот факт, записывая преобразование Фурье как F{f(t)} = F(μ);3Условия существования преобразования Фурье в общем случае сформулироватьсложно [Champeney, 1987], но достаточным условием его существования является конечность интеграла абсолютной величины f(t) либо интеграла квадрата f(t).

На практикевопрос существования редко является проблемой, за исключением идеализированныхсигналов, таких как синусоиды, которые продолжаются в бесконечность. Для их рассмотрения используют обобщенные импульсные функции. Нас в основном интересуетпара дискретных преобразований Фурье, которая, как будет вскоре видно, гарантированно существует для всех финитных функций.4.2. Предварительные понятия253а значит, преобразование Фурье от f(t) может быть для удобства представленов виде4∞F ( μ) =∫ f (t )e− i 2 πμtdt .(4.2-16)−∞И наоборот, зная F(μ), можно восстановить f(t), используя обратное преобразование Фурье f(t) = F–1{F(μ)}, записываемое как∞f (t ) =∫ F (μ)ei 2 πμtdμ ,(4.2-17)−∞где мы использовали тот факт, что переменная μ исключается при обратномпреобразовании, и записали просто f(t) вместо более громоздкого f(t) = F–1{F(μ)}.Выражения (4.2-16) и (4.2-17) составляют так называемую пару преобразованийФурье, а входящие в них функции образуют Фурье-пару.

Они демонстрируютважный факт, указанный в разделе 4.1, что, зная Фурье-образ, можно получитьисходную функцию.Используя формулу Эйлера, можно записать (4.2-16) в виде∞F ( μ) =∫ f (t )[cos(2πμt ) − i sin(2πμt )]dt .(4.2-18)−∞Видно, что если f(t) является действительной функцией, то ее Фурье-образ вообще говоря, будет комплексным. Отметим, что преобразование Фурье является разложением f(t), умноженным на синусоидальные члены, частоты которыхопределяются значениями μ (как уже говорилось, переменная t исключается приинтегрировании).

Поскольку единственной переменной, остающейся после интегрирования, является частота, то область определения Фурье-образа называютчастотной областью. Более детально частотная область и ее свойства будут рассматриваться в этой главе позже. В наших обсуждениях t может представлять любую непрерывную переменную, а единица измерения μ зависит от единицы измерения t. Например, если t представляет время в секундах, то μ будет измерятьсяв числе периодов в секунду, т. е.

в герцах. Если t представляет расстояние в метрах,то μ будет измеряться в числе периодов в метре (величине, обратной длине волны)и так далее. Другими словами, единицей измерения в частотной области являетсячисло колебаний на единицу независимой переменной исходной функции.Для согласованности терминологии, используемой как в предыдущих двух главах, так и в дальнейшем в связи с изображениями, будем называть область определения переменной t в общем случае пространственной областью.Пример 4.1.

Получение Фурье-преобразования прямоугольной функции.■ Преобразование Фурье прямоугольной функции, представленнойна рис. 4.4(а), легко получить из выражения (4.2-16)4Наряду с приведенной формой распространены другие определения преобразования Фурье, отличающиеся выбором коэффициентов в показателе экспоненты, а также перед интегралом. Все свойства при этом сохраняются, но вид каких-то формул может измениться. — Прим. перев.254Глава 4. Фильтрация в частотной области|F (μ)|F( μ)f (t)а б вAWAWA1/W–1/ W–W/ 20tW/ 20. . .

–2/ Wμ2/W . . .. . . –2/Wμ0–1/W1/ W2/ W . . .Рис. 4.4. (а) Простая прямоугольная функция; (б) ее Фурье-образ; (в) ее спектр.Все функции продолжаются в бесконечность в обоих направлениях∞F ( μ) =∫−∞W /2f (t )e −i 2 πμt dt =∫Ae −i 2 πμt dt =−W / 2− A −i 2 πμt W /2⎡e⎤⎦ −W /2 =i 2πμ ⎣sin( πμW )A− A −i πμW i πμW⎡⎣e⎤⎦ =⎡⎣ei πμW − e −i πμW ⎤⎦ = AW,=−ei 2πμ( πμW )i 2πμгде использовалось тригонометрическое тождество sin θ = (eiθ – e–iθ)/2i. В этомслучае комплексные члены преобразования Фурье прекрасно преобразуютсяв функцию действительного синуса. Результат, полученный на последнем шагевыражения, известен как функция sinc (кардинальный синус):sinc(m) =sin( πm),( πm)(4.2-19)где sinc(0) = 1 и sinc(m) = 0 для всех остальных целых значений m.

На рис. 4.4(б)показан график F(μ).В общем случае преобразование Фурье содержит комплексные члены, поэтому для визуализации обычно используют амплитуду преобразования (являющуюся действительной величиной), называемую Фурье-спектром или частотным спектром:F (μ) = AWsin( πμW ).( πμW )График |F(μ)| как функции частоты показан на рис. 4.4(в). Важнейшие свойства,которые необходимо отметить, состоят в том, что расстояние между нулямикак функции F(μ), так и |F(μ)|, обратно пропорциональны W — ширине прямоугольной функции; что высота лепестков уменьшается как функция расстоянияот начала координат; а также что функция продолжается в бесконечность какдля положительных, так и для отрицательных значений μ.

Как будет видно позже, эти свойства весьма помогают в интерпретации спектров двумерных Фурьеобразов изображений.■Пример 4.2. Фурье-преобразования импульса и последовательности импульсов.■ Фурье-преобразование единичного импульса, расположенного в начале координат, вытекает из выражения (4.2-16)4.2. Предварительные понятияF ( μ) =∞∞−∞−∞255− i 2 πμt− i 2 πμt− i 2 πμ⋅0= e 0 = 1,∫ δ(t )e dt = ∫ e δ(t )dt = eгде третий шаг следует из свойства отсеивания в выражении (4.2-9). Таким образом, Фурье-образ импульса, расположенного в начале координат пространственной области, является константой в частотной области. Подобным образом Фурье-образ импульса, расположенного в точке t = t0, будетF ( μ) =∞∞−∞−∞− i 2 πμt− i 2 πμt− i 2 πμt∫ δ(t − t0 )e dt = ∫ e δ(t − t0 )dt = e 0 = cos(2πμt0 ) − i sin(2πμt0 ) ,где третий шаг следует из свойства отсеивания в выражении (4.2-10), а последний — из формулы Эйлера.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
21,41 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее