Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Так, комплексная250Глава 4. Фильтрация в частотной областифункция F(u) переменной u может быть выражена как сумма F(u) = R(u) + iI(u),где R(u) и I(u) — действительная и мнимая компоненты функции. Как и ранее,комплексно сопряженной функцией будет F(u) = R(u) – iI(u), амплитуда равнаF (u ) = R(u )2 + I (u )2 , а угол θ(u) = arctg(I(u)/R(u)).
Мы вернемся несколько разк комплексным числам на протяжении этой и следующей глав.4.2.2. Ряды ФурьеКак отмечено в разделе 4.1.1, функция f(t) непрерывной переменной t, имеющаяпериод T, может быть выражена в виде суммы синусов и косинусов, умноженных на соответствующие коэффициенты. Данная сумма, известная как ряд Фурье, имеет видf (t ) =∞∑ cnei2πntT,(4.2-6)n =−∞где коэффициенты cn равны2 πn−it1Tf(t)edt для n = 0, ±1, ±2,....∫T −T /2T /2c(n) =(4.2-7)Тот факт, что выражение (4.2-6) есть разложение на синусы и косинусы, следуетиз формулы Эйлера (4.2-4).
Мы еще вернемся к ряду Фурье позже в данном разделе.4.2.3. Импульсы и их свойство отсеиванияКонцепция импульса и его свойств отсеивания является центральной в изучении линейных систем и преобразования Фурье. Единичный импульс непрерывной переменной t, локализованный в точке t = 0 и обозначаемый δ(t), определяется как⎧ ∞ если t = 0,(4.2-8a)δ(t ) = ⎨⎩0 если t ≠ 0,Импульс не является функцией в обычном смысле. Более точным названиемдля него является распределение или обобщенная функция. Однако часто можно встретить в литературе названия «импульсная функция», «дельта-функция»и «дельта-функция Дирака», несмотря на неправильное употребление.удовлетворяющий также тождеству∞∫ δ(t )dt =1.(4.2-8б)−∞Физически, если интерпретировать t как время, импульс может быть представлен как всплеск бесконечной амплитуды и нулевой длительности, имеющийединичную площадь.
В связи с интегрированием импульс имеет так называемое свойство отсеивания:«Отсеивать» буквально означает «разделять или выделять путем пропусканиячерез сито».4.2. Предварительные понятия251∞∫ f (t )δ(t )dt = f (0) ,(4.2-9)−∞при условии, что f(t) непрерывна в точке t = 0, — условии, обычно удовлетворяемом на практике. Отсеивание просто дает на выходе значение функции f(t)в точке локализации импульса (например в начале координат, согласно предыдущему равенству). Более общее выражение свойства отсеивания касается импульса, локализованного в произвольной точке t0, обозначаемого δ(t – t0). В этомслучае свойство отсеивания приобретает вид∞∫ f (t )δ(t − t )dt = f (t ) ,00(4.2-10)−∞что дает на выходе значение функции в точке локализации импульса t0.
Например, если f(t) = cos(t), используя импульс δ(t – π), получим результат:f(π) = cos(π) = –1. Сила концепции отсеивания скоро станет совершенно очевидной.Пусть x представляет собой дискретную переменную. Единичный дискретныйимпульс δ(t) в контексте дискретных систем служит достижению тех же целей,что и импульс f(t) при работе с непрерывными переменными. δ(t) определяетсяследующим образом:⎧1 если x = 0,δ( x ) = ⎨⎩0 если x ≠ 0.(4.2-11a)Очевидно, это определение также удовлетворяет дискретному аналогу выражения (4.2-8б):∞∑ δ( x ) =1.(4.2-11б)x=−∞Свойство отсеивания для дискретной переменной имеет вид∞∑ f ( x )δ( x ) = f (0) ,(4.2-12)x =−∞или в более общем виде, с использованием дискретного импульса, локализованного в точке x = x0:∞∑ f ( x )δ( x − x ) = f ( x ).00(4.2-13)x =−∞Как и ранее, видно, что в дискретном случае свойство отсеивания просто возвращает значение функции в точке импульса.
На рис. 4.2 представлена диаграмма дискретного единичного импульса. В отличие от своего непрерывногоаналога, дискретный импульс является обычной функцией.Особенный интерес представляет последовательность импульсов sΔT (t), определяемая как сумма бесконечно большого числа периодически расположенныхимпульсов, отстоящих друг от друга на ΔT:sΔT (t ) =∞∑ δ(t − nΔT ).n =−∞(4.2-14)252Глава 4. Фильтрация в частотной областиδ(x – x0)1xx00Рис.
4.2. Единичный дискретный импульс, локализованный в точке x = x0. Переменная x является дискретной и δ равна 0 везде, кроме x = x0sΔT (t).... . . –3ΔT...–2ΔT–ΔTΔT02ΔT3ΔT . . .tРис. 4.3. Последовательность импульсовПоследовательность импульсов представлена на рис. 4.3. Импульсы могут бытькак непрерывными, так и дискретными.4.2.4. Преобразование Фурье функции одной непрерывнойпеременнойПреобразование Фурье (Фурье-образ) непрерывной функции f(t) одной непрерывной переменной t, обозначаемое F, определяется выражением3∞F{ f (t )} =∫ f (t )e− i 2πμtdt ,(4.2-15)−∞где μ также является непрерывной переменной. Поскольку при интегрированиипеременная t исключается, F{f(t)} оказывается функцией только от μ. Мы явноуказываем на этот факт, записывая преобразование Фурье как F{f(t)} = F(μ);3Условия существования преобразования Фурье в общем случае сформулироватьсложно [Champeney, 1987], но достаточным условием его существования является конечность интеграла абсолютной величины f(t) либо интеграла квадрата f(t).
На практикевопрос существования редко является проблемой, за исключением идеализированныхсигналов, таких как синусоиды, которые продолжаются в бесконечность. Для их рассмотрения используют обобщенные импульсные функции. Нас в основном интересуетпара дискретных преобразований Фурье, которая, как будет вскоре видно, гарантированно существует для всех финитных функций.4.2. Предварительные понятия253а значит, преобразование Фурье от f(t) может быть для удобства представленов виде4∞F ( μ) =∫ f (t )e− i 2 πμtdt .(4.2-16)−∞И наоборот, зная F(μ), можно восстановить f(t), используя обратное преобразование Фурье f(t) = F–1{F(μ)}, записываемое как∞f (t ) =∫ F (μ)ei 2 πμtdμ ,(4.2-17)−∞где мы использовали тот факт, что переменная μ исключается при обратномпреобразовании, и записали просто f(t) вместо более громоздкого f(t) = F–1{F(μ)}.Выражения (4.2-16) и (4.2-17) составляют так называемую пару преобразованийФурье, а входящие в них функции образуют Фурье-пару.
Они демонстрируютважный факт, указанный в разделе 4.1, что, зная Фурье-образ, можно получитьисходную функцию.Используя формулу Эйлера, можно записать (4.2-16) в виде∞F ( μ) =∫ f (t )[cos(2πμt ) − i sin(2πμt )]dt .(4.2-18)−∞Видно, что если f(t) является действительной функцией, то ее Фурье-образ вообще говоря, будет комплексным. Отметим, что преобразование Фурье является разложением f(t), умноженным на синусоидальные члены, частоты которыхопределяются значениями μ (как уже говорилось, переменная t исключается приинтегрировании).
Поскольку единственной переменной, остающейся после интегрирования, является частота, то область определения Фурье-образа называютчастотной областью. Более детально частотная область и ее свойства будут рассматриваться в этой главе позже. В наших обсуждениях t может представлять любую непрерывную переменную, а единица измерения μ зависит от единицы измерения t. Например, если t представляет время в секундах, то μ будет измерятьсяв числе периодов в секунду, т. е.
в герцах. Если t представляет расстояние в метрах,то μ будет измеряться в числе периодов в метре (величине, обратной длине волны)и так далее. Другими словами, единицей измерения в частотной области являетсячисло колебаний на единицу независимой переменной исходной функции.Для согласованности терминологии, используемой как в предыдущих двух главах, так и в дальнейшем в связи с изображениями, будем называть область определения переменной t в общем случае пространственной областью.Пример 4.1.
Получение Фурье-преобразования прямоугольной функции.■ Преобразование Фурье прямоугольной функции, представленнойна рис. 4.4(а), легко получить из выражения (4.2-16)4Наряду с приведенной формой распространены другие определения преобразования Фурье, отличающиеся выбором коэффициентов в показателе экспоненты, а также перед интегралом. Все свойства при этом сохраняются, но вид каких-то формул может измениться. — Прим. перев.254Глава 4. Фильтрация в частотной области|F (μ)|F( μ)f (t)а б вAWAWA1/W–1/ W–W/ 20tW/ 20. . .
–2/ Wμ2/W . . .. . . –2/Wμ0–1/W1/ W2/ W . . .Рис. 4.4. (а) Простая прямоугольная функция; (б) ее Фурье-образ; (в) ее спектр.Все функции продолжаются в бесконечность в обоих направлениях∞F ( μ) =∫−∞W /2f (t )e −i 2 πμt dt =∫Ae −i 2 πμt dt =−W / 2− A −i 2 πμt W /2⎡e⎤⎦ −W /2 =i 2πμ ⎣sin( πμW )A− A −i πμW i πμW⎡⎣e⎤⎦ =⎡⎣ei πμW − e −i πμW ⎤⎦ = AW,=−ei 2πμ( πμW )i 2πμгде использовалось тригонометрическое тождество sin θ = (eiθ – e–iθ)/2i. В этомслучае комплексные члены преобразования Фурье прекрасно преобразуютсяв функцию действительного синуса. Результат, полученный на последнем шагевыражения, известен как функция sinc (кардинальный синус):sinc(m) =sin( πm),( πm)(4.2-19)где sinc(0) = 1 и sinc(m) = 0 для всех остальных целых значений m.
На рис. 4.4(б)показан график F(μ).В общем случае преобразование Фурье содержит комплексные члены, поэтому для визуализации обычно используют амплитуду преобразования (являющуюся действительной величиной), называемую Фурье-спектром или частотным спектром:F (μ) = AWsin( πμW ).( πμW )График |F(μ)| как функции частоты показан на рис. 4.4(в). Важнейшие свойства,которые необходимо отметить, состоят в том, что расстояние между нулямикак функции F(μ), так и |F(μ)|, обратно пропорциональны W — ширине прямоугольной функции; что высота лепестков уменьшается как функция расстоянияот начала координат; а также что функция продолжается в бесконечность какдля положительных, так и для отрицательных значений μ.
Как будет видно позже, эти свойства весьма помогают в интерпретации спектров двумерных Фурьеобразов изображений.■Пример 4.2. Фурье-преобразования импульса и последовательности импульсов.■ Фурье-преобразование единичного импульса, расположенного в начале координат, вытекает из выражения (4.2-16)4.2. Предварительные понятияF ( μ) =∞∞−∞−∞255− i 2 πμt− i 2 πμt− i 2 πμ⋅0= e 0 = 1,∫ δ(t )e dt = ∫ e δ(t )dt = eгде третий шаг следует из свойства отсеивания в выражении (4.2-9). Таким образом, Фурье-образ импульса, расположенного в начале координат пространственной области, является константой в частотной области. Подобным образом Фурье-образ импульса, расположенного в точке t = t0, будетF ( μ) =∞∞−∞−∞− i 2 πμt− i 2 πμt− i 2 πμt∫ δ(t − t0 )e dt = ∫ e δ(t − t0 )dt = e 0 = cos(2πμt0 ) − i sin(2πμt0 ) ,где третий шаг следует из свойства отсеивания в выражении (4.2-10), а последний — из формулы Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
