Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Это означает, что данные в наборе Fm требуют переупорядочения отсчетов от нижней частотык верхней. Это цена, которую приходится платить за удобство обозначений, беря отсчеты в точках m = 0, 1, 2,..., M – 1 вместо использования отсчетов по обе стороны от началакоординат, что потребовало бы отрицательной индексации.
Процедура исправленияпорядка данных рассмотрена в разделе 4.6.3.270Глава 4. Фильтрация в частотной областипеременных — u и v; все эти переменные предполагаются целыми11. Тогда выражения (4.4-4) и (4.4-5) примут вид:M −1F (u ) = ∑ f ( x )e −i 2 πmx /Mu = 0,1, 2,..., M − 1(4.4-6)x = 0,1, 2,..., M − 1,(4.4-7)x =0иf (x) =1MM −1∑ F (u)ei 2 πux /Mu =0где мы для простоты вместо индексов использовали обозначения функций.Совершенно ясно, что F(u) ≡ F m и f(x) ≡ fn. Начиная с этого места, мы будемиспользовать выражения (4.4-6) и (4.4-7) для обозначения одномерной ДПФпары. Иногда множитель 1/M вставляется в выражение (4.4-6) тогда, когда мыиспользуем его в обратном преобразовании (4.4-7).
Это не влияет на доказательство того, что данные два выражения составляют пару преобразованийФурье.Можно показать (задача 4.9), что как прямое, так и обратное ДПФ являютсяпериодическими с периодом M. То естьиF (u ) = F (u + kM )(4.4-8)f ( x ) = f ( x + kM ) ,(4.4-9)где k является целым.Неочевидным является факт, почему дискретная функция f(x) должна быть периодической, учитывая, что непрерывная функция, отсчеты которой она представляет, может таковой не являться. Одним нестрогим обоснованием являетсяучет того, что сама дискретизация приводит к периодическому ДПФ.
Поэтомудля существования ДПФ-пары логично, чтобы f(x), которая является обратнымДПФ, также была периодической.Дискретным эквивалентом уравнения свертки (4.2-20) будетM −1f ( x )h( x ) = ∑ f (m)h( x − m)(4.4-10)m =0для x = 0, 1, 2, ..., M – 1. Поскольку, согласно предыдущим формулировкам,функции являются периодическими, их свертка также должна быть периодической.
Уравнение (4.4-10) задает один период такой периодической свертки.По этой причине внутренний процесс, который описывается данным уравнением и является прямым следствием периодичности прямого и обратногоДПФ, часто называют круговой сверткой. Это является заметным отличием11Мы из осторожности использовали t для непрерывной пространственной переменной и μ для соответствующей непрерывной частотной переменной.
Начиная с этогоместа, мы будем использовать x и u для обозначения одномерных дискретных пространственной и частотной переменных соответственно. При работе с двумерными функциями мы будем использовать (t, z) и (μ, v) для обозначения непрерывных переменныхпространственной и частотной областей соответственно. Аналогично их дискретныеэквиваленты будут обозначаться (x, y) и (u, v).4.4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) одной переменной271от свертки, рассматриваемой в разделе 3.4.2, где значения смещения x полностью определялись условиями полного смещения одной функции по другойи не были ограничены диапазоном [0, M – 1], как в случае круговой свертки.Это различие и его значимость будут рассматриваться в разделе 4.6.3 и при обсуждении рис. 4.28.Наконец, укажем, что теорема о свертке, задаваемая соотношениями (4.2-21)и (4.2-22), также применима и к дискретным переменным (задача 4.10).4.4.2.
Взаимосвязь между шагом дискретизации и частотнымиинтерваламиЕсли f(x) состоит из M отсчетов функции f(t), взятых с шагом ΔT, общая длительность записи, содержащей набор {f(x)}, x = 0, 2, …, M – 1, будетT = M ΔT .(4.4-11)Соответствующий дискретный интервал Δu в частотной области определяетсявыражением (4.4-3)Δu =11= .M ΔT T(4.4-12)Весь частотный диапазон, покрываемый M компонентами ДПФ, будетΩ = M Δu =1.ΔT(4.4-13)Таким образом, из выражений (4.4-12) и (4.4-13) видно, что частотное разрешение ДПФ, равное Δu, зависит от длительности T, в течение которого производилась дискретизация непрерывной функции f(t), а диапазон частот, охваченныйДПФ, зависит от шага дискретизации ΔT. Заметим, что оба выражения демонстрируют обратную зависимость по отношению к T и ΔT.Пример 4.4.
Техника вычисления ДПФ.■ На рис. 4.11(а) показаны четыре отсчета непрерывной функции f(t), взятыес шагом ΔT. На рис. 4.11(б) — те же четыре значения в дискретном пространствеа бf(t)f(x)55443322110t 0t0Рис. 4.11.t0 + 1ΔT t0 + 2ΔT t0 + 3ΔT0123x(а) Непрерывная функция и (б) значения ее отсчетов в дискретномпространстве x.
На (а) t является непрерывной переменной; на (б) xпринимает целые значения272Глава 4. Фильтрация в частотной областиx. Заметим, что значения x составляют 0, 1, 2 и 3, показывая тем самым, что мыможем ссылаться на любую четверку отсчетов f(t).Из выражения (4.4-6) найдем значения F(u), u = 0, 1, 2, 3:3F (0) = ∑ f ( x ) = [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)] = 1 + 2 + 4 + 4 = 11 ,x =03F (1) = ∑ f ( x )e −i 2 π(1) x /4 = 1e 0 + 2e −i π/2 + 4e −i π + 4e −i (3/2) π = −3 + 2i .x =0Аналогично F(2) = –(1 + 0i) и F(3) = –(3 + 2i). Заметим, что для вычислениякаждого из членов F(u) используются все значения f(x).Наоборот, если имеются значения F(u) и необходимо вычислить значенияf(x), то их можно получить аналогичным способом, используя обратное преобразование.
Например,f (0) =1 31 311F (u )ei 2 πu⋅0 = ∑ F (u ) = (11 − 3 + 2i − 1 − 3 − 2i ) = (4) = 1 ,∑4 u =04 u =044что совпадает с рис. 4.11(б). Остальные значения получаются аналогичным образом.■4.5. Ðàñøèðåíèå íà ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõВ данном разделе мы расширяем концепции, введенные в разделах 4.2—4.4,на множества двух переменных.4.5.1. Двумерный импульс и его свойство отсеиванияИмпульс δ(t, z) двух непрерывных переменных t и z определяется так же, каки импульс одной переменной (4.2-8):⎧ ∞ если t = z = 0δ(t ) = ⎨⎩0 в остальных случаях(4.5-1a)∞ ∞∫ ∫ δ(t , z )dt dz =1.и(4.5-1б)−∞ −∞Как и в одномерном случае, двумерный импульс при интегрировании обладаетсвойством отсеивания:∞ ∞∫ ∫ f (t , z )δ(t , z )dtdz = f (0, 0),(4.5-2)−∞ −∞или более общий случай для импульса в точке (t0, z0):∞ ∞∫ ∫ f (t , z )δ(t − t , z − z )dtdz = f (t , z ) .0−∞ −∞000(4.5-3)4.5.
Расширение на функции двух переменных273δ(x – x0, y – y0)1x0y0xРис. 4.12.yДвумерный единичный дискретный импульс. Переменные x и y являются дискретными, а δ равна нулю везде, кроме точки (x0, y0)Видно, что как и ранее, свойство отсеивания дает на выходе значение функцииf(t, z) в точке импульса.Для дискретных переменных x и y двумерный импульс определяется как⎧1 если x = y = 0,δ( x, y ) = ⎨⎩0 в остальных случаях,(4.5-4)а его свойство отсеивания — как∞∞∑ ∑ f ( x, y )δ( x, y ) = f (0, 0) ,(4.5-5)x =−∞ y =−∞где f(x, y) — функция двух дискретных переменных x и y. Для импульса в точке(x0, y0) (см. рис.
4.12) свойство отсеивания запишется как∞∞∑ ∑ f ( x, y )δ( x − x , y − y ) = f ( x , y ) .0000(4.5-6)x =−∞ y =−∞Как и ранее, свойство отсеивания дает на выходе значение дискретной функции f(x, y) в точке импульса.4.5.2. Пара двумерных непрерывных преобразований ФурьеПусть f(t, z) — непрерывная функция двух переменных t и z. Пара двумерных непрерывных преобразований Фурье задается следующими выражениями:∞ ∞F (μ,v ) =∫ ∫ f (t , z )e− i 2 π( μt +vz )dt dz(4.5-7)d μ dz ,(4.5-8)−∞ −∞∞ ∞иf (t , z ) =∫ ∫ F (μ,v )ei 2 π( μt +vz )−∞ −∞где μ и v — частотные переменные. По отношению к изображениям t и z интерпретируются как непрерывные пространственные переменные.
Как и в одномерном случае, область изменения переменных μ и v — непрерывная частотнаяобласть.274Глава 4. Фильтрация в частотной областиПример 4.5. Вывод двумерного Фурье-преобразования прямоугольнойфункции.■ На рис. 4.13 представлена двумерная прямоугольная функция, аналогичнаяодномерной в примере 4.1. Выполнение процедуры, подобной использованнойв том примере, дает в результате∞ ∞F (μ,v ) = ∫T /2 Z /2∫⎡ sin( πμT )⎤ ⎡ sin( πvZ )⎤Ae −i 2 π(μt +vz )dt dz =ATZ ⎢⎥⎢⎥.⎣ ( πμT ) ⎦ ⎣ ( πvZ ) ⎦−T /2 − Z /2f (t , z )e −i 2 π(μt +vz )dt dz =−∞ −∞∫ ∫Амплитуда (спектр) определяется выражениемF (μ,v ) = ATZsin( πμT ) sin( πvZ ).( πμT )( πvZ )На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
