Главная » Просмотр файлов » Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012)

Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 61

Файл №1246138 Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012)) 61 страницаГонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138) страница 612021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Это означает, что данные в наборе Fm требуют переупорядочения отсчетов от нижней частотык верхней. Это цена, которую приходится платить за удобство обозначений, беря отсчеты в точках m = 0, 1, 2,..., M – 1 вместо использования отсчетов по обе стороны от началакоординат, что потребовало бы отрицательной индексации.

Процедура исправленияпорядка данных рассмотрена в разделе 4.6.3.270Глава 4. Фильтрация в частотной областипеременных — u и v; все эти переменные предполагаются целыми11. Тогда выражения (4.4-4) и (4.4-5) примут вид:M −1F (u ) = ∑ f ( x )e −i 2 πmx /Mu = 0,1, 2,..., M − 1(4.4-6)x = 0,1, 2,..., M − 1,(4.4-7)x =0иf (x) =1MM −1∑ F (u)ei 2 πux /Mu =0где мы для простоты вместо индексов использовали обозначения функций.Совершенно ясно, что F(u) ≡ F m и f(x) ≡ fn. Начиная с этого места, мы будемиспользовать выражения (4.4-6) и (4.4-7) для обозначения одномерной ДПФпары. Иногда множитель 1/M вставляется в выражение (4.4-6) тогда, когда мыиспользуем его в обратном преобразовании (4.4-7).

Это не влияет на доказательство того, что данные два выражения составляют пару преобразованийФурье.Можно показать (задача 4.9), что как прямое, так и обратное ДПФ являютсяпериодическими с периодом M. То естьиF (u ) = F (u + kM )(4.4-8)f ( x ) = f ( x + kM ) ,(4.4-9)где k является целым.Неочевидным является факт, почему дискретная функция f(x) должна быть периодической, учитывая, что непрерывная функция, отсчеты которой она представляет, может таковой не являться. Одним нестрогим обоснованием являетсяучет того, что сама дискретизация приводит к периодическому ДПФ.

Поэтомудля существования ДПФ-пары логично, чтобы f(x), которая является обратнымДПФ, также была периодической.Дискретным эквивалентом уравнения свертки (4.2-20) будетM −1f ( x )h( x ) = ∑ f (m)h( x − m)(4.4-10)m =0для x = 0, 1, 2, ..., M – 1. Поскольку, согласно предыдущим формулировкам,функции являются периодическими, их свертка также должна быть периодической.

Уравнение (4.4-10) задает один период такой периодической свертки.По этой причине внутренний процесс, который описывается данным уравнением и является прямым следствием периодичности прямого и обратногоДПФ, часто называют круговой сверткой. Это является заметным отличием11Мы из осторожности использовали t для непрерывной пространственной переменной и μ для соответствующей непрерывной частотной переменной.

Начиная с этогоместа, мы будем использовать x и u для обозначения одномерных дискретных пространственной и частотной переменных соответственно. При работе с двумерными функциями мы будем использовать (t, z) и (μ, v) для обозначения непрерывных переменныхпространственной и частотной областей соответственно. Аналогично их дискретныеэквиваленты будут обозначаться (x, y) и (u, v).4.4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) одной переменной271от свертки, рассматриваемой в разделе 3.4.2, где значения смещения x полностью определялись условиями полного смещения одной функции по другойи не были ограничены диапазоном [0, M – 1], как в случае круговой свертки.Это различие и его значимость будут рассматриваться в разделе 4.6.3 и при обсуждении рис. 4.28.Наконец, укажем, что теорема о свертке, задаваемая соотношениями (4.2-21)и (4.2-22), также применима и к дискретным переменным (задача 4.10).4.4.2.

Взаимосвязь между шагом дискретизации и частотнымиинтерваламиЕсли f(x) состоит из M отсчетов функции f(t), взятых с шагом ΔT, общая длительность записи, содержащей набор {f(x)}, x = 0, 2, …, M – 1, будетT = M ΔT .(4.4-11)Соответствующий дискретный интервал Δu в частотной области определяетсявыражением (4.4-3)Δu =11= .M ΔT T(4.4-12)Весь частотный диапазон, покрываемый M компонентами ДПФ, будетΩ = M Δu =1.ΔT(4.4-13)Таким образом, из выражений (4.4-12) и (4.4-13) видно, что частотное разрешение ДПФ, равное Δu, зависит от длительности T, в течение которого производилась дискретизация непрерывной функции f(t), а диапазон частот, охваченныйДПФ, зависит от шага дискретизации ΔT. Заметим, что оба выражения демонстрируют обратную зависимость по отношению к T и ΔT.Пример 4.4.

Техника вычисления ДПФ.■ На рис. 4.11(а) показаны четыре отсчета непрерывной функции f(t), взятыес шагом ΔT. На рис. 4.11(б) — те же четыре значения в дискретном пространствеа бf(t)f(x)55443322110t 0t0Рис. 4.11.t0 + 1ΔT t0 + 2ΔT t0 + 3ΔT0123x(а) Непрерывная функция и (б) значения ее отсчетов в дискретномпространстве x.

На (а) t является непрерывной переменной; на (б) xпринимает целые значения272Глава 4. Фильтрация в частотной областиx. Заметим, что значения x составляют 0, 1, 2 и 3, показывая тем самым, что мыможем ссылаться на любую четверку отсчетов f(t).Из выражения (4.4-6) найдем значения F(u), u = 0, 1, 2, 3:3F (0) = ∑ f ( x ) = [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)] = 1 + 2 + 4 + 4 = 11 ,x =03F (1) = ∑ f ( x )e −i 2 π(1) x /4 = 1e 0 + 2e −i π/2 + 4e −i π + 4e −i (3/2) π = −3 + 2i .x =0Аналогично F(2) = –(1 + 0i) и F(3) = –(3 + 2i). Заметим, что для вычислениякаждого из членов F(u) используются все значения f(x).Наоборот, если имеются значения F(u) и необходимо вычислить значенияf(x), то их можно получить аналогичным способом, используя обратное преобразование.

Например,f (0) =1 31 311F (u )ei 2 πu⋅0 = ∑ F (u ) = (11 − 3 + 2i − 1 − 3 − 2i ) = (4) = 1 ,∑4 u =04 u =044что совпадает с рис. 4.11(б). Остальные значения получаются аналогичным образом.■4.5. Ðàñøèðåíèå íà ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõВ данном разделе мы расширяем концепции, введенные в разделах 4.2—4.4,на множества двух переменных.4.5.1. Двумерный импульс и его свойство отсеиванияИмпульс δ(t, z) двух непрерывных переменных t и z определяется так же, каки импульс одной переменной (4.2-8):⎧ ∞ если t = z = 0δ(t ) = ⎨⎩0 в остальных случаях(4.5-1a)∞ ∞∫ ∫ δ(t , z )dt dz =1.и(4.5-1б)−∞ −∞Как и в одномерном случае, двумерный импульс при интегрировании обладаетсвойством отсеивания:∞ ∞∫ ∫ f (t , z )δ(t , z )dtdz = f (0, 0),(4.5-2)−∞ −∞или более общий случай для импульса в точке (t0, z0):∞ ∞∫ ∫ f (t , z )δ(t − t , z − z )dtdz = f (t , z ) .0−∞ −∞000(4.5-3)4.5.

Расширение на функции двух переменных273δ(x – x0, y – y0)1x0y0xРис. 4.12.yДвумерный единичный дискретный импульс. Переменные x и y являются дискретными, а δ равна нулю везде, кроме точки (x0, y0)Видно, что как и ранее, свойство отсеивания дает на выходе значение функцииf(t, z) в точке импульса.Для дискретных переменных x и y двумерный импульс определяется как⎧1 если x = y = 0,δ( x, y ) = ⎨⎩0 в остальных случаях,(4.5-4)а его свойство отсеивания — как∞∞∑ ∑ f ( x, y )δ( x, y ) = f (0, 0) ,(4.5-5)x =−∞ y =−∞где f(x, y) — функция двух дискретных переменных x и y. Для импульса в точке(x0, y0) (см. рис.

4.12) свойство отсеивания запишется как∞∞∑ ∑ f ( x, y )δ( x − x , y − y ) = f ( x , y ) .0000(4.5-6)x =−∞ y =−∞Как и ранее, свойство отсеивания дает на выходе значение дискретной функции f(x, y) в точке импульса.4.5.2. Пара двумерных непрерывных преобразований ФурьеПусть f(t, z) — непрерывная функция двух переменных t и z. Пара двумерных непрерывных преобразований Фурье задается следующими выражениями:∞ ∞F (μ,v ) =∫ ∫ f (t , z )e− i 2 π( μt +vz )dt dz(4.5-7)d μ dz ,(4.5-8)−∞ −∞∞ ∞иf (t , z ) =∫ ∫ F (μ,v )ei 2 π( μt +vz )−∞ −∞где μ и v — частотные переменные. По отношению к изображениям t и z интерпретируются как непрерывные пространственные переменные.

Как и в одномерном случае, область изменения переменных μ и v — непрерывная частотнаяобласть.274Глава 4. Фильтрация в частотной областиПример 4.5. Вывод двумерного Фурье-преобразования прямоугольнойфункции.■ На рис. 4.13 представлена двумерная прямоугольная функция, аналогичнаяодномерной в примере 4.1. Выполнение процедуры, подобной использованнойв том примере, дает в результате∞ ∞F (μ,v ) = ∫T /2 Z /2∫⎡ sin( πμT )⎤ ⎡ sin( πvZ )⎤Ae −i 2 π(μt +vz )dt dz =ATZ ⎢⎥⎢⎥.⎣ ( πμT ) ⎦ ⎣ ( πvZ ) ⎦−T /2 − Z /2f (t , z )e −i 2 π(μt +vz )dt dz =−∞ −∞∫ ∫Амплитуда (спектр) определяется выражениемF (μ,v ) = ATZsin( πμT ) sin( πvZ ).( πμT )( πvZ )На рис.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
21,41 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее