Главная » Просмотр файлов » Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012)

Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 56

Файл №1246138 Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012)) 56 страницаГонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138) страница 562021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Позднее, в главах 5, 8, 10 и 11,мы обсудим другие применения преобразования Фурье. Мы начнем обсуждение с краткого обзора истории возникновения Фурье-анализа и того воздействия, которое он оказал на математику, естественные науки и технику. Далеемы рассмотрим основы дискретизации функций и шаг за шагом перейдем к выводу одномерного и двумерного преобразования Фурье — основного стержняобработки данных в частотной области. Во время этого обсуждения мы коснемся различных важных аспектов дискретизации, в частности вопроса наложенияспектров.

Рассмотрение данных вопросов требует понимания частотной области и поэтому глубоко изучается в настоящей главе. Вслед за этим материаломследует постановка задачи фильтрации в частотной области, а также изложение4.1. Основы247методов сглаживания и повышения резкости, параллельных методам фильтрации в пространственной области, рассмотренным в главе 3. Завершим главуобсуждением проблем, связанных с применением преобразования Фурье дляобработки изображений.

Поскольку материалы, изложенные в разделах 4.2—4.4, являются основами, то читатели, хорошо знакомые с вопросами обработкиодномерных сигналов, включая преобразование Фурье, дискретизацию, наложение спектров и теорему о свертке, могут перейти к разделу 4.5, где начинаетсярассмотрение двумерного преобразования Фурье и его применения для цифровой обработки изображений.4.1. Îñíîâû4.1.1.

Краткая история ряда и преобразования ФурьеФранцузский математик Жан Батист Жозеф Фурье родился в 1768 г. в городеОсер на полпути из Парижа в Дижон. Главное научное достижение Фурье, благодаря которому он остался в памяти потомков, было схематически изложено имв мемуарах 1807 г. и полностью опубликовано в 1822 г. в его книге «Аналитическаятеория тепла» (La Théorie Analitique de la Chaleur). Спустя 55 лет эта книга была переведена на английский Фрименом (см.

[Freeman, 1878]). Результат Фурье, относящийся к предмету рассмотрения настоящей главы, состоит, по существу, в том,что любая периодическая функция может быть представлена в виде суммы синусов и/или косинусов различных частот, умноженных на некоторые коэффициенты (теперь эта сумма носит название ряд Фурье). Не имеет значения, насколькосложной является функция; если только она периодическая и удовлетворяет некоторым достаточно слабым математическим условиям, эта функция может бытьпредставлена в виде вышеуказанной суммы.

В настоящее время это утверждениеявляется общепризнанным, однако в момент своего появления концепция, чтосложные функции могли бы быть представлены в виде суммы простых синусови косинусов, казалась далеко не очевидной (рис. 4.1). Поэтому не удивительно,что идеи Фурье в этом отношении были встречены скептически.Даже функции, не являющиеся периодическими (но имеющие конечнуюплощадь под графиком1), могут быть выражены в виде интеграла от синусов и/или косинусов, умноженных на некоторую весовую функцию. В таком случае мыимеем дело с преобразованием Фурье, польза которого во многих теоретическихи прикладных задачах оказывается даже большей, чем ряда Фурье. Оба представления обладают важной характерной особенностью. Функция, заданная какрядом, так и преобразованием Фурье, может быть полностью, без потери информации, восстановлена (реконструирована) при помощи некоторой процедурыобращения.

Это свойство является одним из наиболее важных свойств рассматриваемых представлений, поскольку оно позволяет работать в «Фурье-области»,а затем вернуться в исходную область определения функции без потери какойлибо информации. В конечном счете именно эффективность применения аппарата рядов и преобразования Фурье для решения практических задач превратилаего в широко используемый и изучаемый фундаментальный инструмент.1Точнее, конечную площадь под графиком модуля функции. — Прим. перев.248Глава 4. Фильтрация в частотной областиРис.

4.1. Нижняя функция является суммой четырех расположенных над ней функций. Идея Фурье1807 г. о том, что периодическаяфункция может быть представленав виде взвешенной суммы синусови косинусов, была встречена скептическиПервоначально идеи Фурье были применены для решения задачи о распространениитепла. Это дало возможность представитьдифференциальные уравнения, описывающие тепловой поток, в таком виде, которыйпозволил впервые получить их решения.На протяжении последнего века, и особеннов последние 50 лет, идеи Фурье привели к расцвету целых научных дисциплин и даже промышленных отраслей. Наступление эпохиЭВМ и открытие алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) в начале 60-х годов2(или немного позднее) произвели революциюв области обработки сигналов.

Эти две основные технологии впервые сделали возможнымобработку огромной совокупности сигналовисключительной важности в разных сферахчеловеческой деятельности — от медицинской диагностики до новейших средств электронной связи.Поскольку мы будем иметь дело только с функциями (изображениями) конечной протяженности, нас будет интересоватьименно преобразование Фурье. Материалследующего раздела знакомит читателя с преобразованием Фурье и частотной областью.Показано, что методы Фурье-анализа даютясные по смыслу и практичные способы изучения и реализации совокупности подходовдля обработки изображений. В некоторыхслучаях эти подходы аналогичны подходам,развитым в главе 3.4.1.2.

О примерах, приводимых в данной главеТакже как и в главе 3, большинство примеров фильтрации изображений, включенных в настоящую главу, относятся к улучшению изображений. Например,сглаживание и повышение резкости традиционно ассоциируются с улучшением изображений как методы манипулирования контрастом. Как правило,новички в области обработки изображений находят приложения, в которыхиспользуется улучшение, интересными и сравнительно простыми для понимания. Таким образом, использование в настоящей главе примеров из областиулучшения изображений не только освобождает лишнюю главу в книге, но, чтоболее важно, является эффективным способом ознакомления новичков с методами фильтрации в частотной области. Использование частотных методовв других приложениях рассматривается в главах 5, 8, 10 и 11.2См.

прим. 26. — Прим. перев.4.2. Предварительные понятия2494.2. Ïðåäâàðèòåëüíûå ïîíÿòèÿЧтобы упростить продвижение идей, обсуждаемых в данной главе, прервемсяненадолго для введения нескольких базовых понятий, лежащих в основе материалов, которые излагаются в дальнейших разделах.4.2.1. Комплексные числаКомплексное число C определяется какC = R + iI ,(4.2-1)где R и I являются действительными числами, а i — мнимое число, равное квадратному корню из –1; т. е. i = −1 . Здесь R обозначает действительную (real)часть комплексного числа, а I — его мнимую (imaginary) часть. Число, комплексносопряженное к C и обозначаемое C*, определяется какC * = R − iI .(4.2-2)Комплексные числа могут быть геометрически представлены как точки на комплексной плоскости, абсцисса которой является действительной осью (ось действительных чисел, R), а ордината — мнимой осью (ось мнимых чисел, I). Такимобразом комплексное число R + iI является точкой (R, I) в прямоугольной системе координат комплексной плоскости.Иногда полезно представлять комплексные числа в полярной системе координат:C = C (cos θ + i sin θ) ,(4.2-3)где C = R 2 + I 2 — длина вектора из начала координат в точку (R, I), а θ — уголмежду этим вектором и осью действительных чисел.

Начертив простую диаграмму из действительной и мнимой осей с вектором в точку (R, I) в первомквадранте, легко видеть, что tg θ =(I/R), т. е. θ = arctg(I/R). Функция arctg возвращает значение углов в диапазоне [–π/2, π/2], но поскольку I и R могут независимо быть как положительными, так и отрицательными, нам необходимполный диапазон углов [–π, π].

Это достигается простым учетом знаков I и Rперед вычислением θ. Многие из языков программирования делают это автоматически при помощи так называемых четарехквадрантных функций арктангенса. Так, например, MATLAB имеет для этого функцию atan2(Imag, Real).Использование формулы Эйлераeiθ = cos θ + i sin θ ,(4.2-4)где e = 2,71828..., дает следующее привычное представление комплексного числав полярных координатах:C = C eiθ ,(4.2-5)где C и θ те же самые, что и выше. Например, полярное представление комплексного числа 1 + i2 будет 5eiθ , где θ = 64,4° или 1,1 радиана. Предыдущиевыражения применимы также и к комплексным функциям.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
21,41 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее