Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Позднее, в главах 5, 8, 10 и 11,мы обсудим другие применения преобразования Фурье. Мы начнем обсуждение с краткого обзора истории возникновения Фурье-анализа и того воздействия, которое он оказал на математику, естественные науки и технику. Далеемы рассмотрим основы дискретизации функций и шаг за шагом перейдем к выводу одномерного и двумерного преобразования Фурье — основного стержняобработки данных в частотной области. Во время этого обсуждения мы коснемся различных важных аспектов дискретизации, в частности вопроса наложенияспектров.
Рассмотрение данных вопросов требует понимания частотной области и поэтому глубоко изучается в настоящей главе. Вслед за этим материаломследует постановка задачи фильтрации в частотной области, а также изложение4.1. Основы247методов сглаживания и повышения резкости, параллельных методам фильтрации в пространственной области, рассмотренным в главе 3. Завершим главуобсуждением проблем, связанных с применением преобразования Фурье дляобработки изображений.
Поскольку материалы, изложенные в разделах 4.2—4.4, являются основами, то читатели, хорошо знакомые с вопросами обработкиодномерных сигналов, включая преобразование Фурье, дискретизацию, наложение спектров и теорему о свертке, могут перейти к разделу 4.5, где начинаетсярассмотрение двумерного преобразования Фурье и его применения для цифровой обработки изображений.4.1. Îñíîâû4.1.1.
Краткая история ряда и преобразования ФурьеФранцузский математик Жан Батист Жозеф Фурье родился в 1768 г. в городеОсер на полпути из Парижа в Дижон. Главное научное достижение Фурье, благодаря которому он остался в памяти потомков, было схематически изложено имв мемуарах 1807 г. и полностью опубликовано в 1822 г. в его книге «Аналитическаятеория тепла» (La Théorie Analitique de la Chaleur). Спустя 55 лет эта книга была переведена на английский Фрименом (см.
[Freeman, 1878]). Результат Фурье, относящийся к предмету рассмотрения настоящей главы, состоит, по существу, в том,что любая периодическая функция может быть представлена в виде суммы синусов и/или косинусов различных частот, умноженных на некоторые коэффициенты (теперь эта сумма носит название ряд Фурье). Не имеет значения, насколькосложной является функция; если только она периодическая и удовлетворяет некоторым достаточно слабым математическим условиям, эта функция может бытьпредставлена в виде вышеуказанной суммы.
В настоящее время это утверждениеявляется общепризнанным, однако в момент своего появления концепция, чтосложные функции могли бы быть представлены в виде суммы простых синусови косинусов, казалась далеко не очевидной (рис. 4.1). Поэтому не удивительно,что идеи Фурье в этом отношении были встречены скептически.Даже функции, не являющиеся периодическими (но имеющие конечнуюплощадь под графиком1), могут быть выражены в виде интеграла от синусов и/или косинусов, умноженных на некоторую весовую функцию. В таком случае мыимеем дело с преобразованием Фурье, польза которого во многих теоретическихи прикладных задачах оказывается даже большей, чем ряда Фурье. Оба представления обладают важной характерной особенностью. Функция, заданная какрядом, так и преобразованием Фурье, может быть полностью, без потери информации, восстановлена (реконструирована) при помощи некоторой процедурыобращения.
Это свойство является одним из наиболее важных свойств рассматриваемых представлений, поскольку оно позволяет работать в «Фурье-области»,а затем вернуться в исходную область определения функции без потери какойлибо информации. В конечном счете именно эффективность применения аппарата рядов и преобразования Фурье для решения практических задач превратилаего в широко используемый и изучаемый фундаментальный инструмент.1Точнее, конечную площадь под графиком модуля функции. — Прим. перев.248Глава 4. Фильтрация в частотной областиРис.
4.1. Нижняя функция является суммой четырех расположенных над ней функций. Идея Фурье1807 г. о том, что периодическаяфункция может быть представленав виде взвешенной суммы синусови косинусов, была встречена скептическиПервоначально идеи Фурье были применены для решения задачи о распространениитепла. Это дало возможность представитьдифференциальные уравнения, описывающие тепловой поток, в таком виде, которыйпозволил впервые получить их решения.На протяжении последнего века, и особеннов последние 50 лет, идеи Фурье привели к расцвету целых научных дисциплин и даже промышленных отраслей. Наступление эпохиЭВМ и открытие алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) в начале 60-х годов2(или немного позднее) произвели революциюв области обработки сигналов.
Эти две основные технологии впервые сделали возможнымобработку огромной совокупности сигналовисключительной важности в разных сферахчеловеческой деятельности — от медицинской диагностики до новейших средств электронной связи.Поскольку мы будем иметь дело только с функциями (изображениями) конечной протяженности, нас будет интересоватьименно преобразование Фурье. Материалследующего раздела знакомит читателя с преобразованием Фурье и частотной областью.Показано, что методы Фурье-анализа даютясные по смыслу и практичные способы изучения и реализации совокупности подходовдля обработки изображений. В некоторыхслучаях эти подходы аналогичны подходам,развитым в главе 3.4.1.2.
О примерах, приводимых в данной главеТакже как и в главе 3, большинство примеров фильтрации изображений, включенных в настоящую главу, относятся к улучшению изображений. Например,сглаживание и повышение резкости традиционно ассоциируются с улучшением изображений как методы манипулирования контрастом. Как правило,новички в области обработки изображений находят приложения, в которыхиспользуется улучшение, интересными и сравнительно простыми для понимания. Таким образом, использование в настоящей главе примеров из областиулучшения изображений не только освобождает лишнюю главу в книге, но, чтоболее важно, является эффективным способом ознакомления новичков с методами фильтрации в частотной области. Использование частотных методовв других приложениях рассматривается в главах 5, 8, 10 и 11.2См.
прим. 26. — Прим. перев.4.2. Предварительные понятия2494.2. Ïðåäâàðèòåëüíûå ïîíÿòèÿЧтобы упростить продвижение идей, обсуждаемых в данной главе, прервемсяненадолго для введения нескольких базовых понятий, лежащих в основе материалов, которые излагаются в дальнейших разделах.4.2.1. Комплексные числаКомплексное число C определяется какC = R + iI ,(4.2-1)где R и I являются действительными числами, а i — мнимое число, равное квадратному корню из –1; т. е. i = −1 . Здесь R обозначает действительную (real)часть комплексного числа, а I — его мнимую (imaginary) часть. Число, комплексносопряженное к C и обозначаемое C*, определяется какC * = R − iI .(4.2-2)Комплексные числа могут быть геометрически представлены как точки на комплексной плоскости, абсцисса которой является действительной осью (ось действительных чисел, R), а ордината — мнимой осью (ось мнимых чисел, I). Такимобразом комплексное число R + iI является точкой (R, I) в прямоугольной системе координат комплексной плоскости.Иногда полезно представлять комплексные числа в полярной системе координат:C = C (cos θ + i sin θ) ,(4.2-3)где C = R 2 + I 2 — длина вектора из начала координат в точку (R, I), а θ — уголмежду этим вектором и осью действительных чисел.
Начертив простую диаграмму из действительной и мнимой осей с вектором в точку (R, I) в первомквадранте, легко видеть, что tg θ =(I/R), т. е. θ = arctg(I/R). Функция arctg возвращает значение углов в диапазоне [–π/2, π/2], но поскольку I и R могут независимо быть как положительными, так и отрицательными, нам необходимполный диапазон углов [–π, π].
Это достигается простым учетом знаков I и Rперед вычислением θ. Многие из языков программирования делают это автоматически при помощи так называемых четарехквадрантных функций арктангенса. Так, например, MATLAB имеет для этого функцию atan2(Imag, Real).Использование формулы Эйлераeiθ = cos θ + i sin θ ,(4.2-4)где e = 2,71828..., дает следующее привычное представление комплексного числав полярных координатах:C = C eiθ ,(4.2-5)где C и θ те же самые, что и выше. Например, полярное представление комплексного числа 1 + i2 будет 5eiθ , где θ = 64,4° или 1,1 радиана. Предыдущиевыражения применимы также и к комплексным функциям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
